彈性力學平面應力問題和平面應變問題

關于彈性力學平面應力問題和平面應變問題第1頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四第一節(jié)平面應力問題和平面應變問題第二節(jié)平衡微分方程第三節(jié)平面問題中一點的應力狀態(tài)第四節(jié)幾何方程剛體位移第五節(jié)物理方程第六節(jié)邊界條件第二章平面問題的基本理論第2頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四第二章平面問題的基本理論第七節(jié)圣維南原理及其應用第八節(jié)按位移求解平面問題第九節(jié)按應力求解平面問題相容方程第十節(jié)常應力情況下的簡化應力函數(shù)第3頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四

彈性力學平面問題共有應力、應變和位移8個未知函數(shù)，且均為。§2-1平面應力問題和平面應變問題

彈性力學空間問題共有應力、應變和位移15個未知函數(shù)，且均為；平面應力第4頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四==第5頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四==第6頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四兩類特殊問題1、平面應力問題yxyzt/2t/2第7頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四（4）約束作用于板邊，平行于板的中面，沿板厚不變。（3）面力作用于板邊，平行于板的中面，沿板厚不變；（2）體力作用于體內，平行于板的中面，沿板厚不變；條件是：

第一種：平面應力問題

平面應力（1）等厚度的薄板；第8頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四坐標系如圖選擇。平面應力第9頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四簡化為平面應力問題：

故只有平面應力存在。

由于薄板很薄，應力是連續(xù)變化的，又無z向外力，可認為：平面應力（1）兩板面上無面力和約束作用，故第10頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四所以歸納為平面應力問題：a.應力中只有平面應力存在；b.且僅為

。平面應力（2）由于板為等厚度，外力、約束沿z向不變，故應力僅為。第11頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四如：弧形閘門閘墩計算簡圖：平面應力深梁計算簡圖：F第12頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四因表面無任何面力，平面應力AB例題1：試分析AB薄層中的應力狀態(tài)。故接近平面應力問題。故表面上，有：在近表面很薄一層內：第13頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四第二種：平面應變問題縱向軸壓力管道縱向軸水壩第14頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四（2）體力作用于體內，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變；平面應變第二種：平面應變問題條件是：（1）很長的常截面柱體；（3）面力作用于柱面，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變；（4）約束作用于柱面，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變。第15頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四坐標系選擇如圖：平面應變對稱面第16頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四故任何z面（截面）均為對稱面。

平面應變（1）截面、外力、約束沿z向不變，外力、約束平行xy面，柱體非常長；簡化為平面應變問題：第17頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四（2）由于截面形狀、體力、面力及約束沿向均不變，故應力、應變和位移均為 。平面應變第18頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四

所以歸納為平面應變問題：

a.應變中只有平面應變分量存在；

b.且僅為 。平面應變第19頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四例如：平面應變隧道擋土墻oyxyox第20頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四且僅為。故只有，本題中：平面應變oxyz例題2：試分析薄板中的應變狀態(tài)。故為平面應變問題。第21頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四§2－2平衡微分方程定義

平衡微分方程--表示物體內任一點的微分體的平衡條件。第22頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四在任一點（x，y）取出一微小的平行六面體 ,作用于微分體上的力：體力：。定義應力：作用于各邊上，并表示出正面上由坐標增量引起的應力增量。第23頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四應用的基本假定：連續(xù)性假定─應力用連續(xù)函數(shù)來表示。小變形假定─用變形前的尺寸代替變形后的尺寸。第24頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四列出平衡條件：合力=應力×面積，體力×體積；以正向物理量來表示。平面問題中可列出3個平衡條件。平衡條件第25頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四其中一階微量抵消，并除以得：，同理可得：平衡條件第26頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四當時，得切應力互等定理,得平衡條件第27頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四⑵適用的條件--連續(xù)性，小變形；說明對平衡微分方程的說明：⑴代表A中所有點的平衡條件，因位（，）∈A；⑶應力不能直接求出；⑷對兩類平面問題的方程相同。第28頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四理論力學考慮整體的平衡（只決定整體的運動狀態(tài)）。

