高考物理計算題復(fù)習(xí)《雙星問題》（解析版）

第=page11頁，共=sectionpages11頁第=page22頁，共=sectionpages22頁《雙星問題》一、計算題神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運動規(guī)律。天文學(xué)家觀測河外星系人麥析倫云時，發(fā)現(xiàn)了LNICX?3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成，兩星視為質(zhì)點，不考慮其它星體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖所示。引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率v和運行周期T。

(1)可見星A所受暗星B的引力FA可等效為位于O點處質(zhì)量為m’的星體(可視為質(zhì)點)對它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m1，

m2，試求m’(用m1、m2(2)求暗星B的的質(zhì)量m2與可見星A的速率v、運行周期T和質(zhì)量m1之間的關(guān)系式。(要求等號左邊只含有m1和，m2，等號右邊為其它量)

眾多的恒星組成不同層次的恒星系統(tǒng)，最簡單的恒星系統(tǒng)是兩顆互相繞轉(zhuǎn)的雙星，如下圖所示，兩星各以一定速率繞其連線上某一點勻速轉(zhuǎn)動，這樣才不至于因萬有引力作用而吸引在一起，已知雙星質(zhì)量分別為m1、m2，它們間的距離始終為L，引力常數(shù)為G，求：

(1)雙星旋轉(zhuǎn)的中心O到m1(2)雙星的轉(zhuǎn)動周期。

天文觀測中發(fā)現(xiàn)宇宙中存在著“雙星”，所謂雙星，是兩顆質(zhì)量相近，分別為m1和m2的恒星，它們的距離為r，而r遠遠小于它們跟其它天體之間的距離，這樣的雙星將繞著它們的連線上的某點(1)這兩顆星到O點的距離r1、r(2)雙星的周期．

現(xiàn)代觀測表明，由于引力的作用，恒星有“聚焦”的特點，眾多的恒星組成不同層次的恒星系統(tǒng)，最簡單的恒星系統(tǒng)是兩顆互相繞轉(zhuǎn)的雙星．它們以兩者連線上的某點為圓心做勻速圓周運動，這樣就不至于由于萬有引力的作用而吸引在一起．如圖所示，設(shè)某雙星系統(tǒng)中的兩星S1、S2的質(zhì)量分別為m和2m，兩星間距為L，在相互間萬有引力的作用下，繞它們連線上的某點O轉(zhuǎn)動．已知引力常量G，求：

(1)S1、S(2)S2星到O(3)它們運動的周期．

黑洞是宇宙空間內(nèi)存在的一種天體。黑洞的引力很大，使得視界內(nèi)的逃逸速度大于光速。黑洞無法直接觀測，但可以借由間接方式得知其存在與質(zhì)量，并且觀測到它對其他事物的影響，雙星系統(tǒng)中兩個星球A、B的質(zhì)量都是m，A、B相距L，它們正圍繞兩者連線上某一點做勻速圓周運動。實際觀測該系統(tǒng)的角速度ω要大于按照力學(xué)理論計算出的角速度理論值ω0，且ω/ω0=k(k>1)，于是有人猜測這可能是受到了一顆未發(fā)現(xiàn)的黑洞C的影響，并認(rèn)為C位于雙星A、B的連線正中間，相對A、B靜止，如圖2。已知萬有引力常量為G，求：

(1)兩個星球A、B組成的，如圖1雙星系統(tǒng)角速度理論值ω?0；

(2)星球C的質(zhì)量。(結(jié)果用k、m、L表示)

現(xiàn)代觀測表明，最簡單的恒星系統(tǒng)是兩顆互相繞轉(zhuǎn)的雙星．如圖所示，設(shè)某雙星系統(tǒng)中的兩星S1、S2的質(zhì)量分別為m和2m，兩星間距為L，在相互間萬有引力的作用下，繞它們連線上的某點O轉(zhuǎn)動．已知引力常量G，求：

(1)S1、(2)S2星到(3)它們運動的周期．

天體運動中，將兩顆相距較近的行星稱為雙星，它們在萬有引力作用下間距始終保持不變，并沿半徑不同的同心圓軌道做勻速圓周運動。已知雙星運動的周期為T，雙星間距為l，引力常量為G。(1)求雙星的質(zhì)量之和。(2)若已知其中一顆行星的質(zhì)量為m1，求該行星的向心加速度的大小。

