-新教材高中數(shù)學(xué)第14章統(tǒng)計(jì)4.4百分位數(shù)學(xué)案蘇教版必修第二冊(cè)

PAGEPAGE9百分位數(shù)1．k百分位數(shù)的定義一般地，一組數(shù)據(jù)的k百分位數(shù)是這樣一個(gè)值pk，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有k%的數(shù)據(jù)小于或等于pk且至少有(100－k)%的數(shù)據(jù)大于或等于pk.2．計(jì)算有n個(gè)數(shù)據(jù)的大樣本的k百分位數(shù)的步驟第1步，將所有數(shù)值按從小到大順序排列；第2步，計(jì)算k·eq\f(n,100)；第3步，如果結(jié)果為整數(shù)，那么k百分位數(shù)位于第k·eq\f(n,100)位和下一位之間，通常取這兩個(gè)位置上數(shù)值的平均數(shù)為k百分位數(shù)；第4步，如果k·eq\f(n,100)不是整數(shù)，那么將其向上取整(即其整數(shù)部分加上1)，在該位置上的數(shù)值即為k百分位數(shù)．3．四分位數(shù)中位數(shù)即為50百分位數(shù)，我們也把中位數(shù)、25百分位數(shù)和75百分位數(shù)稱為四分位數(shù)．1．下列一組數(shù)據(jù)的25百分位數(shù)是()2．1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6A．3.2B．3.0C．4.4D．2.5【解析】選A.把這組數(shù)據(jù)按照由小到大的順序排列，可得：2.1，3.0，3.2，3.4，3.8,4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整數(shù)，則第3個(gè)數(shù)據(jù)3.2，是25百分位數(shù)．2．(教材練習(xí)改編)高二(1)班7人宿舍中每個(gè)同學(xué)的身高分別為170，168，172，172，175，176，180，則這7人身高數(shù)據(jù)的40百分位數(shù)為()A．168B．170C．172D．171【解析】選C.把7人的身高從小到大排列，可得168，170，172，172，175，176，180，7×40%＝2.8，即第3個(gè)數(shù)據(jù)172為所求的40百分位數(shù)．3．已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)(從小到大的順序排列)：甲組：27，28，39，40，m，50乙組：24，n，34，43，48，52若這兩組數(shù)據(jù)的30百分位數(shù)、80百分位數(shù)分別相等，則eq\f(m,n)等于()A．eq\f(12,7) B．eq\f(10,7)C．eq\f(4,3) D．eq\f(7,4)【解析】選A.因?yàn)?0%×6＝1.8，80%×6＝4.8，所以30百分位數(shù)為n＝28，80百分位數(shù)為m＝48，所以eq\f(m,n)＝eq\f(48,28)＝eq\f(12,7).4．(1)班級(jí)人數(shù)為50的班主任老師說(shuō)“90%的同學(xué)能夠考取本科院?！?，這里的“90%”是百分位數(shù)嗎？(2)“這次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的70百分位數(shù)是85分”這句話是什么意思？【解析】(1)不是．是指能夠考取本科院校的同學(xué)占同學(xué)總數(shù)的百分比．(2)有70%的同學(xué)數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)小于或等于85分．5．從高三抽出50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，由成績(jī)得到如圖的頻率直方圖．試?yán)妙l率直方圖求這50名學(xué)生成績(jī)的75百分位數(shù)．【解析】由題意可知，前四個(gè)小矩形的面積之和為0.6，前五個(gè)小矩形的面積之和為0.84>0.75，所以75百分位數(shù)位于第五個(gè)小矩形內(nèi)．由80＋eq\f(0.75－0.6,0.84－0.6)×10＝86.25，故75百分位數(shù)為86.25.一、單選題1．以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽的15人的成績(jī)：78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，則這15人成績(jī)的80百分位數(shù)是()A．90B．90.5C．91D．91.5【解析】選B.把成績(jī)按從小到大的順序排列為：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，因?yàn)?5×80%＝12，所以這15人成績(jī)的80百分位數(shù)是eq\f(90＋91,2)＝90.5.2．已知100個(gè)數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)是9.3，則下列說(shuō)法正確的是()A．