說明⑸比較:材料力學考慮有限體的平衡（近似）。彈性力學考慮微分體的平衡（精確）。第29頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四當均平衡時，保證，平衡；反之則不然。說明所以彈力的平衡條件是嚴格的，并且是精確的。第30頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四理力（V）材力（）彈力（）hV

dxdy

dx第31頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四思考題1.試檢查，同一方程中的各項，其量綱必然相同（可用來檢驗方程的正確性）。2.將條件,改為對某一角點的 ，將得出什么結果？3.微分體邊上的應力若考慮為不均勻分布，將得出什么結果？第32頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四已知坐標面上應力，

求斜面上的應力。問題的提出：§2－3平面問題中一點的應力狀態(tài)問題第33頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四求解：取出一個三角形微分體（包含面，面，面），邊長問題斜面應力表示：第34頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四yxPAPBppxpyτNσNn2、平面問題中一點的應力狀態(tài)幾何參數(shù)：設AB面面積=ds，PB面積=lds，

PA面積=mds。斜面上應力分解為：由∑Y=0得：（2-3）第35頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四由平衡條件，并略去高階分量體力項，得(1)求（,）(a)斜面應力其中：l=cos(n,x),m=cos(n,y)。第36頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四2、平面問題中一點的應力狀態(tài)yxPAPBppxpy斜面上應力分解為：τNσN（2-4）（2-5）已知P點應力σxσyτxy可求出過P點任意斜面上的正應力和剪應力（σNτN）利用（2-4）（2-5）應力在x，y軸上的投影（px，py）利用（2-3）n第37頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四(2)求（）將 向法向，切向投影，得斜面應力第38頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四主平面主應力：剪應力等于零的平面叫主平主平面上的應力叫主應力。σpxpyyxAPBnσ2－(σx+σy)σ+(σxσy－τ2xy)=0第39頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四設某一斜面為主面，則只有由此建立方程，求出:(3)求主應力斜面應力(c)第40頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四主平面主應力：剪應力等于零的平面叫主平面，主平面上的應力叫主應力。σpxpyyxAPBn注意:①平面應力狀態(tài)下,任一點一般都存在兩個主應力。二者方向互相垂直。②σ1+σ2=σx+σy③任一點主應力值是過該點各截面上正應力中的極值。④最大剪應力所在平面與主平面相交45°，其值為⑤主平面上剪應力等于零，但τmax

作用面上正應力一般不為零。而是：第41頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四將x，y放在方向，列出任一斜面上應力公式，可以得出（設 ）(4)求最大，最小應力最大，最小應力說明：以上均應用彈力符號規(guī)定導出。(d)第42頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四幾何方程─表示任一點的微分線段上形變與位移之間的關系。§2－4幾何方程剛體位移定義第43頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四變形前位置：變形后位置：－－各點的位置如圖。通過點P(x,y)作兩正坐標向的微分線段定義第44頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四應用基本假定：⑴連續(xù)性；⑵小變形。當 很小時，假定第45頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四幾何方程剛體位移yxPABP′A′B′uvPA=dx,PB=dyPA正應變:PB正應變:αβ………（2-8）幾何方程：對兩種平面問題都適用。第46頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四假定由位移求形變：PA線應變PA轉角PB線應變PB轉角同理，第47頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四⑴適用于區(qū)域內任何點，因為（x,y）A；對幾何方程的說明：所以平面問題的幾何方程為：說明⑶適用條件：a.連續(xù)性；b.小變形。⑵應用小變形假定，略去了高階小量線性的幾何方程；第48頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四⑷幾何方程是變形后物體連續(xù)性條件的反映和必然結果。⑸形變和位移之間的關系：

位移確定形變完全確定：從物理概念看，各點的位置確定，則微分線段上的形變確定。說明從數(shù)學推導看，位移函數(shù)確定，則其導數(shù)（形變）確定。第49頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四從物理概念看，，確定，物體還可作剛體位移。從數(shù)學推導看，，確定，求位移是積分運算，出現(xiàn)待定函數(shù)。形變確定，位移不完全確定：

形變與位移的關系第50頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四由,兩邊對y積分，由,兩邊對x積分，例：若,求位移：形變與位移的關系代入第三式第51頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四分開變量，因為幾何方程第三式對任意的（x，y）均應滿足。當x（y）變化時，式(b)的左，右均應=常數(shù)，由此解出?？傻眯巫兣c位移的關系第52頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四物理意義：