兩個靠得很近的天體，離其他天體非常遙遠，它們以其連線上某一點O為圓心各自做勻速圓周運動，兩者的距離保持不變，科學(xué)家把這樣的兩個天體稱為“雙星”，如圖所示.已知雙星的質(zhì)量分別為m1和m2，它們之間的距離為L，求雙星的運行軌道半徑r1和r2及運行周期T．

經(jīng)過用天文望遠鏡長期觀測，人們在宇宙中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質(zhì)的存在形勢和分布情況有了較深刻的認(rèn)識。雙星系統(tǒng)由兩個星體構(gòu)成，其中每個星體的線度都遠小于兩星體之間的距離。一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠，可以當(dāng)作孤立系統(tǒng)處理?，F(xiàn)根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的光度學(xué)測量確定，該雙星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量都是M，兩者相距L。他們正繞兩者連線的中點作圓周運動。

(1)試計算該雙星系統(tǒng)的運動周期T計算。

(2)若實驗上觀測到的運動周期為T觀測，且T觀測:T計算=1:N???(N>1)。為了解釋T觀測與T天體運動中，將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星，它們在萬有引力作用下間距始終保持不變，并沿半徑不同的同心軌道作勻速圓周運動，設(shè)雙星間距為L，質(zhì)量分別為M1、M2，引力常數(shù)為G，試計算：

(1)雙星各自的軌道半徑；

(2)雙星的周期．

微觀世界與宏觀世界往往存在奇妙的相似性.對于氫原子模型，因為原子核的質(zhì)量遠大于電子質(zhì)量，可以忽略原子核的運動，形成類似天文學(xué)中的恒星?行星系統(tǒng)，記為模型Ⅰ。另一種模型認(rèn)為氫原子的核外電子并非繞核旋轉(zhuǎn)，而是類似天文學(xué)中的雙星系統(tǒng)，核外電子和原子核依靠庫侖力作用使它們同時繞彼此連線上某一點做勻速圓周運動，記為模型Ⅱ。已知核外電子的質(zhì)量為m，氫原子核的質(zhì)量為M，二者相距為r，靜電力常量為k，電子和氫原子核的電荷量大小均為e．

(1)模型Ⅰ、Ⅱ中系統(tǒng)的總動能分別用EkⅠ、EkⅡ表示，請通過定量計算來比較EkⅠ、EkⅡ的大小關(guān)系；

(2)求模型Ⅰ、Ⅱ中核外電子做勻速圓周運動的周期TⅠ和TⅡ；

(3)通常情況下氫原子的研究采用模型Ⅰ在宇宙中，單獨存在的恒星占少數(shù)，更多的恒星是以構(gòu)成雙星、三星甚至多星系統(tǒng)的形式存在，最多的是雙星系統(tǒng).通常兩顆質(zhì)量相差不大、相距較近的恒星，它們以兩者連線上某一位置為中心分別做勻速圓周運動，這樣的兩顆恒星運行形式就構(gòu)成了雙星系統(tǒng).若已知雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的質(zhì)量分別為m1和m2，相距為L，萬有引力常量為(1)該雙星系統(tǒng)中兩顆恒星運行的軌道半徑分別為多大；(2)該雙星系統(tǒng)運行的角速度大?。?/p>

神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運動規(guī)律。天文學(xué)家觀測河外星系麥哲倫云時，發(fā)現(xiàn)了LMCX?3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成．兩星視為質(zhì)點，不考慮其他天體的影響，A，B圍繞兩者的連線上的O點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖所示。引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率v和運行周期T。

