第二章-隨機(jī)變量及其分布

隨機(jī)變量的引入與例1、例2

定義:設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S={e}，X=X(e)是定義在樣本空間S上的實(shí)值單值

函數(shù),，X=X(e)為隨機(jī)變量。

說(shuō)明

舉例與示意圖2.2

返回書(shū)目

§1

隨機(jī)變量

§2離散型隨機(jī)變量及其分布

定義：若隨機(jī)變量的取值是有限個(gè)或可列

個(gè)，則稱之為離散型隨機(jī)變量。

說(shuō)明

要駕馭離散型隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：

①知道X全部可能的取值;

②且知每一可能取值的概率。分布律定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X全部可能取值

為xk,且P{X=xk}=pk,k=1,2,…（2.1）

我們稱（2.1）式為離散型隨機(jī)變量X的分布律。由概率定義我們得到以下兩性質(zhì)：

1.pk≧0,k=1,2,…（2.2）

2.(2.3)

分布律還可以用表格來(lái)表示：(2.4)

例1離散型隨機(jī)變量a.(0—1)分布隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值，其分布律表格形式為：（0<p<1）表達(dá)式：P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1則稱X聽(tīng)從參數(shù)為p的(0—1)分布重要或兩點(diǎn)分布。（說(shuō)明）b.伯努利試驗(yàn)、二項(xiàng)分布

說(shuō)明

舉例

一、伯努利試驗(yàn)定義：設(shè)試驗(yàn)結(jié)果只有兩種可能，則稱為伯努利試驗(yàn)。將伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)地進(jìn)行n次，則稱這n次試驗(yàn)叫n重伯努利試驗(yàn)。

二、二項(xiàng)分布定義：假如隨機(jī)變量X的分布如下：

P(X=k)=Cnkpkqn-k,k=0,1,2,…n.(2.3)

其中0<p<1,q=1-p,則稱X聽(tīng)從參數(shù)為n,p的

二項(xiàng)分布，或用記號(hào)

來(lái)表示。二項(xiàng)分布的推導(dǎo)過(guò)程與說(shuō)明舉例（例2，例3，例4）

C.泊松分布定義：假如隨機(jī)變量X的概率密度如下：

,k=0,1,2,…(>0),(2.4)

則稱X聽(tīng)從參數(shù)為的泊松分布，記作：說(shuō)明

舉例返回書(shū)目

§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義： 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是隨意實(shí)數(shù)，函數(shù)：F(x)=P{X≦x}

稱為X的分布函數(shù)。說(shuō)明基本性質(zhì)舉例（例1，例2）返回書(shū)目為了進(jìn)一步用數(shù)學(xué)方法探討隨機(jī)試驗(yàn)，我們把試驗(yàn)結(jié)果與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，即將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化，引入隨機(jī)變量的概念。

隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果很大部分干脆與數(shù)值有關(guān),如：產(chǎn)品抽樣中的次品數(shù)目，多次重復(fù)拋擲硬幣的試驗(yàn)中出現(xiàn)正面次數(shù)等等。

而有的試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值無(wú)干脆關(guān)系，我們可以把它映射為數(shù)值來(lái)表示，如：硬幣拋擲中出現(xiàn)正面用“0”來(lái)表示，出現(xiàn)反面用“1”來(lái)表示。例1：在一袋中裝有編號(hào)分別為1，2，3的3只球，在袋中任取一只球，放回，再取一只球，記錄它們的編號(hào)?？疾靸芍磺虻木幪?hào)之和。則試驗(yàn)的樣本空間S={e}={(i,j)}i,j=1,2,3。i,j分別為第一，第二次取到球的號(hào)碼。以X表示兩球號(hào)碼之和，得到樣本空間的每一個(gè)樣本點(diǎn)e，X都有一值與之對(duì)應(yīng)，如圖2-1。例2：拋擲一硬幣3次，考查3次拋擲中，出現(xiàn)H的總次數(shù)，并記為X。引用第一章§2的表示法，可得樣本空間與X的取值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如下表：

此前例1，例2中的X均為隨機(jī)變量。

例3：某射手每次打中目標(biāo)的概率為0.8，該射手不斷向目標(biāo)射擊，直到打中目標(biāo)為止，則此手所需射擊次數(shù)X是一隨機(jī)變量。