形變與位移的關系－－表示物體繞原點的剛體轉動。－－表示x，y向的剛體平移，第53頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四結論形變確定，則與形變有關的位移可以確定，而與形變無關的剛體位移則未定。－－須通過邊界上的約束條件來確定。第54頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四思考題1.試證明微分體繞z軸的平均轉動分量是2.當應變?yōu)槌Ａ繒r，試求出對應的位移分量。第55頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四

物理方程－－表示（微分體上）應力和形變之間的物理關系。定義即為廣義胡克定律：§2－5物理方程第56頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四物理方程的說明：說明⑷正應力只與線應變有關；切應力只與切應變有關。⑶是線性的代數(shù)方程；⑵是總結實驗規(guī)律得出的；⑴適用條件─理想彈性體；第57頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四

物理方程的兩種形式：

－－應變用應力表示，用于按應力求解；－－應力用應變（再用位移表示）表示，用于按位移求解。說明第58頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四平面應力問題的物理方程：代入，得：在z方向平面應力第59頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四

代入得平面應變問題的物理方程平面應變在z方向，第60頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四平面應力物理方程→平面應變物理方程：變換關系：平面應變物理方程→平面應力物理方程：第61頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四思考題

1.試證：由主應力可以求出主應變，且兩者方向一致。

2.試證：3個主應力均為壓應力，有時可以產(chǎn)生拉裂現(xiàn)象。

3.試證：在自重作用下，圓環(huán)（平面應力問題）比圓筒（平面應變問題）的變形大。第62頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四位移邊界條件

－－設在部分邊界上給定位移分量和,則有（在上)。（a）定義邊界條件

－－表示在邊界上位移與約束，或應力與面力之間的關系。位移邊界條件§2－6邊界條件第63頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四⑵若為簡單的固定邊，則有位移邊界條件的說明：（在上）。（b）⑶它是在邊界上物體保持連續(xù)性的條件，或位移保持連續(xù)性的條件。 ⑴它是函數(shù)方程，要求在上每一點，位移與對應的約束位移相等。第64頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四在§2－3

中，通過三角形微分體的平衡條件，導出坐標面應力與斜面應力的關系式，應力邊界條件－－設在上給定了面力分量（在A中）。（c）應力邊界條件第65頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四將此三角形移到邊界上，并使斜面與邊界面重合，則得應力邊界條件:

第66頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四⑴它是邊界上微分體的靜力平衡條件；說明應力邊界條件的說明：⑶式（c）在A中每一點均成立，而式（d）只能在邊界

s上成立；⑵它是函數(shù)方程，要求在邊界上每一點s

上均滿足，這是精確的條件；第67頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四⑹所有邊界均應滿足，無面力的邊界（自由邊）也必須滿足。⑷式（d）中，－－按應力符號規(guī)定，，－－按面力符號規(guī)定；⑸位移,應力邊界條件均為每個邊界兩個，分別表示，向的條件；說明第68頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四若x=a為正x面，l=1,m=0,則式(d)成為當邊界面為坐標面時，坐標面第69頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四若x=-b為負x面，l=-1,m=0,則式(d)成為第70頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四應力邊界條件的兩種表達式：兩種表達式⑵在同一邊界面上，應力分量應等于對

應的面力分量（數(shù)值相等，方向一

致）。即在同一邊界面上,應力數(shù)值應等于面力數(shù)值(給定),應力方向應同面力方向(給定)。⑴在邊界點取出微分體，考慮其平衡條

件，得式（d）或（e），（f）；第71頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四在斜面上，

在±坐標面上，由于應力與面力的符號規(guī)定不同，故式（e），（f）有區(qū)別。例如：兩種表達式第72頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四例1

列出邊界條件：第73頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四第74頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四例2

列出邊界條件：第75頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四顯然，邊界條件要求在上，也成拋物線分布。第76頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四⑴部分邊界上為位移邊界條件，另一部分邊界上為應力邊界條件；混合邊界條件混合邊界條件：⑵同一邊界上，一個為位移邊界條件，另一個為應力邊界條件。第77頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四例3