(1)可見星A所受暗星B的引力FA可等效為位于O點處質(zhì)量為m′的星體(視為質(zhì)點)對它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m1、m2，試求m′(用m1、(2)求暗星B的質(zhì)量m2與可見星A的速率v、運行周期T和質(zhì)量m(3)恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽質(zhì)量ms的2倍，它將有可能成為黑洞。若可見星A的速率v=2.7×105m/s，運行周期T=4.7π×104s，質(zhì)量m1=6ms宇宙中兩顆靠得較近的天體是以兩者連線上的某點為圓心做周期相同的勻速圓周運動，因而不至于因引力作用而吸引到一起，人們稱之為“雙星系統(tǒng)”。如圖所示，若忽略其他星體的影響，天體A、B可看做“雙星系統(tǒng)”。已知天體A、B的質(zhì)量分別為m1、m2，它們繞O點運動的周期均為T，引力常量為(1)天體A、B的線速度之比；(2)天體A、B之間的距離。

如圖所示，質(zhì)量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速圓周運動，星球A和B兩者中心之間距離為L。已知A、B的中心和O三點始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)，引力常量為G。求：

(1)A星球做圓周運動的半徑R和B星球做圓周運動的半徑r；(2)兩星球做圓周運動的周期。

雙星系統(tǒng)的兩個星球A、B相距為L，質(zhì)量都是m，它們正圍繞兩者連線上某一點做勻速圓周運動。(1)求星球A、B組成的雙星系統(tǒng)周期理論值T0(2)實際觀測該系統(tǒng)的周期T要小于按照力學(xué)理論計算出的周期理論值T0，且TT0=k(k<1)，于是有人猜測這可能是受到了一顆未發(fā)現(xiàn)的星球C的影響，并認(rèn)為C位于雙星A.B的連線正中間，星球A、B圍繞C做勻速圓周運動，試求星球C的質(zhì)量(結(jié)果用k和m表達)。

兩個星球組成雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點做周期相同的勻速圓周運動.現(xiàn)測得兩星中心距離為R，其運動周期為T，求兩星的總質(zhì)量.(引力常量為G)

我們的銀河系的恒星中大約四分之一是雙星。某雙星由質(zhì)量m1的星體S1和質(zhì)量m2的S2星體構(gòu)成，兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點O做勻速圓周運動。S1到O(1)S2星體到O(2)雙星S1和S2的運行周期。

雙星系統(tǒng)一般都遠離其他天體，由兩顆距離較近的星體組成，在它們之間萬有引力的相互作用下，繞中心連線上的某點做周期相同的勻速圓周運動。如地月系統(tǒng)，忽略其他星體的影響和月球的自轉(zhuǎn)，把月球繞地球的轉(zhuǎn)動近似看做雙星系統(tǒng)。已知月球和地球之間的距離為r，運行周期為T，引力常量為G，求地球和月球的質(zhì)量之和。

宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們以兩者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，而不至于因萬有引力的作用吸引到一起．設(shè)二者的質(zhì)量分別為m1和m2，二者相距L.(1)雙星的軌道半徑之比；(2)雙星的線速度之比；(3)雙星的運動周期．

(1)科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，除了類似太陽系的恒星?行星系統(tǒng)，還存在許多雙星系統(tǒng)，通過對它們的研究，使我們對宇宙有了較深刻的認(rèn)識。已知某雙星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量都是M0，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點做勻速圓周運動，引力常量為G.a.該雙星系統(tǒng)中星體的加速度大小a；b.該雙星系統(tǒng)的運動周期T。(2)其實，太陽?地球也可視為一個雙星系統(tǒng)，因為太陽的質(zhì)量遠大于地球，我們常常忽略太陽的運動，認(rèn)為地球繞太陽做圓周運動，記為模型I.另一種模型則認(rèn)為太陽和地球在引力作用下同時繞彼此連線上某一點做勻速圓周運動，記為模型II.己知地球質(zhì)量為m，太陽質(zhì)量為M，二者相距為r，引力常量為G。模型I、II中地球做勻速圓周運動的周期分別用TI、TII表示，通常情況下我們采用模型I的方案研究地球的運動，請從周期的關(guān)系角度分析這樣簡化處理的合理性。

雙星系統(tǒng)的運動實際上會受其他星體的影響而存在誤差。假設(shè)質(zhì)量均為m的星體甲和乙構(gòu)成理論上的雙星系統(tǒng)，已知兩星體之間的距離為L，引力常量為G。根據(jù)所學(xué)的知識計算得出雙星系統(tǒng)的理論運行周期為T(T為未知量)，通過測量可知雙星系統(tǒng)的實際運行周期為，假設(shè)引起該誤差的原因是受到甲、乙兩星體連線中點處星體丙的影響。求：(1)雙星的理論運行周期T；(2)星體丙的質(zhì)量M。

