江蘇省2023年中考數(shù)學(xué)第一部分考點(diǎn)研究復(fù)習(xí)第七章圖形的變化第31課時圖形的平移、旋轉(zhuǎn)與位似真題精選（含解析）

PAGEPAGE17第七章圖形的變化第31課時圖形的平移、旋轉(zhuǎn)與位似(2022～2022)江蘇近4年中考真題精選(2022～2022)命題點(diǎn)1圖形的平移(2022年2次，2022年2次，2022年常州24(2)題，2022年淮安21(1)題)1.(2022鎮(zhèn)江12題)如圖，△ABC和△DBC是兩個具有公共邊的全等的等腰三角形，AB＝AC＝3cm，BC＝2cm.將△DBC沿射線BC平移一定的距離得到△D1B1C1，連接AC1，BD1.如果四邊形ABD1C1是矩形，那么平移的距離為________cm.2.(2022淮安21(1)題4分)如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C都是格點(diǎn)．將△ABC向左平移6個單位長度得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1.命題點(diǎn)2圖形的旋轉(zhuǎn)(2022年8次，2022年5次，2022年11次，2022年5次)3.(2022揚(yáng)州6題3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B、C、E在y軸上，Rt△ABC經(jīng)過變換得到Rt△ODE，假設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，1)，AC＝2，那么這種變換可以是()A.△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移3B.△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移1C.△ABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移1D.△ABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移34.(2022泰州5題3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△A′B′C′由△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)得到，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A.(0,1)B.(1,－1)C.(0,－1)D.(1,0)5.(2022蘇州10題3分)如圖，△AOB為等腰三角形，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，eq\r(5))，底邊OB在x軸上，將△AOB繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后得△A′O′B，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′在x軸上，那么點(diǎn)O′的坐標(biāo)為()A.(eq\f(20,3)，eq\f(10,3))B.(eq\f(16,3)，eq\f(4\r(5),3))C.(eq\f(20,3)，eq\f(4\r(5),3))D.(eq\f(16,3)，4eq\r(3))6.(2022無錫10題2分)如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得△A1B1C，當(dāng)A1落在AB邊上時，連接B1B，取BB1的中點(diǎn)D，連接A1D，那么A1D的長度是()A.eq\r(7)B.2eq\r(2)C.3D.2eq\r(3)7.(2022鎮(zhèn)江6題2分)如圖，將等邊△OAB繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)150°，得到△OA′B′(點(diǎn)A′、B′分別是點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn))，那么∠1＝________°.8.(2022鹽城17題3分)如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，AD＝1，把該矩形繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α度得矩形AB′C′D′，點(diǎn)C′落在AB的延長線上，那么圖中陰影局部的面積是________．9.(2022南通17題3分)如圖，BD為正方形ABCD的對角線，BE平分∠DBC，交DC于點(diǎn)E，將△BCE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，假設(shè)CE＝1cm，那么BF＝________cm.10.(2022常州24題6分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝eq\r(3)，點(diǎn)O為Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°.按以下要求畫圖(保存畫圖痕跡)：以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△AOB繞點(diǎn)B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△A′O′B(其中點(diǎn)A、O的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′、O′)，并答復(fù)以下問題：∠ABC＝________，∠A′BC＝________，OA＋OB＋OC＝________．11.(2022淮安21(2)題4分)如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C都是格點(diǎn)．將△ABC繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°得到△A2B2C2.請畫出△A2B2C2.12.(2022南通27題13分)如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，點(diǎn)P，Q分別在BC，AC上，CP＝3x，CQ＝4x(0<x<3)．