-新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)檢測3空間向量基本定理含解析新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

PAGEPAGE6課時(shí)跟蹤檢測（三）空間向量基本定理[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．下列命題中正確的是()A．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B．向量a，b，c共面，即它們所在的直線共面C．若兩個(gè)非零空間向量eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(CD,\s\up7(→))滿足eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝0，則eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))D．若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λb解析：選CA中，若b＝0，則a與c不一定共線；B中，共面向量的定義是平行于同一平面的向量，表示這些向量的有向線段所在的直線不一定共面；C中，∵eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝0，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\o(CD,\s\up7(→))，∴eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(CD,\s\up7(→))共線，故eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))正確；D中，若b＝0，a≠0，則不存在λ，使a＝λb.2．滿足下列條件，能說明空間不重合的A，B，C三點(diǎn)共線的是()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→)) B．eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))C．eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→)) D．|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))|解析：選C對(duì)于空間中的任意向量，都有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；若eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))，則eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，而eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，據(jù)此可知eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))，即B，C兩點(diǎn)重合，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))，則A，B，C三點(diǎn)共線，選項(xiàng)C正確；|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))|，則線段AB的長度與線段BC的長度相等，不一定有A，B，C三點(diǎn)共線，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．3．正方體ABCD-A′B′C′D′中，O1，O2，O3分別是AC，AB′，AD′的中點(diǎn)，以{eq\o(AO1,\s\up7(→))，eq\o(AO2,\s\up7(→))，eq\o(AO3,\s\up7(→))}為基底，eq\o(AC,\s\up7(→))′＝xeq\o(eq\o(AO1,\s\up7(→)),\s\up7(→))＋yeq\o(AO2,\s\up7(→))＋zeq\o(AO3,\s\up7(→))，則x，y，z的值是()A．x＝y(tǒng)＝z＝1 B．x＝y(tǒng)＝z＝eq\f(1,2)C．x＝y(tǒng)＝z＝eq\f(\r(2),2) D．x＝y(tǒng)＝z＝2解析：選Aeq\o(AC,\s\up7(→))′＝eq\o(AA,\s\up7(→))′＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AA,\s\up7(→))′＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AA,\s\up7(→))′＋eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))′＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))′＝eq\o(eq\o(AO1,\s\up7(→)),\s\up7(→))＋eq\o(AO3,\s\up7(→))＋eq\o(AO2,\s\up7(→))，由空間向量的基本定理，得x＝y(tǒng)＝z＝1.4．在棱長為1的正四面體ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，則eq\o(AE,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝()A．0 B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(1,4)解析：選Deq\o(AE,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))·(eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,2)－1))＝－eq\f(1,4).5．(多選)下列命題中是假命題的為()A．若向量p＝xa＋yb，則p與a，b共面B．若p與a，b共面，則p＝xa＋ybC．若eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))，則P，M，A，B四點(diǎn)共面D．若P，M，A，B四點(diǎn)共面，則eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))解析：選BD由平面向量基本定理得p與a，b共面，A是真命題；若a，b共線，p不一定能用a，b表示出來，B是假命題；若eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))，則eq\o(MP,\s\up7(→))，eq\o(MA,\s\up7(→))，eq\o(MB,\s\up7(→))三個(gè)向量在同一個(gè)平面內(nèi)，P，M，A，B四點(diǎn)共面，C是真命題；若M，A，B共線，點(diǎn)P不在此直線上，則eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))不成立，D是假命題；故選B、D.6．若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，且存在實(shí)數(shù)x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，則x，y，z滿足的條件是________．解析：若x≠0，則a＝－eq\f(y,x)b－eq\f(z,x)c，即a與b，c共面．由{a，b，c}是空間的一個(gè)基底知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.答案：x＝y(tǒng)＝z＝07．已知空間的一組基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c，若m與n共線，則x＝________，y解析：因?yàn)閙與n共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋2λc，于是有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝2λ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2.))答案：2－28．如圖在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為AC和BD的交點(diǎn)，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c，則eq\o(B1M,\s\up7(→))＝________．(用a，b，c表示)解析：eq\o(B1M,\s\up7(→))＝eq\o(AM,\s\up7(→))－eq\o(AB1,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))－(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－c.答案：－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－c9．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c，E，F(xiàn)分別是AD1，BD的中點(diǎn)．(1)用向量a，b，c表示eq\o(D1B,\s\up7(→))，eq\o(EF,\s\up7(→))；(2)若eq\o(D1F,\s\up7(→))＝xa＋yb＋zc，求實(shí)數(shù)x，y，z的值．解：(1)如圖，eq\o(D1B,\s\up7(→))＝eq\o(D1D,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→))＝－eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝a－b－c，eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(EA,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(D1A,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(a－c).