-新教材高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語4充分條件與必要條件學(xué)案新人教A版必修第一冊

PAGEPAGE6充要條件[課程目標(biāo)]1.理解充分條件、必要條件的概念，理解充要條件的意義，了解充分條件與判定定理，必要條件與性質(zhì)定理的關(guān)系；2.能通過充分性、必要性解決簡單的問題；3.能對充分條件進行證明．知識點充分、必要條件與充要條件1．充分條件、必要條件“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題推出關(guān)系p__?__qp__?/__q條件關(guān)系p是q的__充分條件__，q是p的__必要條件__p不是q的__充分條件__，q不是p的__必要條件__定理關(guān)系一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的充分條件；一般地，數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的必要條件2．充要條件：如果既有p?q，又有q?p，就記作__p?q__．此時，我們說p是q的__充分必要條件__，簡稱為__充要條件__．顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件．概括地說，如果p?q，那么p與q__互為充要條件__．[研讀](1)“p是q的充分條件”的等價說法有：①“若p，則q”為真；②p?q；③q是p的必要條件．(2)“p是q的必要條件”的等價說法：①“若q，則p”為真；②q?p；③q是p的充分條件．eq\a\vs4\al(【思辨】)判斷正誤(請在括號中打“√”或“×”).(1)“x＝y(tǒng)”是“x2＝y(tǒng)2”的充分條件．(√)(2)“ab＝0”是“b＝0”的必要條件．(√)(3)“x2>1”是“x>1”的充分條件．(×)(4)“x＝1或x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的必要不充分條件.(×)(5)已知p：x>0，y>0，q：xy<0.則p是q的既不充分又不必要條件．(√)(6)已知p：x＝0，y＝0，q：x2＋y2＝0.則p是q的充要條件．(√)【解析】(1)由x＝y(tǒng)可以推出x2＝y(tǒng)2，則“x＝y(tǒng)”是“x2＝y(tǒng)2”的充分條件．(2)當(dāng)ab＝0時，不一定有b＝0，但b＝0時，一定有ab＝0，所以“ab＝0”是“b＝0”的必要條件．(3)當(dāng)x2>1時，x>1不一定成立，如(－2)2>1，但－2<1；當(dāng)x>1時，可得x2>1.所以“x2>1”是“x>1”的必要條件．(4)當(dāng)x2－3x＋2＝0時，可得x＝1或x＝2；當(dāng)x＝1或x＝2時，可推出x2－3x＋2＝0，所以“x＝1或x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充要條件．(5)因為x>0，y>0?/xy<0，xy<0?/x>0，y>0，所以p是q的既不充分也不必要條件．(6)因為x＝0，y＝0?x2＋y2＝0，所以p是q的充分條件，q是p的必要條件；又x2＋y2＝0?x＝0，y＝0，所以q是p的充分條件，p是q的必要條件，所以p是q的充要條件．eq\o(\s\up7(),\s\do5(充分條件、必要條件、充要條件的判斷))eq\a\vs4\al(例1)下列各題中，分別指出p是q的什么條件．(1)p：兩個三角形相似，q：兩個三角形全等；(2)p：一個四邊形是矩形，q：四邊形的對角線相等；(3)p：A?B，q：A∩B＝A;(4)p：a是自然數(shù)；q：a是正數(shù).解：(1)因為兩個三角形相似?/兩個三角形全等，但兩個三角形全等?兩個三角形相似，所以p是q的必要不充分條件.(2)因為矩形的對角線相等，所以p?q，而對角線相等的四邊形不一定是矩形，所以q?/p，所以p是q的充分不必要條件.(3)因為p?q，且q?p，所以p是q的充要條件.(4)0是自然數(shù)，但0不是正數(shù)，故p?/q；又eq\f(1,2)是正數(shù)，但eq\f(1,2)不是自然數(shù)，故q?/p．故p是q的既不充分也不必要條件．[規(guī)律方法]充分條件、必要條件的判定方法(1)定義法：直接判斷p?q和q?p是否成立，然后得結(jié)論．(2)集合法：對于涉及取值范圍的判斷題，可從集合的角度研究，若兩個集合具有包含關(guān)系，則小范圍?大范圍，大范圍?/小范圍．(3)傳遞法：已知p1?p2?p3?…?pn，則p1?pn.活學(xué)活用下列各題中，p是q的什么條件？(1)p：ax2＋2x－1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，q：a>－1；(2)p：1－x<2x－8，q：x－3>2；(3)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；(4)p：x>2，y>2，q：x＋y>4.解：(1)由ax2＋2x－1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，知Δ＝22－4×a×(－1)>0且a≠0，得a>－1且a≠0，即p?/q；反之，取a＝0，則方程ax2＋2x－1＝0只有一個實數(shù)根，即q?/p，所以p是q的既不充分也不必要條件．(2)易知p：x>3，q：x>5，所以p是q的必要不充分條件．(3)因為A∪B＝A?A∩B＝B，所以p是q的充要條件．(4)p?q，但q?/p，所以p是q的充分不必要條件．eq\o(\s\up7(),\s\do5(充要條件的證明))eq\a\vs4\al(例2)已知ab≠0，求證：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要條件．證明：充分性：因為a＋b＝1，所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－ab＋b2))＝0.必要性：因為a3＋b3＋ab－a2－b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－ab＋b2))＝0，所以a＋b＝1或a2－ab＋b2＝0.