把△PCQ繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，得到△PDE，點(diǎn)D落在線段PQ上．(1)求證PQ∥AB；(2)假設(shè)點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，求CP的長；(3)假設(shè)△PDE與△ABC重疊局部圖形的周長為T，且12≤T≤16，求x的取值范圍．13.(2022連云港26題12分)在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動，將邊長為2的正方形ABCD與邊長為2eq\r(2)的正方形AEFG按圖①位置放置，AD與AE在同一條直線上，AB與AG在同一條直線上．(1)小明發(fā)現(xiàn)DG⊥BE，請你幫他說明理由．(2)如圖②，小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B恰好落在線段DG上時，請你幫他求出此時BE的長．(3)如圖③，小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)，線段DG與線段BE將相交，交點(diǎn)為H，寫出△GHE與△BHD面積之和的最大值，并簡要說明理由．命題點(diǎn)3位似圖形(2022年鹽城25(2)題，2022年鎮(zhèn)江17題，2022年泰州15題)14.(2022鎮(zhèn)江17題3分)如圖，坐標(biāo)原點(diǎn)O為矩形ABCD的對稱中心，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，t)，AB∥x軸，矩形A′B′C′D′與矩形ABCD是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心，點(diǎn)A′、B′分別是點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)，eq\f(A′B′,AB)＝k.關(guān)于x，y的二元一次方程組(m，n是實數(shù))無解．在以m，n為坐標(biāo)(記為(m，n))的所有的點(diǎn)中，假設(shè)有且只有一個點(diǎn)落在矩形A′B′C′D′的邊上，那么k·t的值等于()A.eq\f(3,4)B.1C.eq\f(4,3)D.eq\f(3,2)15.(2022泰州15題3分)如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(3，0)，(2，－3)，△AB′O′是△ABO關(guān)于點(diǎn)A的位似圖形，且O′的坐標(biāo)為(－1，0)，那么點(diǎn)B′的坐標(biāo)為________.答案1.7【解析】如解圖，如果四邊形ABD1C1是矩形，那么∠BAC1＝90°，過點(diǎn)A作BC的垂線段AE，∵∠ABE＝∠C1BA，∠AEB＝∠C1AB＝90°，∴△ABE∽△C1BA，∴eq\f(AB,C1B)＝eq\f(BE,AB)，∴AB2＝BE·C1B.∵AB＝AC，AE⊥BC，∴BE＝CE＝1，∴9＝1·C1B，∴C1B＝9，∴平移的距離CC1＝C1B－BC＝9－2＝7cm.2.解：如解圖所示：△A1B1C1，即為所求．(4分)3.A【解析】首先看旋轉(zhuǎn)方向，看圖形的旋轉(zhuǎn)前后的位置應(yīng)該是順時針旋轉(zhuǎn)的，再從點(diǎn)的坐標(biāo)來看，應(yīng)該向下平移3個單位．4.B【解析】旋轉(zhuǎn)中心是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)，作線段AA′，CC′的垂直平分線，交于點(diǎn)P(1，－1)．5.C【解析】如解圖，過點(diǎn)A作AC⊥OB于點(diǎn)C，過點(diǎn)O′作O′D⊥A′B于點(diǎn)D，∵A(2，eq\r(5))，∴OC＝2，AC＝eq\r(5)，在△AOC中，由勾股定理得OA＝＝eq\r(22＋〔\r(5)〕2)＝3.∵△AOB為等腰三角形，OB是底邊，∴OB＝2OC＝2×2＝4，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BO′＝OB＝4，∠A′BO′＝∠ABO，∴O′D＝O′B·sin∠A′BO′＝O′B·sin∠ABO＝O′B×eq\f(AC,AB)＝O′B×eq\f(AC,OA)＝4×eq\f(\r(5),3)＝eq\f(4\r(5),3)，在Rt△O′DB中，BD＝＝eq\r(42－〔\f(4\r(5),3)〕2)＝eq\f(8,3)，∴OD＝OB＋BD＝4＋eq\f(8,3)＝eq\f(20,3)，∴點(diǎn)O′的坐標(biāo)為(eq\f(20,3)，eq\f(4\r(5),3))．6.A【解析】在Rt△ABC中，∵∠ABC＝30°，AC＝2，∴∠A＝60°，AB＝4，BC＝AC·tan60°＝2eq\r(3).由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△A1B1C≌△ABC，∴A1C＝AC，B1C＝BC，∵∠A＝60°，∴△AA1C是等邊三角形．∴旋轉(zhuǎn)角為60°，∠BCB1＝60°.∴△BCB1是等邊三角形．∴BB1＝BC＝2eq\r(3).∵D是BB1的中點(diǎn)，∴BD＝eq\r(3).∵BB1＝CB1，∠BB1A1＝∠CB1A1＝30°，∴△A1BB1≌△A1CB1(SAS)，易知A1B＝A1C＝2，∠A1BB1＝90°，∴在Rt△A1BD中，A1D＝＝eq\r(22＋〔\r(3)〕2)＝eq\r(7).7.150【解析】由于旋轉(zhuǎn)角是150°，∴∠AOA′＝150°，∵△AOB是等邊三角形，∴∠AOB＝∠A′OB′＝60°，∴∠1＝360°－150°－60°＝150°.8.eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,4)【解析】∵在矩形ABCD中，AB＝CD＝eq\r(3)，AD＝BC＝1，∴tan∠CAB＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠CAB＝30°，∴∠BAB′＝30°，∴S△AB′C′＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),2)，S扇形BAB′＝eq\f(30π×〔\r(3)〕2,360)＝eq\f(π,4)，∴S陰影＝S△AB′C′－S扇形BAB′＝eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,4).9.2＋eq\r(2)【解析】過點(diǎn)E作EG⊥BD且交BD于點(diǎn)G，∵BE平分∠DBC，∠EGB＝∠BCE＝90°，∴EG＝EC＝1.