宇宙中兩顆靠得比較近的恒星，只受到彼此之間的萬有引力作用而相互繞轉(zhuǎn)，稱之為雙星系統(tǒng)。如圖所示，某雙星系統(tǒng)A、B繞其連線上的O點分別做勾速圓周運動，A、B的質(zhì)量分別為m和M，AB兩雙星中心間的距離為L，引力常量為G，求該雙星系統(tǒng)的運動周期。

宇宙中兩顆相距很近的恒星常常組成一個雙星系統(tǒng)．它們以相互間的萬有引力彼此提供向心力，從而使它們繞著某一共同的圓心做勻速圓周運動，若已知它們的運轉(zhuǎn)周期為T，兩星到某一共同圓心的距離分別為R1和R(1)這兩顆恒星的線速度之比v1(2)這兩顆恒星的總質(zhì)量M．

兩天體以一點O為圓心各自做勻速圓周運動，兩者的距離保持不變，科學(xué)家把這樣的兩個天體稱為“雙星”，如圖所示。已知萬有引力常量G，雙星的質(zhì)量為m1和m2，它們之間的距離為L。

(1)求雙星運行軌道半徑r1和r(2)求運行的周期T。

雙星由兩顆繞著共同的重心旋轉(zhuǎn)的恒星組成。對于其中一顆來說，另一顆就是其“伴星”。相對于其他恒星來說，位置看起來非?？拷?。聯(lián)星一詞是由弗里德里希·赫歇爾在1802年所創(chuàng)。根據(jù)他的定義，聯(lián)星系統(tǒng)是由兩個星體根據(jù)吸引力定律組成的一個系統(tǒng)。故宇宙中的兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們以兩者連線的某一點為圓心做勻速圓周運動，而不至于因萬有引力的作用吸引在一起，設(shè)二者的質(zhì)量分別為m1和m2二者相距為L，求：

(1)雙星的軌道半徑的之比．

(2)雙星的線速度之比．

(3)雙星轉(zhuǎn)動的角速度ω。

如圖所示，質(zhì)量分別為m和M的兩個星球A和B在彼此引力作用下都繞O點做勻速圓周運動，星球A和B兩者中心之間距離為L，已知A、B的中心和O三點始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)，引力常量為G．

(1)求兩星球A和B做圓周運動的軌道半徑r1和r(2)求兩星球A和B做圓周運動的周期T1和T2．

答案和解析1.【答案】解：(1)設(shè)A、B的圓軌道半徑分別為r1、r2，由題意知，A、B做勻速圓周運動的角速度相同，其為ω。

由牛頓運動定律，

對A：FA=m1ω2r1

對B：FB=m2ω2r2

FA=FB

設(shè)A、B之間的距離為r又r=r1+r2，由上述各式得r=m1+m2m2r1①

由萬有引力定律，有FA=Gm1m2r2

將①代入得FA=Gm1m23(m1+m2)2r2

令FA=Gm1m′【解析】本題考查雙星問題。對于天體運動問題關(guān)鍵要建立物理模型。雙星問題與人造地球衛(wèi)星的運動模型不同，兩星都繞著它們之間連線上的一點為圓心做勻速圓周運動，雙星、圓心始終“三點”一線。雙星系統(tǒng)構(gòu)成的條件是雙星的角速度相同，依靠它們之間的萬有引力提供各自的向心力。由于兩星球的加速度不同，必須采用隔離法運用牛頓定律分別對兩星球研究，并通過數(shù)學(xué)變形求解。

(1)分析向心力的來源，對AB分析寫出向心力的表達式與萬有引力的表達式，找出幾何關(guān)系，列方程求出質(zhì)量關(guān)系；

(2)根據(jù)向心力與等效引力的理解列出向心力的表達式，結(jié)合線速度定義式求出速率與質(zhì)量關(guān)系。

2.【答案】解：(1)設(shè)m1到中心O的距離為x，雙星的周期相同，由萬有引力充當(dāng)向心力，向心力大小相等得：F引=F向

知：Gm1m2L2=m1x4π2T2…①

Gm1m2L2【解析】雙星在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的O點做周期相同的勻速圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律分別對兩星進行列式，來求解。

