探究余弦函數(shù)多倍角公式

探究余弦函數(shù)多倍角公式成都七中高2014級10班李成蹊序近期,通過三角函數(shù)恒等變換一章的學習,我們初步了解并掌握了三角函數(shù)恒等變換的基本方法，包括兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,倍角公式,半角公式,輔助角公式,降冪公式,積化和差與和差化積公式，萬能公式（正切半角公式）等.面對諸多的公式,我們應該怎樣牢固地記憶并熟練地運用它們呢?我想,關(guān)鍵有以下三點:⑴熟知它們的推導過程;⑵著眼于聯(lián)系與區(qū)別,發(fā)現(xiàn)特點,總結(jié)規(guī)律,簡化記憶;⑶熟悉基本題型的處理方式,在練習時總結(jié)方法,加強記憶.事實上,對待任何一門學科,我們都應該做到“知其然,而知其所以然”.因為,只有理解了的東西,我們才能更好地記憶它,運用它.另外,還要有意識地建立一套屬于自己的知識體系,這樣才能做到真正地駕馭知識,體驗到詩人杜甫所說的“會當凌絕頂,一覽眾山小的感受”.引入《數(shù)學4》P138.習題3.1B組第1個問題是這樣的:問題1證明:⑴；⑵.這道題比較容易.首先分析第⑴問.我們知道,兩角和的正弦公式是正弦函數(shù)的倍角公式是容易想到,先將3α分解成2α+α,用和角公式展開；再用倍角公式統(tǒng)一成單角α；最后化簡成一種函數(shù)(即只含有的表達式)，從而完成證明.過程如下:證明：按照第⑴問的思路,第⑵問同理可證.這里請讀者自己試一試.我們的思考并沒有就此止步.有了問題一的解決,我們?nèi)菀桩a(chǎn)生這樣一個疑問:既然有二倍角公式,三倍角公式(問題一的結(jié)論),那么,一般地,是否有n倍角公式？思考每當我們面臨一個新的問題,都應該問問自己:這個問題有意義嗎?這個問題有價值嗎?實際上,可以想見,當n的值越大時,n倍角的正弦或余弦的展開式會變得愈來愈復雜,人們使用它的幾率也會越小.換句話說,n倍角公式的應用價值會隨著n的增大而減小.以上談的是研究問題的表觀價值.然而,我們還應該關(guān)注到它的附屬價值.我們知道,歷史上許多科學家做出的重大發(fā)現(xiàn)往往不是有意而為,一開始就樹立了明確的目標.事實常是這樣:由于某個看似普通的問題的解決,而引出了其他驚人的結(jié)論.歷史上牛頓在研究萬有引力的時候發(fā)明了微積分就是一個很好的例子.分析對于這個問題,一般的思路是沿用之前的辦法多舉幾個例子,以便發(fā)現(xiàn)規(guī)律或找到好的解題方法.我們不妨先研究的展開式.我們?nèi)=4,5,6,以同樣的方式計算、、的展開式.解題似乎到此陷入困境.我們發(fā)現(xiàn),除了項的次數(shù)在以+2的方式依次遞增外,在項的系數(shù)方面找不到任何明顯的規(guī)律.繼續(xù)往下算下去,只會越算越復雜,越算越?jīng)]有頭緒,這想必也不是好的辦法.最后,我們要懂得放棄.靠自己的能力解決不了問題,可能是問題的難度已經(jīng)大大超出了我們的能力范圍.此時,我們要學會向老師,書籍或網(wǎng)絡求助.查找資料進入百度網(wǎng)址,輸入“三角函數(shù)”,點擊搜索后我們可以找到大量的有關(guān)三角函數(shù)的知識.經(jīng)過閱讀篩選,筆者從中選取了與我們研究的問題相關(guān)的一些資料,供作參考.初中學過兩倍角公式，很多參考書也介紹過三倍角公式，我們自然而然就會想到n倍角公式.我想好奇心強的同學肯定干過這樣的事：用和的公式將四倍五倍展開，然后觀察他們的規(guī)律，不過都是無功而返.這個問題的解決，得要歸功于著名的棣莫弗公式，涉及到復數(shù)的內(nèi)容，不過你只要知道復數(shù)符號“i”是什么意思就足夠了：

這個公式的作用可不單單是拿來進行復數(shù)運算，若我們對右邊用二項式定理展開后，對比左右兩邊的實部和虛部，將得到n倍角公式：

且看下面一行，當k取偶數(shù)的時候，這一項就是實數(shù)；當k取奇數(shù)的時候，這一項就是虛數(shù).到最后所有的實數(shù)就構(gòu)成結(jié)果的實部，所有的虛數(shù)項就構(gòu)成結(jié)果的虛部.根據(jù)復數(shù)相等的規(guī)則，左右兩邊的虛部和實部應該相等，那么就有：

這后面就一直寫，直到寫不下去為止.

這個就是n倍角公式，維基百科里有常用的n倍角公式，大家可以參考參考.其實就算是要推導的話也不會太難，只要知道二項式定理就不在話下.注：①數(shù)集拓展到實數(shù)范圍內(nèi)，仍有些運算無法進行.比如判別式小于0的一元二次方程仍無解，因此將數(shù)集再次擴充，達到復數(shù)范圍.形如z=a+bi的數(shù)稱為復數(shù)（complexnumber)，其中規(guī)定i（imaginary）為虛數(shù)單位，且(a、b為任意實數(shù)，a等于0時叫純虛數(shù)，ab都不等于0時叫復數(shù)，b等于0時就是實數(shù)).②在數(shù)學里，將平方是負數(shù)的數(shù)定義為純虛數(shù)。所有的虛數(shù)都是復數(shù).定義為.但是虛數(shù)是沒有算術(shù)平方根這一說的，所以.對于,也可以表示為的次方的形式，其中是常數(shù)，i為虛數(shù)單位，為虛數(shù)的幅角，即可表示為(著名的歐拉公式).實數(shù)和虛數(shù)組成的一對數(shù)在復數(shù)范圍內(nèi)看成一個數(shù)，起名為復數(shù).虛數(shù)沒有正負可言.不是實數(shù)的復數(shù)，即使是純虛數(shù)，也不能比較大小.③著名的棣莫弗公式：.④二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓于1664-1665年間提出.二項式定理(BinomialTheorem)是指在n為正整數(shù)時的展開式.公式為：其系數(shù)亦可表示為我們熟知的楊輝三角或帕斯卡三角形:二項式定理在組合理論、開高次方、高階等差數(shù)列求和，以及差分法中有廣泛的應用.回顧經(jīng)過了一番深入的探究,我們不僅解決了n倍角正余弦的展開式的問題,而且通過搜集資料,還有許多意想不到的收獲.這便是我在前文中所提到的一個問題的附屬價值.這些數(shù)學花園中的奇珍異寶,如棣莫弗公式、二項式定理、復數(shù)的概念、歐