中考數(shù)學一輪知識復習和鞏固練習考點04 數(shù)與式綜合復習（能力提升） (含詳解)

考向04數(shù)與式綜合復習—能力提升【知識梳理】考點一、實數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì)1．實數(shù)及其分類實數(shù)可以按照下面的方法分類：實數(shù)還可以按照下面的方法分類：方法指導：整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)．無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)．2．數(shù)軸規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸．每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)．實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應的關(guān)系．方法指導：實數(shù)和數(shù)軸上的點的這種一一對應的關(guān)系是數(shù)學中把數(shù)和形結(jié)合起來的重要基礎．3．相反數(shù)實數(shù)a和-a叫做互為相反數(shù)．零的相反數(shù)是零．一般地，數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個點，分別在原點的兩旁，并且離原點的距離相等．方法指導：兩個互為相反數(shù)的數(shù)的運算特征是它們的和等于零，即如果a和b互為相反數(shù)，那么a+b＝0；反過來，如果a+b＝0，那么a和b互為相反數(shù)．4．絕對值一個實數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示這個數(shù)的點與原點的距離．一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零，即：如果a＞0，那么|a|＝a；如果a＜0，那么|a|＝-a；如果a＝0，那么|a|＝0．方法指導：從絕對值的定義可以知道，一個實數(shù)的絕對值是一個非負數(shù)．5．實數(shù)大小的比較在數(shù)軸上表示兩個數(shù)的點，右邊的點所表示的數(shù)較大．6．有理數(shù)的運算(1)運算法則(略)．(2)運算律：加法交換律a+b＝b+a；加法結(jié)合律(a+b)+c＝a+(b+c)；乘法交換律ab＝ba；乘法結(jié)合律(ab)c＝a(bc)；分配律a(b+c)＝ab+ac．(3)運算順序：在加、減、乘、除、乘方、開方這六種運算中，加、減是第一級運算，乘、除是第二級運算，乘方、開方是第三級運算．在沒有括號的算式中，首先進行第三級運算，然后進行第二級運算，最后進行第一級運算，也就是先算乘方、開方，再算乘、除，最后算加、減．算式里如果有括號，先進行括號內(nèi)的運算．如果只有同一級運算，從左到右依次運算．7．平方根如果x2＝a，那么x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)．方法指導：正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根．8．算術(shù)平方根正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根．零的算術(shù)平方根是零．方法指導：從算術(shù)平方根的概念可以知道，算術(shù)平方根是非負數(shù)．9．近似數(shù)及有效數(shù)字近似地表示某一個量準確值的數(shù)，叫做這個量準確值的近似數(shù)．一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位．這時，從左邊第一個不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字都叫這個數(shù)的有效數(shù)字．10．科學記數(shù)法把一個數(shù)記成±a×SKIPIF1<0的形式(其中n是整數(shù)，a是大于或等于1而小于10的數(shù))，稱為用科學記數(shù)法表示這個數(shù)．考點二、二次根式、分式的相關(guān)概念及性質(zhì)1．二次根式的概念形如SKIPIF1<0(a≥0)的式子叫做二次根式．2．最簡二次根式和同類二次根式的概念最簡二次根式是指滿足下列條件的二次根式：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式．方法指導：把分母中的根號化去，分式的值不變，叫做分母有理化.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，若它們的積不含二次根式，則這兩個代數(shù)式互為有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（1）SKIPIF1<0互為有理化因式；（2）SKIPIF1<0互為有理化因式；一般地SKIPIF1<0互為有理化因式；（3）SKIPIF1<0互為有理化因式；一般地SKIPIF1<0互為有理化因式.3．二次根式的主要性質(zhì)（1）；（2）；（3）SKIPIF1<0；（4）積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：SKIPIF1<0；（5）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：SKIPIF1<0.4．