《用向量來表示空間中的點、直線和平面》示范課教學設計【高中數(shù)學】

環(huán)節(jié)一用向量來表示空間中的點、直線和平面【引入新課】前面幾節(jié)課，我們已經(jīng)將向量從平面推廣到了空間，利用空間向量解決空間中有關位置關系和度量的立體幾何問題.思考：通過體會空間向量解決立體幾何問題的過程，利用空間向量解決立體幾何問題的關鍵是什么？【探索新知】利用空間向量解決立體幾何問題的關鍵是要建立空間向量與幾何要素之間的對應關系。我們知道點、直線和平面是空間中的基本圖形，是構成空間幾何體的基本幾何要素.如果我們要用空間向量解決立體幾何問題，首先要用向量表示空間中的點、直線和平面.問題1：如何用向量表示空間當中的一個點P?答案：空間當中點的位置一定是相對于某一固定參照物來說的.如圖，在空間中，我們取一定點O作為基點，那么空間中任意一點P就可以用向量來表示,我們把向量稱為點P的位置向量.問題2：如何用向量表示空間中的直線l？答案：我們知道空間中給定一個點A和一個方向就能唯一確定一條直線l．a(chǎn)是直線l的方向向量，在直線l上取a,設P是直線l上的任意一點，由向量共線的條件可知，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使得ta，即．因此可以利用點A和直線l的方向向量表示直線上的任意一點．追問1：取定空間中的任意一點O，可以得到點P在直線l上的充要條件是什么？答案：取定空間中的任意一點O，將分解為以O為起點的向量，由于ta得到點P在直線l上的充要條件是：存在實數(shù)t，使+ta①將a代入①式，得+t②式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知，空間任意直線由空間一點及直線的方向向量唯一確定.問題3：我們知道，空間中的平面可以由內兩條相交直線確定，如何用向量表示空間中的平面？答案：設兩條直線相交于點O，它們的方向向量分別為a和b，P為平面上任意一點，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序實數(shù)對（x，y），使得xa+yb，這樣，點O與向量a和b不僅可以確定平面，還可以具體表示出內的任意一點.這種表示在解決幾何問題時往往起到非常重要的作用．追問1：空間一點P位于平面ABC內的充要條件是什么？答案：不共線的三點A、B、C構成兩個不共線的向量、，平面內任意一點P，存在實數(shù)x、y，使得.取定空間內任意一點O，得到.因此空間一點P位于平面ABC內的充要條件是：存在實數(shù)x、y使x+y③.稱之為空間平面ABC的向量表示式．追問2：如何說明空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定．答案：表示平面內的任意向量，表示以為O起點，平面內任意一點為終點的向量，所以空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定．問題4：一個定點和兩個定方向，能確定一個平面，一個定點和一個定方向能否確定一個平面？答案：給定空間中一點A和一條直線l，由立體幾何知識可知過點A且垂直于直線l的平面唯一確定．追問1：如何用向量表示這個平面？答案：如圖，直線，取直線的方向向量a，我們稱向量a為平面的法向量．因此給定一個點A和一個向量a，那么過點A，且以向量a為法向量的平面完全確定.表示為集合．追問2：如果另有一條直線，在直線m上任取向量b，b與a有什么關系？答案：由立體幾何知識知由，，得到，即a//b．所以，存在實數(shù)t，使得t．因此平面可也表示為集合，即平面可由一點和任意一個法向量唯一確定．小結：平面有兩種表示方法．一種是用平面內一個定點A和這個平面內的兩條相交直線的方向向量a和b，P為平面上任意一點，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序實數(shù)對（x，y），使x+y.另一種是用平面內的一個定點A和平面的一個法向量將平面表示為點P的集合a．兩種表示法的目的都是建立平面與向量的聯(lián)系，用向量表示平面，為通過向量運算研究圖形的性質奠定基礎．兩種表示方法各有特點：一個是充分運用平面向量基本定理，通過向量的線性運算表示平面；另一個是借助平面的法向量，通過向量的數(shù)量積運算表示平面．解決具體問題時，兩種方法往往綜合使用．綜上所述，用空間向量表示點、直線、平面時，首先要確定一個定點，然后用向量表示它們．“確定一個定點”是用空間向量表示點、直線、平面的基礎．【知識應用】例1如圖，在長方體中，，，，是的中點．以為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．（1）求平面的法向量；（2）求平面的法向量．分析：（1）平面與軸垂直，其法向量可以直接寫出；（2）不容易找出與平面垂直的直線，平面可以看成由MC，MA1，CA1中的兩個向量所確定，運用法向量與它們的垂直關系，可轉化為數(shù)量積運算求得法向量．解：（1）因為軸垂直于平面，所以是平面的一個法向量．追問1：平面是否還有其他的法向量？答案：與共線的向量都是平面的法向量.（2）因為，，，是的中點，所以、的坐標分別為(3，2，0)，(0，4，0)，(3，0，2)．因此，．設是平面的法向量，則，．所以解得取z＝3，則x＝2，y＝3．于是是平面的一個法向量．追問2：平面的法向量是唯一的嗎？答案：不唯一，對z賦予非零的數(shù)，得到不同的法向量.可以知道：直線的方向向量有無數(shù)多個，它們互相平行，平面的法向量有無數(shù)多個，它們互相平行.問題5：結合本題，請總結求直線的方向向量和平面的法向量的方法.向量名稱圖示方法直線的方向向量利用直線上兩點求解平面的法向量根據(jù)，的方向向量是平面的法向量=1\*GB3①設出平面的法向量坐標；=2\*GB3②求出平面內兩個不共線的向量的坐標；=3\*GB3③利用法向量的定義建立方程組并解之.問題6：請同學們說說本節(jié)課的學習內容.答案：本節(jié)課學習了用向量表示點，用