列出的邊界條件：第78頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四

彈性力學問題是微分方程的邊值問題。應力，形變，位移等未知函數(shù)必須滿足A內的方程和S上的邊界條件。主要的困難在于難以滿足邊界條件。

§2－7圣維南原理及其應用圣維南原理可用于簡化小邊界上的應力邊界條件。第79頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對同一點的主矩也相同），那么，近處的應力分量將有顯著的改變，但遠處所受的影響可以不計。圣維南原理圣維南原理：第80頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四圣維南原理1.圣維南原理只能應用于一小部分邊界（小邊界，次要邊界或局部邊界）；圣維南原理的說明：4.遠處─指“近處”之外。3.近處─指面力變換范圍的一，二倍的局部區(qū)域；2.靜力等效─指兩者主矢量相同，對同一點主矩也相同；第81頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四圣維南原理圣維南原理表明，在小邊界上進行面力的靜力等效變換后，只影響近處（局部區(qū)域）的應力，對絕大部分彈性體區(qū)域的應力沒有明顯影響。圣維南原理推廣：如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，這個面力就只會使近處產(chǎn)生顯著的應力，而遠處的應力可以不計。第82頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四例1

比較下列問題的應力解答：b第83頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四例2

比較下列問題的應力解答：推廣第84頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四

圣維南原理的應用：

1.推廣解答的應用；

2.簡化小邊界上的邊界條件。應用第85頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四圣維南原理在小邊界上的應用：⑴精確的應力邊界條件如圖，考慮小邊界，第86頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四

上式是函數(shù)方程，要求在邊界上任一點，應力與面力數(shù)值相等，方向一致，往往難以滿足。(a)在邊界上，第87頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四在小邊界x=l上，用下列條件代替式(a)的條件：在同一邊界x=l

上，應力的主矢量=

面力的主矢量（給定);

應力的主矩(M)=

面力的主矩（給定）.數(shù)值相等,方向一致.(b)⑵圣維南原理的應用─積分的應力邊界條件第88頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四右端面力的主矢量，主矩的數(shù)值及方向，均已給定；左端應力的主矢量，主矩的數(shù)值及方向，應與面力相同，并按應力的方向規(guī)定確定正負號。第89頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四具體列出3個積分的條件：第90頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四即：應力的主矢量，主矩的數(shù)值=面力的主矢量，主矩的數(shù)值；應力的主矢量，主矩的方向=面力的主矢量，主矩的方向。

式中應力主矢量，主矩的正方向,正負號的確定：

應力的主矢量的正方向，即應力的正方向，

應力的主矩的正方向，即（正應力）×

（正的矩臂）的方向。第91頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四討論：

1.如果只給出面力的主矢量，主矩如圖，則式(c)右邊直接代入面力的主矢量，主矩；

2.在負

x面，，由于應力，面力的符號規(guī)定不同，應在式(c)中右端取負號；

3.積分的應力邊界條件(b)或(c)雖是近似的，但只用于小邊界，不影響整體解答的精度。第92頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四

精確的應力邊界條件積分的應力邊界條件方程個數(shù)

2 3方程性質

函數(shù)方程（難滿足）

代數(shù)方程（易滿足）精確性

精確 近似適用邊界 大，小邊界小邊界比較：第93頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四思考題1、為什么在大邊界（主要邊界）上，不能應用圣維南原理？2、試列出負面上積分的應力邊界條件，設有各種面力作用，或面力的主矢量和主矩作用。第94頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四⑴平面應力問題與平面應變問題，除物理方程的彈性系數(shù)須變換外，其余完全相同。因此，兩者的解答相似,只須將進行變換。以下討論平面應力問題。1.平面問題的基本方程及邊界條件平面問題§2－8按位移求解平面問題第95頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四

⑵平面應力問題

平面域A內的基本方程:平衡微分方程（在A內）第96頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四幾何方程物理方程（在A內）（在A內）第97頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四應力邊界條件

位移邊界條件

（在上）（在上）S上邊界條件:

8個未知函數(shù)必須滿足上述方程和邊界條件。第98頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四

按位移求解（位移法）─取，為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去形變和應力，導出只含，的方程和邊界條件，從而求出，；再求形變和應力。2.解法─消元法

解法第99頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四

按應力求解（應力法）－－取為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去位移和形變，導出只含應力的方程和邊界條件，從而求出應力；再求形變和位移。

這是彈力問題的兩種基本解法。第100頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四3.按位移求解⑵將其他未知函數(shù)用，表示：

形變用，表示─幾何方程;