二次根式的運算(1)二次根式的加減二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把同類二次根式分別合并．(2)二次根式的乘除二次根式相乘除，把被開方數(shù)相乘除，根指數(shù)不變．方法指導：二次根式的混合運算：1.明確運算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面的；2.在二次根式的混合運算中，原來學過的運算律、運算法則及乘法公式仍然適用；3.在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能收到事半功倍的效果.5．代數(shù)式的有關(guān)概念(1)代數(shù)式：用運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子，叫做代數(shù)式．用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結(jié)果，叫做代數(shù)式的值．代數(shù)式的分類：(2)有理式：只含有加、減、乘、除、乘方運算(包含數(shù)字開方運算)的代數(shù)式，叫做有理式．(3)整式：沒有除法運算或者雖有除法運算但除式里不含字母的有理式叫做整式．整式包括單項式和多項式．(4)分式：除式中含有字母的有理式，叫做分式．分式的分母取值如果為零，分式?jīng)]有意義．6．整式的運算(1)整式的加減：整式的加減運算，實際上就是合并同類項．在運算時，如果遇到括號，根據(jù)去括號法則，先去括號，再合并同類項．(2)整式的乘法：①正整數(shù)冪的運算性質(zhì)：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0(a≠0，m＞n)．其中m、n都是正整數(shù)．②整式的乘法：單項式乘單項式，用它們的系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對于相同字母，用它們的指數(shù)的和作為積里這個字母的指數(shù)，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個因式．單項式乘多項式，用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．多項式乘多項式，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．③乘法公式：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．④零和負整數(shù)指數(shù)：在SKIPIF1<0(a≠0，m，n都是正整數(shù))中，當m＝n時，規(guī)定SKIPIF1<0；當m＜n時，如m-n＝-p(p是正整數(shù))，規(guī)定SKIPIF1<0．7．因式分解（1）因式分解的概念把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做多項式的因式分解．在因式分解時，應注意：①在指定數(shù)(有理數(shù)、實數(shù))的范圍內(nèi)進行因式分解，一定要分解到不能再分解為止，題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般是指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解．②因式分解以后，如果有相同的因式，應寫成冪的形式，并且要把各個因式化簡．（2）因式分解的方法①提公因式法：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．②運用公式法：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；③十字相乘法：SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（3）因式分解的步驟①多項式的各項有公因式時，應先提取公因式；②考慮所給多項式是否能用公式法分解．方法指導：因式分解時應注意:①在指定數(shù)（有理數(shù)、實數(shù)）的范圍內(nèi)進行因式分解，一定要分解到不能再分解為止，若題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般是指在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解；②因式分解后，如果有相同因式，應寫成冪的形式，并且要把各個因式化簡，同時每個因式的首項不含負號；③多項式的因式分解是多項式乘法的逆變形.8．分式（1）分式的概念形如SKIPIF1<0的式子叫做分式，其中A和B均為整式，B中含有字母，注意B的值不能為零．（2）分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母都乘(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(其中M是不等于零的整式)（3）分式的運算①加減法：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．②乘法：SKIPIF1<0．③除法：SKIPIF1<0．④乘方：SKIPIF1<0（n為正整數(shù)）．方法指導：