這道題充分體現(xiàn)了利用雙星系統(tǒng)的特點來解題的思路。

雙星特點：1.繞同一中心轉(zhuǎn)動的角速度和周期相同。

2.由相互作用力充當(dāng)向心力，向心力相同。

3.【答案】解：(1)如圖，

設(shè)雙星中質(zhì)量為m1的天體軌道半徑為r1，質(zhì)量為m2的天體軌道半徑為r2

據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律，得：Gm1m2r2=m1ω2r1①

Gm1m2r2=m2ω2r2②

r1+r2=r③

由【解析】雙星以兩者連線上某點為圓心，各自做勻速圓周運動，向心力由對方的萬有引力提供，而且雙星的條件是角速度相同，根據(jù)牛頓第二定律隔離兩個天體分別研究，再求解雙星運行軌道半徑和周期．

本題是雙星問題，與衛(wèi)星繞地球運動模型不同，兩顆星都繞同一圓心做勻速圓周運動，關(guān)鍵抓住條件：周期相同．

4.【答案】解：(1)根據(jù)萬有引力定律可知

兩星之間的萬有引力大?。籉=G2(2)設(shè)O點距s2星的距離為x，雙星運動的周期為T對于B星：

G2m2L2=2mx(?2πT)?2(3)由G2m2L2=2mx(?2πT)

【解析】這道題充分體現(xiàn)了利用雙星系統(tǒng)的特點來解題的思路；明確雙星特點：1.繞同一中心轉(zhuǎn)動的角速度和周期相同。2.由相互作用力充當(dāng)向心力，向心力大小相同。

雙星在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的O點做周期相同的勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力分別對兩星進行列式來求解即可。

5.【答案】解：(1)分析星球A、B，有：

Gm2L2=mω02rA

Gm2L2=mω02rB

rA+rB=L

聯(lián)立得：rA=rB=0.5L

ω0=2GmL3【解析】(1)雙星繞兩者連線的中點做圓周運動，由相互之間萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解運動角速度。

(2)假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著暗物質(zhì)，由暗物質(zhì)對雙星的作用與雙星之間的萬有引力的合力提供雙星的向心力，結(jié)合角速度聯(lián)立求得星球C的質(zhì)量即可。

本題是雙星問題，要抓住雙星系統(tǒng)的條件：角速度與周期相同，再由萬有引力充當(dāng)向心力進行列式計算即可。

6.【答案】解：(1)根據(jù)萬有引力定律可知

兩星之間的萬有引力大??；F=G2(2)設(shè)O點距s2星的距離為x，雙星運動的周期為T對于B星：

G2m2L2=2mx(?2πT)?2(3)由G2m2L2=2mx(?2πT)

【解析】本題考查了雙星系統(tǒng)，根據(jù)萬有引力提供向心力分別對兩星進行列式來求解。

這道題充分體現(xiàn)了利用雙星系統(tǒng)的特點來解題的思路；明確雙星特點：

1.繞同一中心轉(zhuǎn)動的角速度和周期相同。

2.由相互作用力充當(dāng)向心力，向心力大小相同。

雙星在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的O點做周期相同的勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力分別對兩星進行列式來求解即可。

7.【答案】【解答】(1)由萬有引力提供向心力可得GMml2=m4π2T2r1GMml2=m4π2T2r2并且

【解析】【分析】

因為雙星受到同樣大小的萬有引力作用，且保持距離不變，繞同一圓心做勻速圓周運動，如圖所示，所以具有周期、頻率和角速度均相同，而軌道半徑、線速度不同的特點．

8.【答案】解：如圖所示：

設(shè)雙星中質(zhì)量為m1的天體軌道半徑為r1，質(zhì)量為m2的天體軌道半徑為r2

據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律，得：Gm由①②③聯(lián)立解得：r1=m2Lm1+m2，r2=m1L

