2022中考數(shù)學(xué)壓軸題專題 動點綜合問題

專題15動點綜合問題

【考點11動點之全等三角形問題

[例1]I.如圖,CA_LBC,垂足為C,AC=2Cm,BC=6cm,射線BM_LBQ,垂足為B,動點P從C點出發(fā)以lcm/s

的速度沿射線CQ運動，點N為射線BM上一動點，滿足PN=AB,隨著P點運動而運動，當點P運動秒

時，ABCA與點P、N、B為頂點的三角形全等.（2個全等三角形不重合）

【變式1-1】已知正方形A8CD的對角線AC與交于點0,點E、F分別是線段。&0c上的動點

(1)如果動點E、尸滿足8E=0/(如圖)，且AEJ_8尸時，問點E在什么位置？并證明你的結(jié)論；

(2)如果動點E、F滿足8E=CF(如圖)，寫出所有以點E或尸為頂點的全等三角形(不得添加輔助線).

【變式1-2】如圖①，將長方形紙片沿對角線剪成兩個全等的直角三角形ABC、EDF,其中AB=8c〃?，BC

=6cm,AC=10。".現(xiàn)將△ABC和△EOF按如圖②的方式擺放(點4與點。、點B與點E分別重合).動

點尸從點A出發(fā)，沿AC以2cm/s的速度向點C勻速移動；同時，動點。從點E出發(fā)，沿射線ED以acm/s(0

<a<3)的速度勻速移動，連接P。、C。、FQ,設(shè)移動時間為fs(0W/W5).

(1)當1—2時，SMQF=3SABQC,則a—；

(2)當以P、C、Q為頂點的三角形與△BQC全等時，求a的值；

(3)如圖③，在動點P、。出發(fā)的同時，也以3aw/s的速度沿射線EZ)勻速移動，當以A、P、。為

頂點的三角形與△EFQ全等時，求。與，的值.

【考點2】動點之直角三角形問題

【例2】如圖，在四邊形紙片A8CO中，AB//CD,NA=60。，NB=30°,8=2,3C=4,點E是

AB邊上的動點，點/是折線A—O—C上的動點，將紙片ABC。沿直線所折疊，使點A的對應(yīng)點A落

在AB邊上，連接A'C,若AA'BC是直角三角形，則AE的長為.

【變式2-1](2019?遼寧中考模擬)如圖，已知二次函數(shù)y=ax?+bx+4的圖象與x軸交于點A(4,0)和點

D(-1,0),與y軸交于點C,過點C作BC平行于x軸交拋物線于點B,連接AC

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；

(2)點M從點O出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向點A運動；點N從點B同時出發(fā)，以每秒1個單位長度

2

的速度向點C運動，其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停動，過點N作NQ垂直于BC交AC

于點Q，連結(jié)MQ.

①求aAQM的面積S與運動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量的取值范圍；當t為何值時，S有最大

值，并求出S的最大值；

②是否存在點M,使得4AQM為直角三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.

【變式2-2］如圖，在矩形Q4HC中，OC=8,OA=12,B為CH中點,連接AB.動點M從點。出

發(fā)沿。4邊向點A運動，動點N從點A出發(fā)沿AB邊向點8運動，兩個動點同時出發(fā)，速度都是每秒1個

單位長度，連接CM,CN,MN,設(shè)運動時間為r（秒）（0<?<10）.則，=時，ACMN為直角三角

形

【考點3】動點之等腰三角形問題

【例3】如圖，45是。。的直徑，8C是弦，AB=10cm,BC=6cm.若點P是直徑AB上一動點，當

是等腰三角形時，AP=cm.

【變灰3-1】如圖①，己知正方形A8CD邊長為2,點P是AO邊上的一個動點，點A關(guān)于直線的對

稱點是點。，連結(jié)PQ、DQ、CQ、BQ.設(shè)AP=x.

3

DDD

(1)當x=l時，求BP長；

(2)如圖②，若PQ的延長線交CD邊于￡,并且NC0O=9O°,求證：八"。為等腰三角形;

(3)若點P是射線A￡＞上的一個動點，則當AC。。為等腰三角形時，求x的值.

【變式3-2】(2019?河南中考模擬)如圖，拋物線y=ax2+bx+3交y軸于點A,交x軸于點B(-3,0)和點

C(1,0),頂點為點M.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，點E為x軸上一動點，若AAME的周長最小，請求出點E的坐標；

(3)點F為直線AB上一個動點，點P為拋物線上一個動點，若△BFP為等腰直角三角形，請直接寫出點

【變式3-3】(2019?廣西中考真題)已知拋物線y=/n/和直線＞=一1+人都經(jīng)過點”(—2,4),點。為坐

標原點，點P為拋物線上的動點，直線y=-x+b與X軸、y軸分別交于48兩點.