例4：某車站每間隔5分鐘有一公共汽車經(jīng)過(guò)。若某人隨機(jī)到達(dá)此站，則他等車的時(shí)間X是一隨機(jī)變量。

例5：某元件的可能壽命X是一隨機(jī)變量。

例6：一新生嬰兒的性別記為X，當(dāng)是男嬰取X為1，當(dāng)為女?huà)霑r(shí)取X為0，則未誕生前此嬰兒的性別X為隨機(jī)變量。實(shí)值單值函數(shù)的映射不是指單射，而是相對(duì)于多值函數(shù)的一般映射。

嚴(yán)格定義中“集合{e|X(e)≦x,任x∈R}有確定的概率”應(yīng)加入定義。但實(shí)際中不滿足此情形很少見(jiàn)，固未加入定義。

本書(shū)中，一般大寫(xiě)：X，Y，Z,W，…表隨機(jī)變量，小寫(xiě)：x,y,z,w，…表實(shí)數(shù)。更多隨機(jī)變量取值隨試驗(yàn)結(jié)果而定，在試驗(yàn)之前不能預(yù)知它的結(jié)果,且其取值都有確定的概率,固與一般函數(shù)有本質(zhì)區(qū)分。L為一實(shí)數(shù)集，X在L上取值記為{X∈L},它表示事務(wù)B={e|X(e)∈L},即B是S中使全部樣本點(diǎn)e所組成的事務(wù)，此時(shí)有P{X∈L}=P(B)=P{e|X(e)∈L}。如：在例2中取X為2，記為{X=2}，它表事務(wù)B={HHT,HTH,THH},P{X=2}=P(B)=

P{HHT,HTH,THH}=3/8。

例1：設(shè)一汽車在開(kāi)往目的地的道路上要經(jīng)四組信號(hào)燈,每組信號(hào)燈以1/2的概率允許或禁止汽車通過(guò)。以X表示汽車首次停下時(shí)，它已通過(guò)的信號(hào)燈組數(shù)（設(shè)各組信號(hào)燈的工作相互獨(dú)立），求X的分布律。

分析：在第i(1,2,3,4)組信號(hào)燈前停下時(shí)，通過(guò)的信燈數(shù)為i-1且此事務(wù)發(fā)生的概率為(1/2)i-11/2(因子(1/2)i-1表示前i-1個(gè)允許通過(guò)的概率，因子1/2表示被第i個(gè)禁止通過(guò)的概率)，同理，能到達(dá)目的地的概率為(1/2)4。（解答）解：以p表示每組信號(hào)燈禁止汽車通過(guò)的概率，X全部可能取值為0，1，2，3，4。得X的分布律為：P{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3,P{X=4}=(1-p)4。用表格表示如下：代入p=1/2可得結(jié)果，可驗(yàn)證此結(jié)果滿足分布律兩性質(zhì)。說(shuō)明：凡是可以用自然數(shù)1，2，…編號(hào)的無(wú)限數(shù)集均為可列的。如某城市120服務(wù)臺(tái)一日內(nèi)可能收到的呼喊次數(shù)是可列的，是一個(gè)離散型隨機(jī)變量。但一燈泡可能的壽命大小卻是不行列的，不是離散型隨機(jī)變量。說(shuō)明：任一試驗(yàn)，若結(jié)果只有兩個(gè)即S={e1,e2},則總可定義：X=X(e)=，明顯X聽(tīng)從(0—1)分布。比如新生嬰兒是男還是女，明天是否下雨，拋一硬幣是否出現(xiàn)正面等。說(shuō)明：記P()=p(0<p<1),則P()=1-p。n重伯努利試驗(yàn)定義中“重復(fù)”是指每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率不變。“獨(dú)立”是指各次試驗(yàn)互不影響。記第i次試驗(yàn)結(jié)果為ci,ci為，i=1,2,3,…n.由獨(dú)立得到：P{c1,c2,…cn}=p(ci)p(c2)…p(cn).(2.5)n重伯努利試驗(yàn)是一個(gè)很重要的數(shù)學(xué)模型，有二項(xiàng)分布，幾何分布，巴斯卡分布等常見(jiàn)分布以它為模型。舉例拋擲一個(gè)硬幣視察正面反面，就是一個(gè)伯努利