(2)eq\o(D1F,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(D1D,\s\up7(→))＋eq\o(D1B,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(－eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(D1B,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(－c＋a－b－c)＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，z＝－1.10．已知A，B，M三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面ABM外的任意一點(diǎn)O，判斷在下列各條件下的點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，M是否共面．(1)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OM,\s\up7(→))＝3eq\o(OP,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))；(2)eq\o(OP,\s\up7(→))＝4eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OM,\s\up7(→))．解：法一：(1)原式可變形為eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OP,\s\up7(→)))＋(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OP,\s\up7(→)))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))．由共面向量定理的推論知，點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，M共面．(2)原式可變形為eq\o(OP,\s\up7(→))＝2eq\o(OA,\s\up7(→))＋(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→)))＋(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OM,\s\up7(→)))＝2eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(MA,\s\up7(→))．由共面向量定理的推論，可知點(diǎn)P位于平面ABM內(nèi)的充要條件是eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋xeq\o(BA,\s\up7(→))＋yeq\o(MA,\s\up7(→))．而eq\o(OP,\s\up7(→))＝2eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(MA,\s\up7(→))，∴點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，M不共面．法二：(1)原式可變形為eq\o(OB,\s\up7(→))＝3eq\o(OP,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OM,\s\up7(→))．∵3＋(－1)＋(－1)＝1，∴點(diǎn)B與點(diǎn)P，A，M共面，即點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，M共面．(2)由eq\o(OP,\s\up7(→))＝4eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OM,\s\up7(→))，得4＋(－1)＋(－1)＝2≠1，∴點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，M不共面．[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．(多選)(2021·夏津第一中學(xué)高二月考)已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線為OB，AC，M，N分別是對(duì)邊OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且eq\o(MG,\s\up7(→))＝2eq\o(GN,\s\up7(→))，現(xiàn)用基底{eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))}表示向量eq\o(OG,\s\up7(→))，有eq\o(OG,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))，則()A．x＝eq\f(1,6) B．y＝eq\f(1,3)C．z＝eq\f(1,3) D．x＋y＋z＝1解析：選ABC如圖所示，∵N為BC的中點(diǎn)，則eq\o(ON,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))，∵M(jìn)為OA的中點(diǎn)，則eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))，∴eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(ON,\s\up7(→))－eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))，∵eq\o(MG,\s\up7(→))＝2eq\o(GN,\s\up7(→))，則eq\o(MG,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(MN,\s\up7(→))，∴eq\o(OG,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\o(MG,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))＋\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))－\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)OC，∴x＝eq\f(1,6)，y＝z＝eq\f(1,3)，則x＋y＋z＝eq\f(5,6).故選A、B、C.12．在空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a－2c，eq\o(CD,\s\up7(→))＝5a－5b＋8c，對(duì)角線AC，BD的中點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，則eq\o(EF,\s\up7(→))＝________．向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))，eq\o(EF,\s\up7(→))________(填“能”或“否”)構(gòu)成一組基底．解析：eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(ED,\s\up7(→))＋eq\o(EB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,4)(eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→)))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→)))＝3a－eq\f(5,2)b＋3c.假設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))，eq\o(EF,\s\up7(→))共面，則eq\o(EF,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(CD,\s\up7(→))＝λa－2λc＋5μa－5μb＋8μc＝(λ＋5μ)a－5μb＋(8μ－2λ)c＝3a－eq\f(5,2)b＋3c.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋5μ＝3，,－5μ＝－\f(5,2)，,8μ－2λ＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝\f(1,2)．))∴eq\o(EF,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))共面，∴不能構(gòu)成一組基底．答案：3a－eq\f(5,2)b＋3c否13．若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，當(dāng)d＝αa＋βb＋γc時(shí)，α＋β＋γ＝________．解析：由已知d＝(α＋γ)e1＋(α＋β)e2＋(γ＋β)e3.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α＋γ＝1，,α＋β＝2，,γ＋β＝3，))故有α＋β＋γ＝3.答案：314．如圖，四棱錐P-OABC的底面為一矩形，PO⊥平面OABC，設(shè)eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OC,\s\up7(→))＝b，eq\o(OP,\s\up7(→))＝c，E，F(xiàn)分別是PC和PB的中點(diǎn)，試用a，b，c表示eq\o(BF,\s\up7(→))，eq\o(BE,\s\up7(→))，eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(EF,\s\up7(→))．解：如圖，連接BO，則eq\o(BF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(BO→＋eq\o(OP,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(c－b－a)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))＝－a＋eq\f(1,2)eq\o(CP,\s\up7(→))＝－a＋eq\f(1,2)(eq\o(CO,\