【解析】本題是雙星問題，與衛(wèi)星繞地球運動模型不同，兩顆星都繞同一圓心做勻速圓周運動，關(guān)鍵抓住條件：周期相同。

雙星以兩者連線上某點為圓心，各自做勻速圓周運動，向心力由對方的萬有引力提供，而且雙星的條件是角速度相同，根據(jù)牛頓第二定律隔離兩個天體分別研究，再求解雙星運行軌道半徑和周期。

9.【答案】解：(1)雙星均繞它們的連線的中點做圓周運動，設(shè)運動速率為v，向心加速度滿足下面的方程：

Mv2L2=GM2L2

(1)

解得：

v=GM2L

(2)

周期：

T計算=2π(L2)v=πL2LGM

(3)

(2)根據(jù)觀測結(jié)果，星體的運動周期

T觀察=1NT計算<T計算

(4)

這說明雙星系統(tǒng)中受到的向心力大于本身的引力，故它一定還受到其他指向中心的作用力，按題意這一作用來源于均勻分布的暗物質(zhì)，均勻分布在球體內(nèi)的暗物質(zhì)對雙星系統(tǒng)的作用與一質(zhì)量等于球內(nèi)暗物質(zhì)的總質(zhì)量位于中點處的質(zhì)量點相同．考慮暗物質(zhì)作用后雙星的速度即為觀察到的速度v觀，則有

(5)

(6)

因為在軌道一定時，周期和速度成反比，由(4)式得

1v【解析】該題主要考查雙星系統(tǒng)問題相關(guān)知識。分析好物理情景，熟知雙星系統(tǒng)運行原理是解決本題的關(guān)鍵。

(1)雙星均繞它們的連線的中點做圓周運動，由此根據(jù)萬有引力定律、牛頓第二定律等列式可求運動周期；

(2)根據(jù)萬有引力定律和密度公式，分析好物理情景，即可求解該星系間暗物質(zhì)的密度。

10.【答案】解：設(shè)行星轉(zhuǎn)動的角速度為ω，周期為T。(1)如圖，對星球，由向心力公式可得：G同理對星，有：GM兩式相除得：R2R1=又因為L=所以得：R1=(2)由上式得到ω=因為T=2π所以：T=2πL

【解析】解決本題的關(guān)鍵掌握雙星模型系統(tǒng)，知道它們靠相互間的萬有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等。雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出軌道半徑之比，進一步計算軌道半徑大??；據(jù)萬有引力提供向心力計算出周期。

11.【答案】解：(1)模型Ⅰ中，設(shè)電子和原子核的速度分別為v對于電子繞核的運動，根據(jù)庫侖定律和牛頓第二定律有：

ke2r2=mv2r

解得：EkI=12mv2=ke22r

模型Ⅱ中，設(shè)電子和原子核的速度分別為v1、v2，電子的運動半徑為r1，原子核的運動半徑為r2.根據(jù)庫侖定律和牛頓第二定律

對電子有：ke2r2=mv12r1，

解得：Ek1=12mv12=ke22r2r1

對于原子核有：ke2r2=Mv22r2，

解得：Ek2=12Mv22=ke22r2r2

系統(tǒng)的總動能：EkⅡ【解析】(1)根據(jù)庫侖定律與牛頓第二定律，結(jié)合動能表達式，即可求解；

(2)根據(jù)庫侖定律和牛頓第二定律，及向心力表達式，即可求解；

(3)依據(jù)兩個周期之比，結(jié)合兩質(zhì)量大小關(guān)系，即可求解．

考查庫侖定律和牛頓第二定律的應(yīng)用，掌握向心力與動能表達式，理解庫侖引力提供向心力的內(nèi)容，注意符號運算是解題的難點．

12.【答案】

解：(1、2)設(shè)m1到中心O的距離為r1，m2到中心O的距離為r2，則由萬有引力提供向心力有

Gm1m2L2=m1ω2r1

①

Gm【解析】兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動，相互之間的萬有引力提供各自的向心力，而且兩顆恒星有相同的角速度和周期。根據(jù)牛頓第二定律分別對兩星進行列式來求解。