解分式方程的注意事項：（1）去分母化成整式方程時不要與通分運算混淆；（2）解完分式方程必須進行檢驗，驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解．列分式方程解應用題的基本步驟：

(1)審——仔細審題，找出等量關(guān)系；

(2)設——合理設未知數(shù)；

(3)列——根據(jù)等量關(guān)系列出方程；

(4)解——解出方程；

(5)驗——檢驗增根；

(6)答——答題．【能力提升訓練】一、選擇題1.把多項式1-x2+2xy-y2分解因式的結(jié)果是（）A.B.C.D.2．按一定的規(guī)律排列的一列數(shù)依次為：┅┅，按此規(guī)律排列下去，這列數(shù)中的第7個數(shù)是（）A．B．C．D．3．根據(jù)下表中的規(guī)律，從左到右的空格中應依次填寫的數(shù)字是（）000110010111001111A．100，011B．011，100C．011，101D．101，1104．在一個地球儀的赤道上用鐵絲打一個箍，現(xiàn)將鐵絲半徑增大1米，需增加m米長的鐵絲．假設地球赤道上也有一個鐵箍，同樣半徑增大1米，需增加n米長的鐵絲，則m與n的大小關(guān)系是（）A．m＞nB．m＜nC．m=nD．不能確定5．將一張長方形紙片對折，可得到一條折痕，繼續(xù)對折，對折時每次折痕與上次折痕保持平行，那么對折n次后折痕的條數(shù)是（）A．2n－1B．2n＋1C．2n－1D．2n＋16．如圖圖案都是同樣大小的小正方形按一定的規(guī)律組成的，其中第1個圖形中有5個小正方形，第2個圖形有13個小正方形，第3個圖形有25個小正方形，…，按此規(guī)律，則第8個圖形中小正方形的個數(shù)為（）A．181 B．145 C．100 D．88二、填空題7．若非零實數(shù)a，b滿足，則=．8．已知分式，當x＝時，分式的值為0．9．在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式SKIPIF1<0=.10.化簡：（1）當x≥0時，=；（2）當a≤0時，=；（3）當a≥0，b＜0時，=．11．德國數(shù)學家萊布尼茲發(fā)現(xiàn)了下面的單位分數(shù)三角形（單位分數(shù)是分子為1，分母為正整數(shù)的分數(shù)）：第一行第二行第三行第四行第五行…………根據(jù)前五行的規(guī)律，可以知道第六行的數(shù)依次是：．12．讓我們輕松一下，做一個數(shù)字游戲：第一步：取一個自然數(shù)n1=5，計算n12+1得a1；第二步：算出a1的各位數(shù)字之和得n2，計算n22+1得a2；第三步：算出a2的各位數(shù)字之和得n3，再計算n23＋1得a3；…………依此類推，則a2012=_______________．三、解答題13．圖①是一個長為2m，寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形．（1）圖②中的陰影部分的面積為；（2）觀察圖②，三個代數(shù)式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之間的等量關(guān)系是；（3）觀察圖③，你能得到怎樣的代數(shù)等式呢？（4）試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示（m+n）（m+3n）；（5）若x+y=﹣6，xy=2.75，求x﹣y的值．14．閱讀下列題目的計算過程：＝（A）＝（x－3）－2（x－1）（B）＝x－3－2x＋1（C）＝－x－1（D）（1）上述計算過程中，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出該步的代號．（2）錯誤的原因．（3）本題目正確的結(jié)論為．15．已知,求的值.16.設,,,…,設，求S的值(用含n的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù))．答案與解析一、選擇題1.【答案】A；【解析】．2.【答案】D；【解析】每個分數(shù)的分子均為1，分母為或（當n為奇數(shù)時加1，當n為偶數(shù)時減1），7為奇數(shù)，因而其分母為．3.【答案】B；【解析】通過觀察，不難發(fā)現(xiàn)兩個并排的短橫表示0，而一條長橫表示1，所表示的數(shù)是從上往下看，因而表格中的兩個空格中所填的數(shù)這011和100．4.【答案】C；【解析】設地球儀赤道半徑為r，則；設地球赤道半徑為R，則，所以相等．5.【答案】C；【解析】除了第一次對折得到1條折痕，其后，每次對折所得折痕都是上次多出來的折痕的兩倍．6.【答案】B；【解析】∵第1個圖案中小正方形的個數(shù)為3+1+1=5；第2個圖案中小正方形的個數(shù)為5+3+1+3+1=13；第3個圖案中小正方形的個數(shù)為7+5+3+1+5+3+1=25；…∴第n個圖形的小正方體的個數(shù)（n+1）2+n2；∴第8個圖形中小正方形的個數(shù)為92+（9﹣1）2=81+64=145個．故選：B．二、填空題7．【答案】2；【解析】將原式改寫為，所以，可求出b=2a．8．【答案】－1；【解析】由題意且，所以x=－1．9．【答案】SKIPIF1<0；【解析】此題如果按一般方法去分解，須將展開，結(jié)果將問題復雜化了，其實原式可化為，將看成一個整體，再用公式法分解因式.10．