應力先用形變來表示（物理方程），再代入幾何方程，用，表示:⑴取，為基本未知函數(shù)；按位移求解第101頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四第102頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四⑶在A中導出求，的基本方程─將式(a)

代入平衡微分方程，上式是用，表示的平衡微分方程。第103頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四位移邊界條件

（在上）(d)（在上）(c)應力邊界條件─將式(a)代入應力邊界條件，⑷在S上的邊界條件第104頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四

按位移求解時，，必須滿足A內的方程(b)和邊界條件(c)，(d)。歸納：式(b)，(c)，(d)－－是求解，的條件;也是校核，是否正確的全部條件。第105頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四

按位移求解（位移法）的優(yōu)缺點：

求函數(shù)式解答困難，但在近似解法（變分法，差分法，有限單元法）中有著廣泛的應用。

適用性廣─可適用于任何邊界條件。第106頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四例1

考慮兩端固定的一維桿件。圖(a)，只受重力作用，。試用位移法求解。(a)(b)第107頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四解：為了簡化，設位移按位移求解，位移應滿足式(b),(c),(d)。代入式(b),第一式自然滿足，第二式成為

(a)(b)第108頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四均屬于位移邊界條件，代入，得得解出第109頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四在處，代入，并求出形變和應力，第110頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四思考題試用位移法求解圖(b)的位移和應力。第111頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四（1）取為基本未知函數(shù)；基本方程§2－9按應力求解平面問題相容方程1.按應力求解平面應力問題（2）其他未知函數(shù)用應力來表示:第112頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四位移用形變─應力表示，須通過積分，不僅表達式較復雜，而且包含積分帶來的未知項，因此位移邊界條件用應力分量來表示時既復雜又難以求解。故在按應力求解時，只考慮全部為應力邊界條件的問題,即。形變用應力表示（物理方程）。按應力求解第113頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四⑶在A內求解應力的方程(b)從幾何方程中消去位移，，得相容方程（形變協(xié)調條件）：

補充方程─從幾何方程，物理方程中消去位移和形變得出:平衡微分方程（2個）。(a)第114頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四代入物理方程，消去形變，并應用平衡微分方程進行簡化，便得用應力表示的相容方程：其中

(4)應力邊界條件－－假定全部邊界上均為應力邊界條件。第115頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四（1）A內的平衡微分方程；（2）A內的相容方程；（3）邊界上的應力邊界條件；（4）對于多連體，還須滿足位移的單值條件（見第四章）。

歸納：（1）-（4）也是校核應力分量是否正確的全部條件。

按應力求解平面應力問題，應力必須滿足下列條件：第116頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四2.形變協(xié)調條件（相容方程）的物理意義形變協(xié)調→對應的位移存在→位移必然連續(xù)；形變不協(xié)調→對應的位移不存在→不是物體實際存在的形變→微分體變形后不保持連續(xù)。

⑵形變協(xié)調條件是與形變對應的位移存在且連續(xù)的必要條件。

⑴形變協(xié)調條件是位移連續(xù)性的必然結果。連續(xù)體→位移連續(xù)→幾何方程→形變協(xié)調條件。第117頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四點共點（連續(xù)），變形后三連桿在點共點，則三連桿的應變必須滿足一定的協(xié)調條件。例1

三連桿系統(tǒng)，由于物體是連續(xù)的，變形前三連桿在D第118頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四1.試比較按位移求解的方法和按應力求解的方法，并與結構力學中的位移法和力法作比較。2.若是否可能成為彈性體中的形變？3.若是否可能為彈性體中的應力？思考題第119頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四⑴相容方程(A)(a)1.常體力情況下按應力求解的條件(A)(b)⑵平衡微分方程按應力函數(shù)求解§2－10常體力情況下的簡化應力函數(shù)第120頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四⑶應力邊界條件(S)(c)⑷多連體中的位移單值條件。(d)第121頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四在⑴-⑶條件下求解的全部條件(a)，(b)，(c)中均不包含彈性常數(shù)，故與彈性常數(shù)無關。2.在⑴常體力,⑵單連體,⑶全部為應力邊界條件（）下的應力特征：第122頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四結論：①不同材料的應力()的理論解相同，用試驗方法求應力時，也可以用不同的材料來代替。②兩類平面問題的應力解相同，試驗時可用平面應力的模型代替平面應變的模型。第123頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四