試驗(yàn)。若拋擲n次就是n重伯努利試驗(yàn)。拋擲一顆骰子，可得到6個(gè)點(diǎn)數(shù)，但是若我們考

察結(jié)果是否為“1點(diǎn)”與“非1點(diǎn)”，則就是一個(gè)伯努利

試驗(yàn)。若拋擲n次就是n重伯努利試驗(yàn)。在一批產(chǎn)品中，若做n次放回抽樣，視察得到的

產(chǎn)品是否為次品,則為n重伯努利試驗(yàn);若做n次不

放回抽樣，由于各次試驗(yàn)不相互“獨(dú)立”，故不是n

重伯努利試驗(yàn)。但是若此批產(chǎn)品的數(shù)目很大，抽

出的數(shù)目相對(duì)很小，則此時(shí)不放回抽樣可看作放

回抽樣,如此n次不放回抽樣也是n重伯努利試驗(yàn)

例2：按規(guī)定，某種型號(hào)的電子元件的運(yùn)用壽命超過(guò)1500小時(shí)的為一級(jí)品。已知某一大批產(chǎn)品的一級(jí)品率為0.2，現(xiàn)在從中隨機(jī)地抽取20只。問(wèn)20只元件中恰有k只（k=0,1,…，20）為一級(jí)品的概率市多少。分析：這是不放回抽樣。由于元件總數(shù)很大，而抽取的元件數(shù)量相對(duì)很少，檢查20只元件相當(dāng)于做20重伯努利試驗(yàn)。記X表抽取的20只元件中一級(jí)品的個(gè)數(shù)，則：（解答）解：以X表示20只元件中一級(jí)品的個(gè)數(shù)。則。將結(jié)果列表如下：

例3：

某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.02，獨(dú)立射擊400次，試求至少擊中兩次的概率。分析：400次射擊可看成400重伯努利試驗(yàn)。擊中的次數(shù)?！爸辽贀糁?次”等價(jià)于“擊中次數(shù)不是0或1次”。（解答）結(jié)論：a.決不行輕視小概率事務(wù)。b.當(dāng)所求事務(wù)的概率很小或很大時(shí)，可以依據(jù)實(shí)際推斷原理來(lái)推斷試驗(yàn)的假設(shè)。

解：設(shè)擊中次數(shù)為X，則，

即：所求事務(wù)概率：P{X≥2}=1－P{X=0}－P{X=1}=1－(0.98)400－400(0.02)(0.98)399=0.9972分析:對(duì)第一種方法，“不能剛好修理”等價(jià)于“4人中任1人負(fù)責(zé)的20臺(tái)中有2臺(tái)或2臺(tái)以上的設(shè)備發(fā)生故障”。對(duì)其次種方法，“不能剛好修理”等價(jià)于“80臺(tái)中有4臺(tái)或4臺(tái)以上的設(shè)備發(fā)生故障”。（解答）例4：設(shè)有80臺(tái)同類型設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率是0.01，且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理?？紤]兩種配備修理工人的方法，其一是由4個(gè)人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺(tái)；其二是由3人共同維護(hù)80臺(tái)。試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能剛好維護(hù)的概率大小。解答：對(duì)第一種方法.以Ai(i=1,2,3,4,)表示“第i人維護(hù)的20臺(tái)機(jī)器中發(fā)生故障不能剛好修理”。則第一人維護(hù)的20臺(tái)中同時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)則發(fā)生故障不能剛好修理的概率為（轉(zhuǎn)下頁(yè)）對(duì)其次種方法.80臺(tái)中同時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備臺(tái)數(shù) 則發(fā)生故障不能剛好修理的概率為比較第一、其次種方法。其次種方法雖然平均個(gè)人任務(wù)更重，工作效率卻更高。