(1)求〃z、b的值;

(2)當AR4M是以AM為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標；

(3)滿足(2)的條件時，求sin/BO尸的值.

【考點4］動點之相仞三角形問題

4

【例4】如圖，AD〃BC,NABC=90。，AB=8,AD=3,BC=4,點P為AB邊上一動點，若APAD與APBC

是相似三角形，求AP的長.

【變式4-1】已知：如圖，在平面直角坐標系中，AABC是直角三角形，NACB=90。，點A,C的坐標分

3

別為A(-3,0),C(1,0),BC=-AC

4

（1）求過點A,B的直線的函數(shù)表達式；

（2）在x軸上找一點。，連接。8,使得△AO8與△ABC相似（不包括全等），并求點。的坐標；

（3）在（2）的條件下，如P,0分別是AB和4。上的動點，連接PQ,設(shè)AP=DQ=，〃，問是否存在這樣

的，〃，使得△AP。與△AOB相似？如存在，請求出機的值；如不存在，請說明理由.

【變式4-2］如圖，正方形ABC。，點P為射線DC上的一個動點，點。為AB的中點，連接PQ,DQ,

過點P作PELOQ于點E.

（1）請找出圖中一對相似三角形，并證明；

（2）若AB=4,以點P,E,。為頂點的三角形與△A。。相似，試求出。尸的長.

【考點5】動點之平行四邊形問題（含特殊四邊形）

5

【例5】如圖，拋物線），=0?+汝+3與*軸交于4（一3,0）,8（1,。）兩點，與丁軸交于點C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是拋物線上的動點，且滿足S&PA0=2sApco，求出P點的坐標；

（3）連接8C,點E是x軸一動點，點尸是拋物線上一動點，若以3、C、E、尸為頂點的四邊形是平

行四邊形時，請直接寫出點尸的坐標.

【變式?5-1】（2019?江西中考真題）在圖1,2,3中,已知回A8CD,LABC=120°,點E為線段BC上的動

（2）如圖2,連接4廣

①填空：AFAD--------24屋填“>”，“<”，“=”）；

②求證：點F在乙4BC的平分線上；

（3）如圖3,連接EG，DG'并延長DG交BA的延長線于點H，當四邊形AEGH是平行四邊形時，求神的值.

AB

【變式5-2］（2019?湖南中考真題）如圖，二次函數(shù)丁=一;Y+bx+c的圖象過原點，與x軸的另一個交

點為（8,0）

6

(1)求該二次函數(shù)的解析式;

(2)在x軸上方作x軸的平行線y=加，交二次函數(shù)圖象于A、B兩點，過A、B兩點分別作x軸的垂線,

垂足分別為點D、點C.當矩形ABCD為正方形時，求m的值;

(3)在(2)的條件下，動點P從點A出發(fā)沿射線AB以每秒1個單位長度勻速運動，同時動點Q以相同

的速度從點A出發(fā)沿線段AD勻速運動，到達點D時立即原速返回，當動點Q返回到點A時，P、Q兩點

同時停止運動，設(shè)運動時間為t秒(r>0).過點P向x軸作垂線，交拋物線于點E,交直線AC于點E

問：以A、E、F、Q四點為頂點構(gòu)成的四邊形能否是平行四邊形.若能，請求出t的值；若不能，請說明理

由.

【變式5-3].如圖，在平面直角坐標系中，AAOB的頂點。是坐標原點，點A坐標為(1,3),A、B兩點

關(guān)于直線y=x對稱，反比例函數(shù)y=?x>0)圖象經(jīng)過點A，點P是直線y=x上一動點.

(1)3點的坐標為;

(2)若點。是反比例函數(shù)圖象上一點，是否存在這樣的點C,使得以A、B、C、P四點為頂點的四邊

形是平行四邊形？若存在，求出點C坐標：若不存在，請說明理由；

7

（3）若點。是線段OP上一點（。不與。、P重合），當四邊形AOBP為菱形時，過點。分別作直線Q4

和直線AP的垂線，垂足分別為E、F，當QE+Q/+QB的值最小時，求出。點坐標.

