高考數(shù)學(xué)構(gòu)造三角形重心巧定兩平面法向量的方向論文 新人教版

構(gòu)三形心定平法量方利用平面的法向量可以方便的求出二面角平面角的大小于兩法向量的夾角未必就是二面角的平面角的大小，許多雜志上都介紹了直接從圖形上觀察兩法向量的方向，來確定兩法向量的夾角是否為兩平面的夾角這種方法雖然簡單由于空間任意兩個(gè)向量都是共面的要從圖形上直接判定他們的方向需要很強(qiáng)的空間想象能力好多學(xué)生是達(dá)不到這種境界的在最后的復(fù)習(xí)中利用下面的兩個(gè)定理引導(dǎo)學(xué)生用向量法求二面角的大小時(shí)而學(xué)生不知道如何找二面角內(nèi)的點(diǎn)結(jié)果給解題帶來麻煩為了幫助學(xué)生更好更快的解題我在二面角內(nèi)總可以找到一個(gè)三角形將此三角形的重心作為二面角內(nèi)的點(diǎn)P可以不加思索的讓學(xué)生很方便的正確求解偶有所得現(xiàn)結(jié)合近年的年高考題，寫出來與大家同享。為了解決問題的方便，現(xiàn)給出如下的兩個(gè)定理：定理1平的一個(gè)法向量O在平內(nèi)P平外0，則向m與向OP指向平的同（如圖1m0則向m與向OP指向平的異側(cè)（如圖2

m

P

m

P

O

O圖

圖證明：0時(shí)，mcos

，∴cos

＞，

2

，∴向m與向指向平的同側(cè)。同理可證m時(shí)∴向m與向OP指向平的異側(cè)。

0，∴＜2定理點(diǎn)P是二面一點(diǎn)點(diǎn)O是l上一點(diǎn)向,分別是平

的一個(gè)法向量，二面角

。同號，則若m異號，如圖3）

P

m圖證明一）m與異號

11122222111222221）當(dāng)m0時(shí)由定理1易知向m向OP向平的同側(cè)；向量n與向指向平面異側(cè)，始終都是指向兩平面外部的，所以向m與向n與兩平面的指向互異，所2）同理可證當(dāng)mn0時(shí)n（二）m與同號1m時(shí)由定理1易知向m與向指向平的同側(cè)；向量n與向OP也指向平同側(cè)，O始終都是指向兩平面外部的，所以向m與向n與兩平面的指向一致，所2）同理可證：當(dāng)mn0時(shí)例1年全國高考數(shù)學(xué)北京卷文）如圖，在三棱錐PABC中，AC==2，∠ACB=90°，=BP=，PC⊥.（Ⅰ）求證：PC⊥；（Ⅱ）求二面角B-C大小.解）略（Ⅱ）由題易知

≌△BPC∴PCCB，以C為坐原點(diǎn)，CB，CA，CP在直線分別為軸、、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。

∴

則B(2,0,0)，C(0,0,0)(0,0,2)AP點(diǎn)M(0,1,1)(0,，BA2,2,0)。

x設(shè)平面BAP的一個(gè)法向?yàn)閚,z)，則由10可得,x故可取z001

C

圖

n.平面APC的一個(gè)法向量為nx,z)，則由，可得z0,即y0取n二面角的棱AP中z02而二面角AP內(nèi)，BPC重心Q(,0,)，3

22222222∴

)3

，∴MQ1

2MQ3

，∵

MQ

MQ異號，2∴二面角AP的大小與n的大小相等，所以1cos

nn12n2

3，故二面角AP的大小arccos3

33點(diǎn)評：利用三角形重心判定兩平面法向量的方向，先在棱上找一點(diǎn)，為方便期間，一般找二面角棱的中點(diǎn)，再結(jié)合定理就可以求出二面角的大小。例2.

2008年國高考數(shù)學(xué)全國卷理18題棱中，底面為形，側(cè)面

ABC

底面

BCDE

，

BC2CD

，

ABAC

．（Ⅰ）證明：

ADCE

；（Ⅱ）設(shè)

CE

與平面

ABE

所成的角為

，求二面角

的大小．解Ⅰ）略。（Ⅱ的中點(diǎn)O,∵AC

AO⊥側(cè)底面⊥底面BCDE，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)OCOyOA所在直線分別x軸軸z∴，軸建立空間直角坐標(biāo)系則(，，D(1,2,0)，(，設(shè)Aa)，因此AD2,CD(0,，，棱AD的中點(diǎn)

z

M

y1a(,)，設(shè)平面的法向量nx,y)，1111

x

C

O

D則由nCD，可得1

001

xy0

圖，故可取n,0,1)，同1理可得平ADE的一個(gè)法向量na,

1a由于棱AD的中(,)22在二面CADE內(nèi)，重心Q的坐標(biāo)(0,0,

a3

)，12a,)，∴2

2a3

，MQMQ同號，∴所求的二面角大n,n大小互補(bǔ)，122所cos

nn2

n2nn

a

2

，由于CE與平面ABE

的

角，由題易知平面

ABE的一個(gè)法向量為n,0,1)

，而CE所以

nn

a

2a

，∴

cosn,2

1010

，

nn1

1010

，∴故二面的大=

.點(diǎn)評法向量的夾角與二面角的大小可能相等也可能互補(bǔ)，要注意法向量的方向。利用法向量確定兩平面的夾角的基本思想是：根據(jù)所求得的法向量的坐標(biāo)，確定兩法向量的指（可以以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)以兩坐標(biāo)對應(yīng)的點(diǎn)分別為終點(diǎn)若兩法向量的指向互異則它們的夾角與二面角的大小相等若兩法向量的指向一致則它們的夾角與二面角的大小是互補(bǔ)的。即向量

指向互異，cos

cosn2

n2n2

arccos

n2n

；若向量