-新教材高中數(shù)學(xué)第一章預(yù)備知識2.1第1課時必要條件與充分條件學(xué)案北師大版必修第一冊

PAGEPAGE6必要條件與充分條件新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理2.通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關(guān)系數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理3.通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理第1課時必要條件與充分條件某居民的臥室里安有一盞燈，在臥室門口和床頭各有一個開關(guān)，任意一個開關(guān)都能夠獨立控制這盞燈．這就是電器上常用的“雙刀”開關(guān)，如圖所示．[問題](1)A開關(guān)閉合時B燈一定亮嗎？(2)B燈亮?xí)rA開關(guān)一定閉合嗎？預(yù)備知識命題的概念、分類及結(jié)構(gòu)形式1．定義：一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫作命題．2．分類：判斷為eq\a\vs4\al(真)的語句是真命題；判斷為eq\a\vs4\al(假)的語句是假命題．3．結(jié)構(gòu)形式：“若p，則q”形式的命題中，eq\a\vs4\al(p)稱為命題的條件，eq\a\vs4\al(q)稱為命題的結(jié)論．用符號“?”與“”填空：(1)x2＞1________x＞1；(2)a，b都是偶數(shù)________a＋b是偶數(shù)．解析：(1)若x2＞1，則x<－1或x>1，故x2＞1x＞1.(2)若a，b都是偶數(shù)，則a＋b一定是偶數(shù)，故a，b都是偶數(shù)?a＋b是偶數(shù)．答案：(1)(2)?知識點一必要條件與性質(zhì)定理一般地，當(dāng)命題“若p，則q”是真命題時，稱eq\a\vs4\al(q)是eq\a\vs4\al(p)的必要條件．也就是說，一旦q不成立，p一定也不成立，即eq\a\vs4\al(q)對于eq\a\vs4\al(p)的成立是必要的．知識點二充分條件與判定定理一般地，當(dāng)命題“若p，則q”是真命題時，稱eq\a\vs4\al(p)是eq\a\vs4\al(q)的充分條件．綜上，對于真命題“若p，則q”，即p?q時，稱q是p的必要條件，也稱p是q的充分條件．eq\a\vs4\al()充分條件、必要條件的理解(1)對“推出”的正確理解，對于命題p：x>2，q：x>1.顯然p可以推出q，記為p?q，而q是不能推出p的；(2)若p?q，則p是q的充分條件．所謂充分，就是說條件是充分的，也就是說條件是充足的，條件是足夠的，條件是足以保證的．“有之必成立，無之未必不成立”；(3)若p?q，則q是p的必要條件．所謂必要，就是條件是必須有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，無之必不成立”；(4)若p?q，但qp，則稱p是q的充分不必要條件；(5)若q?p，但pq，則稱p是q的必要不充分條件；(6)若pq，且qp，則稱p是q的既不充分也不必要條件．(多選)下列條件中是x2＞4的充分條件的是()A．x＞－2 B．x＜－2C．x＜－3 D．x＞4解析：選BCD當(dāng)x＝0時，x＞－2，但x2＜4，故A錯，B、C、D都對．必要條件的判斷[例1](鏈接教科書第15頁例1)下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？(1)若一個四邊形是等腰梯形，則這個四邊形兩條對角線相等；(2)若△ABC是直角三角形，則△ABC是等腰三角形；(3)若eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，則x＝y(tǒng)；(4)若關(guān)于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，則a＞0.[解](1)等腰梯形的兩條對角線相等．因此p?q，所以q是p的必要條件．(2)直角三角形不一定是等腰三角形．因此pq，所以q不是p的必要條件．(3)若eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，則x＝y(tǒng)是真命題，因此p?q，所以q是p的必要條件．(4)命題“若關(guān)于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，則a＞0”為假命題，因此pq，所以q不是p的必要條件．eq\a\vs4\al()必要條件的兩種判斷方法(1)定義法：(2)命題判斷方法：如果命題：“若p，則q”是真命題，則q是p的必要條件；如果命題：“若p，則q”是假命題，則q不是p的必要條件．[跟蹤訓(xùn)練]設(shè)集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，則“A∪B＝R”是“a＝1”的________條件．(填“充分”或“必要”)解析：因為集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，當(dāng)A∪B＝R時，a≤1，因為a≤1不一定得到a＝1，當(dāng)a＝1時一定可以得到a≤1，所以“A∪B＝R”是“a＝1”的必要條件．答案：必要充分條件的判斷[例2](鏈接教科書第16頁例2)下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？