【考點6】動點之線段面積問題

【例6】如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形幺30c如圖放置，將此平行四邊形繞點0順時針旋轉(zhuǎn)

90。得到平行四邊形拋物線y=-f+2x+3經(jīng)過點A、C、A，三點.

（2）求平行四邊形&OC和平行四邊形/B'OCT重疊部分ACS的面積；

（3）點M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，問點M在何處時，&的面積最大？最大面積是多少？并

寫出此時M的坐標.

【變式6-1］（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1,點A為線段外一動點，且BC=&,AB=b（a>b>0）,當點A位

于時，線段AC的長取得最大值，最大值為（用含。力的式子表示）；

（2）應(yīng)用：如圖2,點A為線段外一動點，BC=4,AC：=2,以為邊作等邊AABD，連接CO,

求線段CO的最大值；

（3）拓展：如圖3,線段A3=3,點P為線段AB外一動點,且AP=2，PM=PB,NBPM=90。,求

線段AM長的最大值及此時APBM的面積.

BaCB-------------Cp

圖1圖2圖3

8

【變式6-2］如圖，矩形A5CD中，AO=3,AB=4,點P是對角線AC上一動點（不與A、C重合）,

連接PB，過點P作PELPB，交射線。C于點￡,以線段為鄰邊作矩形3PEF，過點P作

GH1CD,分別交AB.CD于點G、H。

（1）求證：NPGB?\EHP的值；

PE

（2）求：工的值；

PB

（3）求矩形3P所的面積的最小值。

【變式6-2】已知：在四邊形ABCD中，AD//BC,AB=CD=5,AD=6,BC=12.

（1）求四邊形ABC。的面積.

（2）點P是線段上的動點，連接成、CP,求ABCP周長的最小值及此時AP的長.

（3）點P是線段A0上的動點，N、〃為邊上的點，BM=CN=5,連接AN、DM，分別交BP、

CP于點E、F,記AAOG和△BPC重疊部分的面積為S,求S的最值.

9

壓軸精練

一、單選題

1.如圖，拋物線y=—_?+2x+3與丁軸交于點C,點。（0,1）,點P是拋物線上的動點，若APCD是以8

為底的等腰三角形，則tanNCDP的值為（）

.1+>/2_i5.1—\/2

A.———sk-----B.-^2+1或V2—1

22

c.0+］或應(yīng)7

D.1+a或1-垃

22

2.如圖，在菱形A3CD中，/。=100°,二是線段3。上一動點（點E不與點8,。重合），當AABE是

等腰三角形時，NZME的度數(shù)是（)

A.30B.70。C.30°或60D.40。或60

3.已知等腰AMC中，AB^AC,BC=6,底角為30。，動點P從點3向點C運動，當八出臺是直角

三角形是3尸長為（）

A.4B.2或3C.3或4D.3

4.如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于4（1,12）和8（6,2）兩點，點p是線段上一動點（不與A，B

重合），過P點分別作x軸和丁軸的垂線PC,P。交反比例函數(shù)圖象于M,N,則四邊形面積PM0N最大值

是（）

10

A.12.5B.12.25C.14D.12

5.如圖，在RtAABC中，NC=90。，AC=8?BC=6?P為AC邊上的一動點，以PB，A4為邊構(gòu)

造平行四邊形APBQ,則對角線PQ的最小值為（）

A.4B.6C.8D.10

6.如圖，&A4C8中，ZACB=90°,AB=13cm,AC=5cm,動點P從點B出發(fā)沿射線8C以2cm/s

的速度運動，設(shè)運動時間為is,當AAP8為等腰三角形時，/的值為（）

169fl313f5169“13f169--

A.——或一B.一或12或4C.---或一或12D.----或12或4

482248248

7.如圖，點A的坐標為（8,0）,點B為＞軸的負半軸上的一個動點，分別以。8,為直角邊在第三、

第四象限作等腰直角三角形。區(qū)方、等腰直角三角形ABE,連接石尸交y軸于尸點，當點3在y軸上移動

時，則PB的長度為（）

11

A.2B.4C.6D.8

8.如圖，已知48兩點的坐標分別為(80),(0,8),點C、尸分別是直線x=—5和x軸上的動點，

C/=/0,點。是線段CR的中點，連接4。交，軸于點E；當/他￡面積取得最小值時，柩〃NBA。的

值是()

9.已知：如圖，在長方形ABCD中，AB=4,AD=6.延長BC到點E,使CE=2,連接DE,動點P從點B

出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿BC-CD-DA向終點A運動，設(shè)點P的運動時間為，秒，當，的值為秒

時，4ABP和4DCE全等.