分析：由分布函數(shù)定義，可依據(jù)隨機(jī)變量X的分布律求出分布函數(shù)。再由隨機(jī)變量落在任一區(qū)間上的概率與其分布函數(shù)的關(guān)系[如(3.1)]易求解。（解答）（結(jié)論）例1：設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為求X的分布函數(shù)，并求P{X≤1/2}，P{3/2<X≤5/2}，P{2≤X≤3}。解：X僅在x=-1,2,3三點(diǎn)的概率≠0，依據(jù)分布函數(shù)定義及概率的有限可加性：即：F(x)的圖形如圖2—5，是一條階梯形曲線，有x=-1,2,3三個(gè)跳動(dòng)點(diǎn)，跳動(dòng)值分別為1/4，1/2，1/4。（轉(zhuǎn)下頁(yè)）由分布函數(shù)定義：P{X≤1/2}=F(1/2)=1/4,P{3/2<X≤5/2}=F(5/2)－F(3/2)=3/4－1/4=1/2,P{2≤X≤3}=F(3)－F(2)＋P{X=2}=1－3/4＋1/2=3/4.結(jié)論：對(duì)已知離散型隨機(jī)變量X的分布律：P{X=xk}=pk,k=1,2,…由概率的可列可加性可得出X的分布函數(shù)：F(x)=P{X≤x}=(3.2)它在x=x(k=1,2,…)處有跳動(dòng)點(diǎn)，跳動(dòng)值為P{X=xk}=pk。分析：由題目已知可得:1.隨機(jī)變量X的實(shí)際取值范圍為[0，2]，故F(x)=0,x<0；F(x)=1,x≥2；2.p{0≤X≤x}=kx2,其中k待定且0≤x≤2；3.p{0≤X≤2}=1（必定事務(wù)概率為1）。由1,2,3三點(diǎn)易求X的分布函數(shù)。（解答）（結(jié)論）例2：

一個(gè)靶子是半徑為2米的圓盤(pán)，射擊中靶上任一個(gè)同心圓盤(pán)上的點(diǎn)的概率與該圓盤(pán)的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離，試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。解：由于隨機(jī)變量X的實(shí)際取值范圍為[0，2]，當(dāng)x<0時(shí),F(x)=0；當(dāng)x≥2時(shí)，F(xiàn)(x)=1；當(dāng)0≤x≤2時(shí)，P{0≤X≤x}=kx2,其中k待定。由于X必定落在[0，2]上，必定事務(wù)概率為1，所以p{0≤X≤2}=1=22k,故k=1/4。此時(shí)F(x)=P{X≤x}=P{X<0}+P{0≤X≤x}=F(0)+1/4x2=1/4x2。綜上所述：

F(x)圖形是一個(gè)連續(xù)曲線如圖2—6所示。

F(x)還可寫(xiě)成以下形式：其中

F(x)恰是非負(fù)函數(shù)f(t)在區(qū)間(-∞,x]上積分，此時(shí)，我們稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量?；拘再|(zhì)：F(x)是一個(gè)增函數(shù).0≤F(x)≤1且

3.F(x+0)=F(x),即F(x)是右連續(xù)的.

證明性質(zhì)1，2，3分別要利用概率的：1.非負(fù)性，2.規(guī)范性，3.可列可加性.故分布函數(shù)的三個(gè)基本性質(zhì)正好對(duì)應(yīng)于概率的三個(gè)基本性質(zhì)。證明：分布函數(shù)F(x)表示事務(wù){(diào)X≤x}(即X的取值落在區(qū)間(－∞,x]上)的概率。對(duì)于隨意實(shí)數(shù)x1,x2(x1<x2)，有

p{x1<X≤x2}=p{X≤x2}－p{X≤x1}

=F(x2)－F(x1)。(3.1)已知X的分布函數(shù)，就能知道X落在任一區(qū)間

(x1,x2]上概率，分布函數(shù)完整描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。通過(guò)分布函數(shù)，我們能更進(jìn)一步利用數(shù)學(xué)分析方法探討隨機(jī)變量。二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)背景

在n重伯努利試驗(yàn)中，p為事務(wù)A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，定義隨機(jī)變量X為：“n重伯努利試驗(yàn)中事務(wù)A發(fā)生的次數(shù)”，此時(shí)X所滿足的分布律就是二項(xiàng)分布。公式中參數(shù)n,p分別表示伯努利試驗(yàn)的重?cái)?shù)，事務(wù)A發(fā)生的概率。當(dāng)n=1時(shí)，二項(xiàng)分布退化為

P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1.

成為（0—1）分布。（轉(zhuǎn)下頁(yè)）二項(xiàng)分布分表達(dá)式中Cnkpkqn-k剛好是二項(xiàng)式(p+q)n的綻開(kāi)式中出現(xiàn)的pk那一項(xiàng)，故稱X聽(tīng)從參數(shù)n,p為的二項(xiàng)分布。X全部可能取值為0，1，2，…，n。明顯

1.P{X=k}≥0，k=0,1,2,…n;