這100個(gè)數(shù)據(jù)中一定有75個(gè)數(shù)小于或等于9.3B．把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)C．把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)和第76個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)D．把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)和第74個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)【解析】選C.因?yàn)?00×75%＝75，為整數(shù)，所以第75個(gè)數(shù)據(jù)和第76個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為75百分位數(shù)，是9.3.3．某射手在一次訓(xùn)練中12次射擊的成績(jī)分別為9．6，9.7，9.0，9.1，9.4，9.4,9.8，9.9，9.4，9.6，9.6，9.7，則該射手這次射擊的成績(jī)的75百分位數(shù)是()A．9.5B．9.6C．9.7D．9.8【解析】選C.將這12個(gè)數(shù)從小到大排列：9．0，9.1，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，這組數(shù)據(jù)有12個(gè)數(shù)，因?yàn)?2×75%＝9，所以這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)是第9個(gè)數(shù)據(jù)與第10個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即eq\f(9.7＋9.7,2)＝9.7.4．某校調(diào)查某班30名同學(xué)所穿的鞋的尺碼如表所示：碼號(hào)3334353637人數(shù)761412則這組數(shù)據(jù)的25百分位數(shù)是()A．33B．34C．35D．36【解析】選B.因?yàn)?0×25%＝7.5，所以這組數(shù)據(jù)的25百分位數(shù)為34.5．一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，高一(1)班某小組12名學(xué)生的成績(jī)分別是：58分、67分、73分、74分、76分、82分、82分、87分、90分、92分、93分、98分，則這次測(cè)試該小組12名學(xué)生成績(jī)的75百分位數(shù)是()A．88分B．89分C．90分D．91分【解析】選D.因?yàn)?2×75%＝9，所以這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)為eq\f(90＋92,2)＝91(分).6．某市2019年5月份某一周的日最高氣溫(單位：℃)分別為25，28，30，29，31，32，28，則這周的日最高氣溫的75百分位數(shù)為()A．28℃B．29℃C．31℃D．32℃【解析】選C.將數(shù)據(jù)由小到大排列為25，28，28，29，30，31，32，因?yàn)?×75%＝5.25，所以這周的日最高氣溫的75百分位數(shù)為31℃.二、多選題7．下列關(guān)于一組數(shù)據(jù)的50百分位數(shù)的說(shuō)法不正確的是()A．50百分位數(shù)就是中位數(shù)B．總體數(shù)據(jù)中的任意一個(gè)數(shù)小于它的可能性一定是50%C．總體數(shù)據(jù)中的任意一個(gè)數(shù)大于它的可能性一定是50%D．它一定是這組數(shù)據(jù)中的一個(gè)數(shù)據(jù)【解析】選BCD.由百分位數(shù)的意義可知選項(xiàng)B，C，D錯(cuò)誤．8．某班8名學(xué)生的體重(單位：kg)分別是：42，48，40，47，43，58，47，45，則下列結(jié)論正確的是()A．極差是18 B．25百分位數(shù)是42.5C．中位數(shù)是46D．平均數(shù)是47【解析】選ABC.因?yàn)樗o數(shù)據(jù)的最大值是58，最小值是40，所以極差是58－40＝18.將所給數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列是40，42，43，45，47，47，48，58.因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)共8個(gè)，處于中間位置的是第4個(gè)數(shù)和第5個(gè)數(shù)，故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是eq\f(45＋47,2)＝46.因?yàn)?×25%＝2，所以這組數(shù)據(jù)的25百分位數(shù)是eq\f(42＋43,2)＝42.5.平均數(shù)是46.25.