A.1B.1或3C.1或7D.3或7

10.如圖，在直角梯形A8Q9中，NABC=90,45=8,4。=3,6。=4,點「為邊45匕一動點，若ARAZ)

與是相似三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)是()

B.2個C.3個D.4個

12

11.如圖，在平面直角坐標系中，A（0,4）,B（2,0）,點C在第一象限，若以A、B、C為頂點的三角形

與AAOB相似（不包括全等），則點C的個數(shù)是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

12.如圖，坐標平面內(nèi)一點A（2,-1）,O為原點，P是x軸上的一個動點，如果以點P、0、A為頂點的三

角形是等腰三角形，那么符合條件的動點P的個數(shù)為（）

第9題圖

A.2B.3C.4D.5

二、填空題

13.如圖，已知以點A（0,I）、C（l,0）為頂點的aABC中，/BAC=60。，ZACB=90°,在坐標系內(nèi)有一動

點P（不與A重合），以P、B、C為頂點的三角形和AABC全等，則P點坐標為.

14.如圖，在RrAABC中，ZC=90°,AC=4cm,BC-3cm,動點〃以Icm/s的速度，從點C運動

到點A，動點N同時以1.25cm/s的速度，從點A運動到點當AAMN為直角三角形時，點M運動的

時間為s.

A

13

15.如圖，點C為直線/上的一個動點，AT>_L/于。點，8E_L/于E點，A￡>=￡>￡=4,BE=1，當CO

長為AABC為直角三角形.

16.如圖，正方形ABCD的面積為16,E為AO的中點，尸為對角線BO上的一個動點，連接A尸、EF，

則線段AF+EF的最小值是.

AED

17.如圖，AABC中，ZACB=90°,ZB=50°,點”是線段A3上的一個動點，連接CM,當NBCM

是度時，ABCM是等腰三角形.

A

18.如圖，AB1BC,DC1BC,垂足分別為3、C,AB=4，BC=6，8=2,點P為BC邊上一

動點，當BP=時，形成的mAABP與吊APCD全等.

14

A

19.如圖，在AA5C中，AB=AC,BC=4,AA3C面積為10,AC的垂直平分線石尸分別交AB，AC

于點E，F(xiàn)。若點。為8C的中點，點P為線段E尸上一動點，則APCD周長的最小值為?

20.如圖，在AABC中，ZACB=90°，AC=9,BC=5,點尸為AABC內(nèi)一動點.過點尸作POLAC

于點。，交A8于點E.若ABCP為等腰三角形，且SMBC=？，則P。的長為.

21.如圖，矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,動點M從點D出發(fā)，按折線D-C-B-A-D方向以2cm/s

的速度運動，動點N從點D出發(fā)，按折線D-A-B-C-D方向以Icm/s的速度運動.若動點M、N同時

出發(fā)，相遇時停止運動，若點E在線段BC上，且BE=3cm,經(jīng)過秒鐘，點A、E、M、N組成平行四

邊形.

/------N*—inD

?M

B'---------C

22.如圖，點A、B的坐標分別為（0,2）、（2,0）,OC的圓心坐標為（一1,0），半徑為1，若點。為OC上

的一個動點，線段Q8與丁軸交于點E，則AAB石面積的最小值為.

15

4

23.如圖，直線＞=一§》+4與*軸和丁軸分別交于48兩點，另一條直線過點A和點C(7,3).

(1)求直線AC的函數(shù)表達式；

(2)求證：ABLAC-,

(3)若點P是直線AC上的一個動點，點。是x軸上的一個動點，且以為頂點的三角形與AAOB全

等，求點。的坐標.

24.已知1,AABC是邊長3cm的等邊三角形,動點P以1cm/s的速度從點A出發(fā),沿線段AB向點3運動.請

分別解決下面四種情況：

(1)如圖1，設(shè)點尸的運動時間為?s),那么f=(s)時，APBC是直角三角形；

(2)如圖2,若另一動點。從點8出發(fā)，沿線段向點C運動，如果動點P、。都以lcm/s的速度同

時出發(fā).設(shè)運動時間為Ms),那么/為何值時，△PBQ是直角三角形？

(3)如圖3,若另一動點。從點C出發(fā)，沿射線8c方向運動.連接。。交AC于。.如果動點尸、。都

以lcm/s的速度同時出發(fā).設(shè)運動時間為Ms),那么f為何值時，△DC。是等腰三角形？

(4)如圖4,若另一動點。從點C出發(fā)，沿射線8c方向運動，連接P。交AC于O,連接PC.如果

動點P、。都以lcm/s的速度同時出發(fā).請你猜想：在點P、。的運動過程中，△PCD和△QCD的面積

有什么關(guān)系？并說明理由.