又因為a2－ab＋b2＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2＋（a－b）2＋b2))>0，所以a＋b＝1.綜上可得，當(dāng)ab≠0時，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要條件．[規(guī)律方法]證明充要條件一般分為兩個步驟，即證明充分性和必要性這兩個方面．其中充分性就是要證明條件?結(jié)論，必要性就是證明結(jié)論?條件．所以在證明之前，一定要先分清楚哪個是條件，那個是結(jié)論．活學(xué)活用求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正一負根的充要條件是ac<0；證明：充分性：ac<0?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac>0，,x1x2＝\f(c,a)<0))?x1x2<0；必要性：ax2＋bx＋c＝0有一正一負根，則x1x2＝eq\f(c,a)<0?ac<0.綜上可得，ax2＋bx＋c＝0有一正一負根的充要條件是ac<0.eq\o(\s\up7(),\s\do5(充分與必要條件的應(yīng)用))eq\a\vs4\al(例3)已知p：－3≤x≤1，q：1－a≤x≤1＋a，且q是p的必要不充分條件，則a的取值范圍是(C)A．{a|a>4}B．{a|a≤0}C．{a|a≥4}D．{a|a<0}【解析】因為q是p的必要不充分條件，即p?q，但q?/p，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a≤－3，,1＋a>1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a<－3，,1＋a≥1，))解得a≥4.故選C.[規(guī)律方法]利用充分、必要條件求參數(shù)的思路：根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的取值范圍時，先將p，q等價轉(zhuǎn)化，再根據(jù)充分條件、必要條件與集合間的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的兩個集合之間的包含關(guān)系，然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)進行求解．【遷移探究1】若將本例中“q是p的必要不充分條件”改為“q是p的充分不必要條件”，其他條件不變，則a的取值范圍是__a≤0__．【解析】因為q是p的充分不必要條件，即q?p，但p?/q，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a≥－3，,1＋a<1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a>－3，,1＋a≤1，))解得a≤0.【遷移探究2】本例中，是否存在實數(shù)a，使q是p的充要條件？若存在，求出a；若不存在，請說明理由．解：若q是p的充要條件，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a＝－3，,1＋a＝1，))方程組無解，所以，不存在實數(shù)a，使q是p的充要條件．活學(xué)活用1．已知P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－1，或x>3))，Q＝{x|(x＋1)(x＋a)>0}，若x∈Q是x∈P的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．解：∵P＝{x|x<－1，或x>3}，Q＝{x|(x＋1)·(x＋a)>0}，由x∈Q是x∈P的充分條件?Q?P?－a≥3?a≤－3.2．已知P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－1，或x>3))，Q＝{x|(x＋1)(x＋a)>0}，若x∈P是x∈Q的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．解：P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－1，或x>3))??RP＝{x|－1≤x≤3}，Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|（x＋1）（x＋a）>0))??RQ＝{x|(x＋1)(x＋a)≤0}．由x∈P是x∈Q的充分條件?P?Q??RQ??RP?－3≤a≤1.1．下列四個命題中，真命題是(C)A．兩個無理數(shù)的和還是無理數(shù)B．若a2＝b2，則a＝bC．正方形的四邊相等D．菱形的對角線相等【解析】兩個無理數(shù)的和不一定是無理數(shù)，如(1－eq\r(2))＋eq\r(2)＝1；若a2＝b2，則a＝±b；正方形的四邊相等；菱形的對角線互相垂直．2．若a，b∈R，則a＞b＞0是a2＞b2的(A)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】由a＞b＞0可推出a2＞b2；但由a2＞b2無法推出a＞b＞0，如a＝－2，b＝1，即a＞b＞0是a2＞b2的充分不必要條件．3．p：四邊形ABCD是菱形，q：四邊形ABCD是矩形，則p是q的(D)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】菱形不一定是矩形，矩形也不一定是菱形．故選D.4．設(shè)x∈R，則x>2的一個必要不充分條件是(A)A．x>1B．x<1C．x>3D．x<3【解析】x>2?x>1，但x>1?/x>2.故選A.5．A，B是兩個非空集合，由A?B可以推得的結(jié)論是__②⑤__．(填序號)①A＝B；②A∩B＝A；③A∩B＝B；④A∪B＝A；⑤(A∪B)?(A∩B).【解析】由Venn圖知②⑤正確．6．求證：方程x2－2(a－b)x＋c＝0有兩個相等實數(shù)根的充要條件是c＝