3.常體力下按應力求解的簡化對應的齊次微分方程的通解，艾里已求出為非齊次微分方程(b)的任一特解，如取（1）常體力下平衡微分方程的通解是：

非齊次特解+齊次通解。第124頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四所以滿足平衡微分方程的通解為:(g)為艾里應力函數(shù)。第125頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四如果，則A，B均可用一個函數(shù)表示，即說明：a.導出艾里（Airy）應力函數(shù)，是應用偏導數(shù)的相容性，即第126頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四d.由再去求應力（式（g））,必然滿足平衡微分方程，故不必再進行校核。c.仍然是未知的。但已將按應力求解轉變?yōu)榘磻瘮?shù)求解，從3個未知函數(shù)減少至1個未知函數(shù)。b.導出應力函數(shù)的過程，也就證明了的存在性，故可以用各種方法去求解。第127頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四（2）應力應滿足相容方程（a），將式（g）代入（a），得（3）若全部為應力邊界條件（），則應力邊界條件也可用表示。第128頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四歸納：（1）A內相容方程（h）；（2）上的應力邊界條件；（3）多連體中的位移單值條件連體。求出后，可由式（g）求得應力。在常體力下求解平面問題，可轉變?yōu)榘磻瘮?shù)求解，應滿足:第129頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四1，在常體力，單連體和全部為應力邊界條件條件下，對于不同材料和兩類平面問題的，和均相同。試問其余的應力分量，應變和位移是否相同？思考題第130頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四2，對于按位移(u,v)求解，按應力（，，）求解和按應力函數(shù)求解的方法，試比較其未知函數(shù)，應滿足的方程和條件，求解的難易程度及局限性。第131頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四第二章例題

1例題2例題3例題4例題7例題5例題6例題第132頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四例1

試列出圖中的邊界條件。MFyxl

h/2

h/2q(a)第133頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四解:

(a)在主要邊界應精確滿足下列邊界條件：第134頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四在小邊界x=0應用圣維南原理，列出三個積分的近似邊界條件，當板厚時，第135頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四在小邊界x=l，當平衡微分方程和其它各邊界條件都已滿足的條件下，3個積分的邊界條件必然滿足，可以不必校核。第136頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四(b)在主要邊界x=0,b，應精確滿足下列邊界條件：FOxyqh(b)

b/2

b/2第137頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四在小邊界y=0，列出3個積分的邊界條件，當板厚時，第138頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四注意在列力矩的條件時兩邊均是對原點o

的力矩來計算的。對于y=h的小邊界可以不必校核。第139頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四例2

厚度懸臂梁，受一端的集中力F的作用。已求得其位移的解答是

試檢查此組位移是否是圖示問題的解答。第140頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四

h/2

h/2AxylFO第141頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四解：

此組位移解答若為圖示問題的解答，則應滿足下列條件:(1)區(qū)域內用位移表示的平衡微分方程

(書中式2－18）;第142頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四（2）應力邊界條件（書中式2－19），在所有受面力的邊界上。其中在小邊界上可以應用圣維南原理，用3個積分的邊界條件來代替。（3）位移邊界條件（書中式2－14）。本題在x=l的小邊界上，已考慮利用圣維南原理，使3個積分的應力邊界條件已經(jīng)滿足。第143頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四因此，只需校核下列三個剛體的約束條件：

A點（x=l及y=0），讀者可校核這組位移是否滿足上述條件，如滿足，則是該問題之解。第144頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四例3

試考慮下列平面問題的應變分量是否可能存在第145頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四解：應變分量存在的必要條件是滿足形變相容條件，即

（a）相容；（b）須滿足B=0,2A=C

；（c）不相容。只有C=0，則第146頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四例4

在無體力情況下，試考慮下列應力分量是否可能在彈性體中存在：第147頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四解：彈性體中的應力，在單連體中必須滿足：（1）平衡微分方程；（2）相容方程；（3）應力邊界條件（當）。第148頁，共171頁，2023年，2月20日，星期四（a）此組應力滿足相容方程。為了滿足平衡微分方程，必須A=-F,D=-E.此外，還應滿足應力邊界條件。（b）為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足

A+B=0。為了滿足平衡微分方程，其系數(shù)必須滿足A=B=-C/2。