二項(xiàng)分布滿足分布律兩性質(zhì)。求P{X=k}，即是求n重伯努利試驗(yàn)中事務(wù)A發(fā)生k次的概率。事務(wù)A發(fā)生k次的試驗(yàn)的可能方式有種，它們是兩兩互不相容的，且每種發(fā)生的概率相同。由于各次試驗(yàn)相互獨(dú)立,故每種方式發(fā)生的概率為:pk(1－p)n-k。記q=1－p，即有：為泊松

分布參數(shù)且必大于0；X全部可能取值為0，1，2，…；易證

1.P{X=k}≥0，k=0,1,2,…n;

滿足分布律性質(zhì)。

k=0時(shí)P{X=k}取最大值;當(dāng)

以k與P{X=k}

分別作為橫縱軸的圖形呈“峰”形?，F(xiàn)已發(fā)覺(jué)很多隨機(jī)現(xiàn)象聽(tīng)從泊松分布。這情形特殊集中在兩個(gè)領(lǐng)域中。一是社會(huì)生活中：如電話交換臺(tái)中收到的呼叫次數(shù)，公共汽車站到來(lái)的乘客數(shù)，某地區(qū)某時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生的交通事故等等。二是物理學(xué)領(lǐng)域：放射性物質(zhì)經(jīng)過(guò)某區(qū)域的質(zhì)點(diǎn)數(shù)，熱電子的放射，顯微鏡下某區(qū)域的微生物或血球數(shù)目等等。因此，泊松分布在運(yùn)籌學(xué)，管理科學(xué)，物理學(xué)等方面有重要地位。back

§4連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率概布

定義概率密度的性質(zhì)留意幾種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量1）勻整分布2）指數(shù)分布3）正態(tài)分布定義：

若對(duì)隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)，存在非負(fù)數(shù)f(x)，使對(duì)于隨意實(shí)數(shù)x有

(4.1)

則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。其中f(x)稱為的概率密度函數(shù)。返回定義：

若對(duì)隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)，存在非負(fù)數(shù)f(x)，使對(duì)于隨意實(shí)數(shù)x有

(4.1)

則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。其中f(x)稱為的概率密度函數(shù)。返回

解:

(1),

(2),(3)留意：1變更f(x)的個(gè)別值并不影響F(x)的取值。

2P{x1<X≤x2}表示在區(qū)間(x1,x2]上曲線y=f(x)之下的曲邊梯形的面積.3P{x<X≤x+△x}≈f(x)△x

4P{X=a}=0,其中a為隨意實(shí)數(shù)。

5P{a<X≤b}=P{a<X<b}=P{a≤X≤b}.返回（一）勻整分布1定義：連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度

則稱X在(a,b)上聽(tīng)從勻整分布，

記為：X～U(a,b).

幾種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量2分布函數(shù)

F(x)=3性質(zhì)：X落在(a,b)中隨意等長(zhǎng)度的子區(qū)間上的等可能性相同。對(duì)隨意L，若a≤c<c+L≤b,即在長(zhǎng)度為L(zhǎng)的子區(qū)間（c,c+L）上有

P{c<X≤c+L}=4例題2返回（二）指數(shù)分布1定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

其中為常數(shù)，則稱X聽(tīng)從參數(shù)為的指數(shù)分布。2分布函數(shù)

返回

3性質(zhì)：指數(shù)分布的無(wú)記憶性對(duì)于隨意s,t>0,有P{X>s+t|X>s}=P{X>t}證明：P{X>s+t|X>s}=P{X>s+t,X>s}/P{X>s}=P{X>s+t}/P{X>s}=[1-F(s+t)]/[1-F(s)]=

=P{X>t}.1定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

(4.1)

其中為常數(shù)，則稱X聽(tīng)從參數(shù)為的

正態(tài)分布或高斯分布，記為X~N()。2分布函數(shù)

F(X)=（三）正態(tài)分布返回(1)f(x)≥0

(2)

(3)曲線關(guān)于x=對(duì)稱。3正態(tài)分布概率密度的性質(zhì)(4)當(dāng)x=取得最大值

(5)變更對(duì)圖形的影響。（制圖）4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布若X~N(),當(dāng)

則稱X聽(tīng)從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。5

定理

若X~N（），則Z=

Z~N（0，1）。

6標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)及應(yīng)用

（3）3法則（4）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位點(diǎn)（定義）返回書(shū)目例3將一溫度調(diào)整器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)整器整定在液體的溫度（以計(jì)）是一個(gè)隨機(jī)變量，且XN（d,0.5)（1）若d=90,求X小