本題是雙星問題，關(guān)鍵抓住兩點：一是雙星由相互間的萬有引力提供向心力；雙星的條件是：角速度或周期相等。

13.【答案】解：(1)設(shè)A、B的圓軌道半徑分別為r1、r2，由題意知，A、B做勻速圓周運動的角速相同，其為ω。

由牛頓運動定律，有

對A：FA=m1ω2r1

對B：FB=m2ω2r2

FA=FB

設(shè)A、B之間的距離為r，又r=r1+r2，

由上述各式得r=m1+m2m2r1

①

由萬有引力定律，有

FA=Gm1m2r2

將①代入得FA=Gm1m23(m1+m2)2r2

，令

比較可得

②

(2)由牛頓第二定律，有

③

又可見星A【解析】本題考查利用萬有引力定律分析天體的運動問題及雙星問題。

(1)AB構(gòu)成雙星系統(tǒng)，根據(jù)萬有引力提供向心力，聯(lián)立解得等效質(zhì)量。

(2)依據(jù)，及線速度公式，求解關(guān)系式；

(3)依據(jù)暗星B的質(zhì)量m2與可見星A的速率v、運行周期T和質(zhì)量m1之間的關(guān)系式判斷B是否為黑洞。

14.【答案】解：(1)設(shè)天體A、B之間的距離為L，根據(jù)萬有引力提供天體運動的向心力有Gm1m2L2=m1v1ω

Gm1m2L2=m2v2ω

聯(lián)立解得天體A、B的線速度之比v1v【解析】解決本題的關(guān)鍵掌握雙星模型系統(tǒng)，知道它們靠相互間的萬有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等。

雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出軌道半徑之比；結(jié)合線速度與角速度的關(guān)系求出線速度之比。

根據(jù)萬有引力提供向心力和A、B之間的距離為兩星運動半徑之和求出距離。

15.【答案】解：(1)A和B繞O做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供向心力，則A和B的向心力相等。且A和B和O始終共線，說明A和B有相同的角速度和周期。

則有：mω2r1=Mω2r2

又由已知：r1+r2=L

解得：r2=mm+ML

r1=Mm+ML；

(2)對A根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得：GMmL2=m(【解析】該題屬于雙星問題，它們之間的萬有引力提供向心力，它們兩顆星的軌道半徑的和等于它們之間的距離，兩星向心力相同角速度相同為前提，代入公式即可解答。

該題屬于雙星問題，要注意的是它們兩顆星的軌道半徑的和等于它們之間的距離，不能把它們的距離當(dāng)成軌道半徑。

16.【答案】解：(1)兩個星球A、B組成的雙星系統(tǒng)周期相同，設(shè)兩個軌道半徑分別為r1，r2，兩星之間萬有引力是兩星做勻速圓周運動的向心力

對星球A：Gm2L2=m4π2T02r1

對星球B：Gm2L2=m4π2T02r2【解析】本題是雙星問題，要抓住雙星系統(tǒng)的條件：角速度與周期相同，再由萬有引力充當(dāng)向心力進行列式計算即可。

(1)雙星繞兩者連線的中點做圓周運動，由相互之間萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解運動周期；

(2)假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著暗物質(zhì)，由暗物質(zhì)對雙星的作用與雙星之間的萬有引力的合力提供雙星的向心力，由此可以得到雙星運行的角速度，進而得到周期T，由周期關(guān)系求得星球C的質(zhì)量即可。

17.【答案】解：

設(shè)兩星質(zhì)量分別為M1和M2，都繞連線上O點作周期為T的圓周運動，星球1和星球2到O的距離分別為l1和l2．

由萬有引力提供向心力：

對

M1：GM1M2R2=M1(2πT)2【解析】雙星系統(tǒng)中，兩顆星球繞同一點做勻速圓周運動，且兩者始終與圓心共線，相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度，即角速度相等，則周期也相等．但兩者做勻速圓周運動的半徑不相等。