(1)若a∈Q，則a∈R；(2)若a＜b，則eq\f(a,b)＜1；(3)若x，y∈R，|x|＝|y|，則x＝y(tǒng)；(4)若(a－2)(a－3)＝0，則a＝3；(5)在△ABC中，若A＞B，則BC＞AC；(6)若四邊形ABCD是正方形，則四邊形ABCD是菱形．[解](1)由于QR，所以p?q，所以p是q的充分條件．(2)由于a＜b，當(dāng)b＜0時，eq\f(a,b)＞1；當(dāng)b＞0時，eq\f(a,b)＜1.因此pq，所以p不是q的充分條件．(3)若x＝1，y＝－1，則|x|＝|y|，但x≠y，所以pq，所以p不是q的充分條件．(4)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此pq，所以p不是q的充分條件．(5)由三角形中大角對大邊可知，若A＞B，則BC＞AC.因此p?q，所以p是q的充分條件．(6)由菱形和正方形的定義可知，所有的正方形都是菱形，所以p?q，所以p是q的充分條件．eq\a\vs4\al()充分條件的兩種判斷方法(1)定義法：(2)命題判斷方法：如果命題：“若p，則q”是真命題，則p是q的充分條件；如果命題：“若p，則q”是假命題，則p不是q的充分條件．[跟蹤訓(xùn)練]設(shè)集合M＝{x|0＜x≤2}，N＝{x|0＜x≤3}，那么“a∈M”是“a∈N”的________條件．(填“充分”或“必要”)解析：由題意得，M∪N＝N，所以“a∈M”?“a∈N”，所以“a∈M”是“a∈N”的充分條件．答案：充分根據(jù)必要條件、充分條件求參數(shù)的取值范圍[例3]已知p：實數(shù)x滿足3a＜x＜a，其中a＜0，q：實數(shù)x滿足－2≤x≤3.若p是q的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．[解]p：3a＜x＜a，即集合A＝{x|3a＜x＜a}．q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因為p?q，所以A?B，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a≥－2，,a≤3，,a＜0))?－eq\f(2,3)≤a＜0，所以a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0)).[母題探究]1．(變條件)若本例中條件p改為“實數(shù)x滿足a＜x＜3a，其中a＞0”，若p是q的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．解：p：a＜x＜3a，即集合A＝{x|a＜x＜3a}．q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因為q?p，所以B?A，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a＞3，,a＜－2，?a∈?.,a＞0))2．(變條件)若本例中的條件“q：實數(shù)x滿足－2≤x≤3”改為“q：實數(shù)x滿足－3≤x≤0”其他條件不變，求實數(shù)a的取值范圍．解：p：3a＜x＜a，其中a＜0，即集合A＝{x|3a＜x＜a}．q：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}．因為p是q的充分條件，所以p?q，所以A?B，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a≥－3，,a≤0，,a＜0))?－1≤a＜0.所以a的取值范圍是[－1，0)．eq\a\vs4\al()利用充分(必要)條件確定參數(shù)的值(范圍)的步驟(1)記集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；(2)若p是q的充分條件，則M?N；若p是q的必要條件，則N?M；(3)根據(jù)集合的關(guān)系列不等式(組)；(4)解不等式(組)得結(jié)果．[跟蹤訓(xùn)練]已知全集U＝R，非空集合A＝{x|2＜x＜3a＋1}，B＝{x|a＜x＜a＋2}．記p：x∈A，q：x∈B，若q是p的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．解：∵A≠?，∴3a＋1＞2，即a＞eq\f(1,3).∵q是p的必要條件，∴A?B，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤2，,3a＋1≤a＋2，))解得a≤eq\f(1,2)，又a＞eq\f(1,3)，∴eq\f(1,3)＜a≤eq\f(1,2)，即實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))).1．a(chǎn)＜b，b＜0的一個必要條件是()A．a(chǎn)＋b＜0 B．a(chǎn)－b＞0C.eq\f(a,b)＜1 D.eq\f(a,b)＜－1解析：選A因為a＜b，b＜0?a＜0，b＜0?a＋b＜0.所以a＋b＜0是a＜b，b＜0的一個必要條件．2．若a∈R，則“a＝1”是“|a|＝1”的()A．充分條件B．必要條件C．既不是充分條件，也不是必要條件D．無法判斷解析：選A當(dāng)a＝1時，|a|＝1成立，但|a|＝1時，a＝±1，所以a＝1不一定成立．所以“a＝1”是“|a|＝1”的充分條件．3．若p：a∈M∪N，q：a∈M，則p是q的()