三、填空題9．某學(xué)習(xí)小組10名同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中的得分分別為85，78，66，91，67，78，67，87，96，88，則這10名同學(xué)成績(jī)的60百分位數(shù)為_(kāi)_______．【解析】這組數(shù)據(jù)按照從小到大排列后為66，67，67，78，78，85，87，88，91，96，10×60%＝6，所以這10名同學(xué)成績(jī)的60百分位數(shù)為eq\f(85＋87,2)＝86.答案：8610．一組樣本數(shù)據(jù)的頻率直方圖如圖所示，試估計(jì)此樣本數(shù)據(jù)的50百分位數(shù)為_(kāi)_______．【解析】樣本數(shù)據(jù)低于10的比例為0.08＋0.32＝0.40，樣本數(shù)據(jù)低于14的比例為0.40＋0.36＝0.76，所以此樣本數(shù)據(jù)的50百分位數(shù)在[10，14]內(nèi)，估計(jì)此樣本數(shù)據(jù)的50百分位數(shù)為10＋eq\f(0.1,0.36)×4＝eq\f(100,9).答案：eq\f(100,9)四、解答題11．為了了解市民的環(huán)保意識(shí)，某校高一(1)班50名學(xué)生在6月5日(世界環(huán)境日)這一天調(diào)查了各自家庭丟棄舊塑料袋的情況，有關(guān)數(shù)據(jù)如表：每戶丟棄舊塑料袋個(gè)數(shù)2345戶數(shù)6171512(1)求這50戶居民6月5日這一天丟棄舊塑料袋的平均數(shù)、中位數(shù)；(2)求這50戶居民6月5日這一天丟棄舊塑料袋的75百分位數(shù)．【解析】(1)平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(1,50)×(2×6＋3×17＋4×15＋5×12)＝eq\f(183,50)＝3.66.中位數(shù)是4.(2)因?yàn)?0×75%＝37.5，所以這50戶居民6月5日這一天丟棄舊塑料袋的75百分位數(shù)是4.12．根據(jù)新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》指出空氣質(zhì)量指數(shù)在0～50，各類人群可正?；顒?dòng)．某市環(huán)保局在2019年對(duì)該市進(jìn)行為期一年的空氣質(zhì)量檢測(cè)，得到每天的空氣質(zhì)量指數(shù)，從中隨機(jī)抽取50個(gè)作為樣本進(jìn)行分析報(bào)告，樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，由此得到樣本的空氣質(zhì)量指數(shù)頻率直方圖，如圖．(1)求a的值；(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)這一年度的空氣質(zhì)量指數(shù)的80百分位數(shù)．【解析】(1)由題意，得10×(0.032＋0.03＋a＋0.01＋0.008)＝1.解得a＝0.02.(2)因?yàn)?0.01＋0.02＋0.032)×10＝0.62<0.8，0．62＋0.03×10＝0.92>0.8，所以80百分位數(shù)應(yīng)位于[30，40)內(nèi)．由30＋10×eq\f(0.8－0.62,0.92－0.62)＝36，可以估計(jì)這一年度的空氣質(zhì)量指數(shù)的80百分位數(shù)為36.一、選擇題1．某公園對(duì)“十一”黃金周7天假期的游客人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如表所示：日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日旅游人數(shù)(萬(wàn))1.52.22.23.81.52.20.6則該公園“十一”黃金周七天假期游客人數(shù)的平均數(shù)和25百分位數(shù)分別是()A．2萬(wàn)、1.5萬(wàn)B．2萬(wàn)、2.2萬(wàn)C．2.2萬(wàn)、2.2萬(wàn)D．2萬(wàn)、1.85萬(wàn)【解析】選A.游客人數(shù)的平均數(shù)＝eq\f(1,7)×(1.5＋2.2＋2.2＋3.8＋1.5＋2.2＋0.6)＝2(萬(wàn)).將數(shù)據(jù)由小到大排列得：0.6，1.5，1.5，2.2，2.2，2.2，3.8，因?yàn)?×25%＝1.75，所以這組數(shù)據(jù)的25百分位數(shù)為1.5萬(wàn)．2．在某次考試中，10名同學(xué)的得分如下：84，77，84，83，68，78，70，85，79，95.則這一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和75百分位數(shù)分別為()A．84，68，83B．84，78，83C．84，81，84D．78，81，84【解析】選C.