16

25.如圖，已知直線c和直線b相較于點（2,2）,直線c過點（0,3）.平行于y軸的動直線a的解析式為尤=/,

且動直線a分別交直線b、c于點D、E（E在D的上方）.

（1）求直線b和直線c的解析式;

（2）若P是y軸上一個動點，且滿足△P小是等腰直角三角形，求點P的坐標.

26.如圖，拋物線y=—f+fox+c經(jīng)過4（-1,0）,8（3,0）兩點，且與>軸交于點。，點。是拋物線的頂

（1）求經(jīng)過A8,C三點的拋物線的函數(shù)表達式；

（2）點。在該拋物線的對稱軸上，若ABCQ是以8c為直角邊的直角三角形，求點。的坐標；

（3）若P為的中點，過點P作尸/J_x軸于點F，G為拋物線上一動點，"為x軸上一動點，N為

17

直線P尸上一動點，當以尸、M、N、G為頂點的四邊形是正方形時，請求出點M的坐標.

27.如圖，在矩形ABC。中，AB=4.5cm,BC=9cm,動點P、。分別同時從AA兩點出發(fā)，動點P以

6cm/s的速度沿3fCfB向終點8作勻速往返運動，動點Q以3cm/s的速度沿A—D向終點D勻速

運動，設(shè)兩動點的運動時間是f(s).

AQ.D

B

(1)試用含有t的代數(shù)式表示3P.

(2)當產(chǎn)自C返回8(包括端點8、C)的過程中，當△PQ。為等腰三角形時，求t的值.

(3)連接AC，設(shè)PQ交AC于M，當AAQP三ACPQ時，求t的值.

QD

I：PC

28.如圖，直線y=-2x+4與X軸相交于點A,與y軸相交于點B.

(1)求A、B兩點的坐標；

(2)求aAOB的面積；

(3)若點P是％軸上的一個動點，且aPAB是等腰三角形，則P點的坐標為.

3,

29.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丁=一萬/+云+。的圖象經(jīng)過C三點.已知點A，點8的

18

坐標分別為(一2,0)和(1,0),且。4=0。,點E為線段A。上的動點(點E不與點A。重合)，以E為頂

點作ZOET=45",射線ET交線段OD于點F.

(2)若△EOE為等腰三角形.

①求此時點E的坐標；

②若點P為第二象限內(nèi)拋物線上一動點，當點P運動到某個位置時VPED的面積最大，求其最大值.

30.已知點A的坐標為(-1,0)，AO與y軸交于點E，且E為AO的中點，雙曲線y=一經(jīng)過。(2,。)、

x

D(a,4)兩點.

(1)求a、b、m的值；

(2)如圖1,點3在丫軸上，若四邊形ABCD是平行四邊形，求點8的坐標；

m

(3)如圖2,在(2)的條件下，動點P在雙曲線>=一上，點。在y軸上，若以A、B、P、。為頂點

X

的四邊形為平行四邊形，試求滿足要求的所有點P、。的坐標.

4

31.如圖(1),。為坐標原點，點3在工軸的正半軸上，四邊形Q4C區(qū)是平行四邊形，sin/AO8=g,Q4=5,

k

反比例函數(shù)y=￡(x>0)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點A,與BC交于點D.

x

19

（1）求點A的坐標和反比例函數(shù)解析式;

（2）若C%D=］5，求點。的坐標：

（3）在（2）中的條件下，如圖（2）,點P為直線上的一個動點，點。為雙曲線上的一個動點，是否

在這樣的點P、點Q，使以8、。、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有點P

的坐標；若不存在，請說明理由.

32.如圖，拋物線丁=一/+―+。交x軸于點A（-3,0）和點B,交y軸于點C（0,3）.

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）若點Q是線段AC上的一動點，作DQLx軸，交拋物線于點D,求線段DQ長度的最大值.

（3）點G是拋物線上的動點，點F在x軸上的動點，若以A,C,F,G四個點為頂點的四邊形是平行四邊

形，求出所有滿足條件的點F坐標（直接寫出結(jié)果）.

33.如圖，對稱軸為直線x=l的拋物線y=ox2+bx+c與