∵∠EGD＝90°，∠GDE＝45°，∴△DEG為等腰直角三角形，∴DE＝eq\r(2)EG＝eq\r(2).∴CD＝1＋eq\r(2)，即BC＝1＋eq\r(2).由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，CF＝CE＝1.∴BF＝2＋eq\r(2).10.解：所求作圖形如解圖；30°，90°，eq\r(7)(6分)【解法提示】∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝eq\r(3).∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝2，tan∠ABC＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠ABC＝30°，∵△AOB繞點(diǎn)B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，∴△A′O′B如解圖所示，∴∠A′BC＝∠ABC＋60°＝30°＋60°＝90°.A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO.∵∠A′BO′＋∠O′BA＝60°，∠A′BO′＝∠ABO，∴∠ABO＋∠O′BA＝60°，∴△BOO′是等邊三角形，∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°.∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，∴∠COB＋∠BOO′＝∠BO′A′＋∠BO′O＝120°＋60°＝180°，∴C、O、A′、O′四點(diǎn)共線，在Rt△A′BC中，A′C＝＝eq\r(〔\r(3)〕2＋22)＝eq\r(7)，∴OA＋OB＋OC＝A′O′＋OO′＋OC＝A′C＝eq\r(7).11.解：如解圖所示：△A2B2C2，即為所求．(4分)12.(1)證明：在Rt△ABC中，AC＝eq\r(AB2－BC2)＝12.∵CP＝3x，CQ＝4x，BC＝9，∴CP∶CB＝3x∶9＝x∶3,CQ∶CA＝4x∶12＝x∶3，∴CP∶CB＝CQ∶CA，∴PQ∥AB；(3分)(2)解：如解圖，連接AD，∵PQ∥AB，∴∠ADQ＝∠DAB.∵點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，∴∠DAQ＝∠DAB，∴∠ADQ＝∠DAQ.∴AQ＝DQ.(5分)在Rt△CPQ中，PQ＝＝5x，∵PD＝PC＝3x，∴DQ＝2x.∵AQ＝12－4x，∴12－4x＝2x.解得x＝2.∴CP＝3x＝6；(7分)(3)解：當(dāng)點(diǎn)E落在AB上時，∵PQ∥AB，∴∠DPE＝∠PEB.∵∠CPQ＝∠DPE，∠CPQ＝∠B，∴∠B＝∠PEB，∴PB＝PE＝5x，∴3x＋5x＝9.解得x＝eq\f(9,8).(9分)以下分兩種情況討論：①當(dāng)0＜x≤eq\f(9,8)時，T＝PD＋DE＋PE＝3x＋4x＋5x＝12x.此時，0＜T≤eq\f(27,2).②當(dāng)eq\f(9,8)＜x＜3時，如解圖，設(shè)PE交AB于G，DE交AB于F.作GH⊥PQ，垂足為H.∴HG＝DF，F(xiàn)G＝DH，Rt△PHG∽Rt△PDE，∴eq\f(GH,ED)＝eq\f(PG,PE)＝eq\f(PH,PD).(11分)∵PG＝PB＝9－3x，∴∴GH＝DF＝eq\f(4,5)(9－3x)，PH＝eq\f(3,5)(9－3x)，∴FG＝DH＝3x－eq\f(3,5)(9－3x)，∴T＝PG＋PD＋DF＋FG＝(9－3x)＋3x＋eq\f(4,5)(9－3x)＋[3x－eq\f(3,5)(9－3x)]＝eq\f(12,5)x＋eq\f(54,5)，此時，eq\f(27,2)＜T＜18.∴當(dāng)0＜x＜3時，T隨x的增大而增大，∴T＝12時，即12x＝12，解得x＝1；T＝16時，即eq\f(12,5)x＋eq\f(54,5)＝16，解得x＝eq\f(13,6)，∵12≤T≤16，∴x的取值范圍是1≤x≤eq\f(13,6).(13分)13.解：(1)如解圖①，延長EB交DG于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD與四邊形AEFG是正方形，∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE，∴△ADG≌△ABE(SAS)，∴∠AGD＝∠AEB.在△ADG中，∠AGD＋∠ADG＝90°，∴∠AEB＋∠ADG＝90°.∴∠DHE＝90°，即DG⊥BE.(4分)(2)∵四邊形ABCD與四邊形AEFG都是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝∠GAE＝90°，AG＝AE，∴∠DAB＋∠BAG＝∠GAE＋∠BAG，∴∠DAG＝∠BAE.在△ADG和△ABE中，∴△ADG≌△ABE(SAS)，∴DG＝BE.如解圖②，過點(diǎn)A作AM⊥DG于點(diǎn)M，∠AMD＝∠AMG＝90°，∵BD是正方形ABCD的對角線，∴∠MDA＝45°.在Rt△AMD中，∵∠MDA＝45°，AD＝2，∴DM＝AM＝eq\r(2)，在Rt△AMG中，∵AM2＋GM2＝AG2，∴GM＝＝eq\r(〔2\r(2)〕2－〔\r(2)〕2)＝eq\r(6)，∵DG＝DM＋GM＝eq\r(2)＋eq\r(6)，∴BE＝DG＝eq\r(2)＋eq\r(6).(8分)(3)解：△GHE與△BHD面積之和的最大值為6.(10分)理由：對于△EGH，由于線段GE是固定的，且BE⊥DG，故可得點(diǎn)H在以EG為直徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時，△EGH中GE邊上的高最大，同理對于△BDH，點(diǎn)H在以BD為直徑的圓上，即點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時，△BDH中BD邊上的高最大，所以△GHE與△BHD面積之和的最大值是eq\f(1,2)S正方形ABCD＋