將所給數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列是68，70，77，78，79，83，84，84，85，95，顯然眾數(shù)為84，而本組數(shù)據(jù)共10個(gè)，中間兩個(gè)數(shù)是79，83，它們的平均數(shù)為81，即中位數(shù)為81.因?yàn)?0×75%＝7.5，所以這一組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)為84.3．某項(xiàng)測(cè)試成績(jī)滿分為10分，現(xiàn)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加測(cè)試，得分如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為m1，60百分位數(shù)為m2，眾數(shù)為m3，則()A．m1<m3<m2B．m3<m1<m2C．m3<m2<m1D．m2<m3<m1【解析】選B.由題圖知m3＝5；由中位數(shù)的定義，知第15個(gè)數(shù)與第16個(gè)數(shù)的平均數(shù)為m1＝eq\f(5＋6,2)＝5.5；由百分位數(shù)的定義，且30×60%＝18，則第18個(gè)數(shù)與第19個(gè)數(shù)的平均數(shù)為m2＝eq\f(6＋6,2)＝6.故m3<m1<m2.4．(多選)甲乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則()A．甲成績(jī)的平均數(shù)等于乙成績(jī)的平均數(shù)B．甲的成績(jī)的中位數(shù)等于乙的成績(jī)的中位數(shù)C．甲的成績(jī)的80百分位數(shù)等于乙的成績(jī)的80百分位數(shù)D．甲的成績(jī)的極差大于乙的成績(jī)的極差【解析】選AC.由題圖可知，甲成績(jī)的平均為6，乙成績(jī)的平均數(shù)為6，所以A選項(xiàng)正確；甲的成績(jī)的中位數(shù)為6，乙的成績(jī)的中位數(shù)為5，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；甲的成績(jī)的80百分位數(shù)為(7＋8)÷2＝7.5，乙的成績(jī)的80百分位數(shù)(6＋9)÷2＝7.5，所以二者相等，所以C選項(xiàng)正確；甲的成績(jī)的極差為4，乙的成績(jī)的極差也為4，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．二、填空題5．?dāng)?shù)據(jù)148，149，154，154，155，155，157，157，158，159，161，161，162，163的25百分位數(shù)為_(kāi)_______，75百分位數(shù)為_(kāi)_______．【解析】因?yàn)?4×25%＝3.5，14×75%＝10.5，所以這組數(shù)據(jù)的25百分位數(shù)為第4個(gè)數(shù)據(jù)154，75百分位數(shù)為第11個(gè)數(shù)據(jù)161.答案：1541616．近年來(lái)，某市私家車(chē)數(shù)量持續(xù)增長(zhǎng)，2015年至2019年該市私家車(chē)數(shù)量依次為15，19，22，26，30(單位：萬(wàn)輛)，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是________，10百分位數(shù)是________，20百分位數(shù)是________．【解析】這組數(shù)據(jù)從小到大排列后，22處于最中間的位置，故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是22.因?yàn)?×10%＝0.5，所以該組數(shù)據(jù)的10百分位數(shù)是15，因?yàn)?×20%＝1，所以該組數(shù)據(jù)的20百分位數(shù)是eq\f(15＋19,2)＝17.答案：2215177．某校從高一年級(jí)中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的期末數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)分成6組：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率直方圖．據(jù)此統(tǒng)計(jì)，期末數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)不少于60百分位數(shù)的分?jǐn)?shù)至少為_(kāi)_______．【解析】因?yàn)?0.005＋0.015＋0.03)×10＝0.5，0．5＋0.025×10＝0.75>0.6，故60百分位數(shù)應(yīng)位于第四小組內(nèi)．由70＋10×eq\f(0.6－0.5,0.75－0.5)＝74，得期末數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)不少于60百分位數(shù)的分?jǐn)?shù)至少為74分．答案