從動力學(xué)方程的三種表述中，可得到相應(yīng)的天體質(zhì)量的三種表達形式：

a.M=v2rG．

b.M=ω2r3G．

c.M=4π2r3GT2．

上述三種表達式分別對應(yīng)在已知環(huán)繞天體的線速度v，角速度ω，周期T時求解中心天體質(zhì)量的方法。上各式中M表示中心天體質(zhì)量，m表示環(huán)繞天體質(zhì)量，r表示兩天體間距離，G表示萬有引力常量．利用以上方法只能求出中心天體的質(zhì)量，而不能求出環(huán)繞天體的質(zhì)量，因為環(huán)繞天體的質(zhì)量同時出現(xiàn)在方程的兩邊，已被約掉。

處理雙星問題必須注意兩點：(1)、兩顆星球運行的角速度、周期相等；(2)、軌道半徑不等于引力距離(這一點務(wù)必理解)。弄清每個表達式中各字母的含義，在示意圖中相應(yīng)位置標(biāo)出相關(guān)量，可以最大限度減少錯誤。

18.【答案】解：(1)雙星的向心力由它們之間的萬有引力提供，周期相等，有：m1r14π2T2=m2r24π2T2，

可知質(zhì)量之比跟各自的軌道半徑成反比，所以有：r2=m【解析】雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，周期相等。根據(jù)GMmr2=m1r1ω2=m2r2ω2，求出質(zhì)量之比跟各自的軌道半徑成反比，根據(jù)周期公式求解周期即可。

解決本題的關(guān)鍵知道雙星系統(tǒng)的特點，結(jié)合萬有引力提供向心力進行求解。

19.【答案】解：設(shè)地球質(zhì)量為M，月球質(zhì)量為m【解析】本題考查萬有引力定律的應(yīng)用，關(guān)鍵是理解雙星系統(tǒng)相互環(huán)繞的原理，明確雙星具有相同的角速度，根據(jù)萬有引力提供向心力求解。

雙星系統(tǒng)靠它們之間的萬有引力提供相互環(huán)繞所需的向心力，它們具有相同的角速度(周期)。根據(jù)萬有引力提供向心力列式求出地球和月球的質(zhì)量之和。

20.【答案】解：(1)設(shè)m1和m2的軌道半徑分別為r1、r2

G得：r(2)設(shè)m1和m2的線速度分別為vv=ωr有：v(3)由Gm1mG聯(lián)立解得：ω=Gm1

【解析】雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出軌道半徑之比；結(jié)合線速度與角速度的關(guān)系求出線速度之比；根據(jù)萬有引力提供向心力求出角速度的大小，進而求解周期。

解決本題的關(guān)鍵掌握雙星模型系統(tǒng)，知道它們靠相互間的萬有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等。

21.【答案】解：(1)a.根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有：GM02L2=M0a

解得a=GM0L2

b.由運動學(xué)公式可知，a=4π2T2?L2

解得T=2πL32GM0

(2)a.模型I中，有GMmr2=mv2r，解得：EkI=12GMmr

模型II中，設(shè)太陽和地球的速度分別為v1、v2，運動半徑為r1，r2。

對太陽有：GMmr2=Mv12r1，解得EkT=12GMmr2r1

對地球有：【解析】對于雙星問題和暗物質(zhì)問題，關(guān)鍵都要建立模型，確定向心力的來源。若雙星圓周運動的圓心不在連線的中點，要采用隔離法研究。

(1)①根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律求該雙星系統(tǒng)中星體的加速度大??；

②根據(jù)圓周運動的運動學(xué)公式求解該雙星系統(tǒng)的運動周期；

(2)①根據(jù)萬有引力提供向心力和動能公式分別求出兩種模型系統(tǒng)的總動能；

②根據(jù)萬有引力提供向心力求出兩種模型系統(tǒng)的周期，再由數(shù)學(xué)知識得出周期之間的關(guān)系，從而得出結(jié)論。

22.【答案】解：(1)雙星均繞它們連線的中點做圓周運動，設(shè)運動的速率為v，得mv2L2=Gm2L2，

解得：v=Gm2L，

則周期為：

(2)根據(jù)觀測結(jié)果，星體的運動周期：，

引起該誤差的原因是受到甲、乙兩星體連線中點處星體丙的影響，設(shè)該星球的質(zhì)量為M，位于中點O處的質(zhì)點的作用相同，考慮M作用后雙星的速度即為觀察到