高考物理計(jì)算題復(fù)習(xí)《雙星問(wèn)題》（解析版）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)第=page22頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《雙星問(wèn)題》一、計(jì)算題神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。天文學(xué)家觀測(cè)河外星系人麥析倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了LNICX?3雙星系統(tǒng)，它由可見(jiàn)星A和不可見(jiàn)的暗星B構(gòu)成，兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其它星體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，如圖所示。引力常量為G，由觀測(cè)能夠得到可見(jiàn)星A的速率v和運(yùn)行周期T。

(1)可見(jiàn)星A所受暗星B的引力FA可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m’的星體(可視為質(zhì)點(diǎn))對(duì)它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m1，

m2，試求m’(用m1、m2(2)求暗星B的的質(zhì)量m2與可見(jiàn)星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m1之間的關(guān)系式。(要求等號(hào)左邊只含有m1和，m2，等號(hào)右邊為其它量)

眾多的恒星組成不同層次的恒星系統(tǒng)，最簡(jiǎn)單的恒星系統(tǒng)是兩顆互相繞轉(zhuǎn)的雙星，如下圖所示，兩星各以一定速率繞其連線上某一點(diǎn)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣才不至于因萬(wàn)有引力作用而吸引在一起，已知雙星質(zhì)量分別為m1、m2，它們間的距離始終為L(zhǎng)，引力常數(shù)為G，求：

(1)雙星旋轉(zhuǎn)的中心O到m1(2)雙星的轉(zhuǎn)動(dòng)周期。

天文觀測(cè)中發(fā)現(xiàn)宇宙中存在著“雙星”，所謂雙星，是兩顆質(zhì)量相近，分別為m1和m2的恒星，它們的距離為r，而r遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于它們跟其它天體之間的距離，這樣的雙星將繞著它們的連線上的某點(diǎn)(1)這兩顆星到O點(diǎn)的距離r1、r(2)雙星的周期．

現(xiàn)代觀測(cè)表明，由于引力的作用，恒星有“聚焦”的特點(diǎn)，眾多的恒星組成不同層次的恒星系統(tǒng)，最簡(jiǎn)單的恒星系統(tǒng)是兩顆互相繞轉(zhuǎn)的雙星．它們以?xún)烧哌B線上的某點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這樣就不至于由于萬(wàn)有引力的作用而吸引在一起．如圖所示，設(shè)某雙星系統(tǒng)中的兩星S1、S2的質(zhì)量分別為m和2m，兩星間距為L(zhǎng)，在相互間萬(wàn)有引力的作用下，繞它們連線上的某點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)．已知引力常量G，求：

(1)S1、S(2)S2星到O(3)它們運(yùn)動(dòng)的周期．

黑洞是宇宙空間內(nèi)存在的一種天體。黑洞的引力很大，使得視界內(nèi)的逃逸速度大于光速。黑洞無(wú)法直接觀測(cè)，但可以借由間接方式得知其存在與質(zhì)量，并且觀測(cè)到它對(duì)其他事物的影響，雙星系統(tǒng)中兩個(gè)星球A、B的質(zhì)量都是m，A、B相距L，它們正圍繞兩者連線上某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。實(shí)際觀測(cè)該系統(tǒng)的角速度ω要大于按照力學(xué)理論計(jì)算出的角速度理論值ω0，且ω/ω0=k(k>1)，于是有人猜測(cè)這可能是受到了一顆未發(fā)現(xiàn)的黑洞C的影響，并認(rèn)為C位于雙星A、B的連線正中間，相對(duì)A、B靜止，如圖2。已知萬(wàn)有引力常量為G，求：

(1)兩個(gè)星球A、B組成的，如圖1雙星系統(tǒng)角速度理論值ω?0；

(2)星球C的質(zhì)量。(結(jié)果用k、m、L表示)

現(xiàn)代觀測(cè)表明，最簡(jiǎn)單的恒星系統(tǒng)是兩顆互相繞轉(zhuǎn)的雙星．如圖所示，設(shè)某雙星系統(tǒng)中的兩星S1、S2的質(zhì)量分別為m和2m，兩星間距為L(zhǎng)，在相互間萬(wàn)有引力的作用下，繞它們連線上的某點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)．已知引力常量G，求：

(1)S1、(2)S2星到(3)它們運(yùn)動(dòng)的周期．

天體運(yùn)動(dòng)中，將兩顆相距較近的行星稱(chēng)為雙星，它們?cè)谌f(wàn)有引力作用下間距始終保持不變，并沿半徑不同的同心圓軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知雙星運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，雙星間距為l，引力常量為G。(1)求雙星的質(zhì)量之和。(2)若已知其中一顆行星的質(zhì)量為m1，求該行星的向心加速度的大小。

兩個(gè)靠得很近的天體，離其他天體非常遙遠(yuǎn)，它們以其連線上某一點(diǎn)O為圓心各自做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，兩者的距離保持不變，科學(xué)家把這樣的兩個(gè)天體稱(chēng)為“雙星”，如圖所示.已知雙星的質(zhì)量分別為m1和m2，它們之間的距離為L(zhǎng)，求雙星的運(yùn)行軌道半徑r1和r2及運(yùn)行周期T．

經(jīng)過(guò)用天文望遠(yuǎn)鏡長(zhǎng)期觀測(cè)，人們?cè)谟钪嬷幸呀?jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過(guò)對(duì)它們的研究，使我們對(duì)宇宙中物質(zhì)的存在形勢(shì)和分布情況有了較深刻的認(rèn)識(shí)。雙星系統(tǒng)由兩個(gè)星體構(gòu)成，其中每個(gè)星體的線度都遠(yuǎn)小于兩星體之間的距離。一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠(yuǎn)，可以當(dāng)作孤立系統(tǒng)處理?，F(xiàn)根據(jù)對(duì)某一雙星系統(tǒng)的光度學(xué)測(cè)量確定，該雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量都是M，兩者相距L。他們正繞兩者連線的中點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)。

(1)試計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T計(jì)算。

(2)若實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)觀測(cè)，且T觀測(cè):T計(jì)算=1:N???(N>1)。為了解釋T觀測(cè)與T天體運(yùn)動(dòng)中，將兩顆彼此相距較近的行星稱(chēng)為雙星，它們?cè)谌f(wàn)有引力作用下間距始終保持不變，并沿半徑不同的同心軌道作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)雙星間距為L(zhǎng)，質(zhì)量分別為M1、M2，引力常數(shù)為G，試計(jì)算：

(1)雙星各自的軌道半徑；

(2)雙星的周期．

微觀世界與宏觀世界往往存在奇妙的相似性.對(duì)于氫原子模型，因?yàn)樵雍说馁|(zhì)量遠(yuǎn)大于電子質(zhì)量，可以忽略原子核的運(yùn)動(dòng)，形成類(lèi)似天文學(xué)中的恒星?行星系統(tǒng)，記為模型Ⅰ。另一種模型認(rèn)為氫原子的核外電子并非繞核旋轉(zhuǎn)，而是類(lèi)似天文學(xué)中的雙星系統(tǒng)，核外電子和原子核依靠庫(kù)侖力作用使它們同時(shí)繞彼此連線上某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，記為模型Ⅱ。已知核外電子的質(zhì)量為m，氫原子核的質(zhì)量為M，二者相距為r，靜電力常量為k，電子和氫原子核的電荷量大小均為e．

(1)模型Ⅰ、Ⅱ中系統(tǒng)的總動(dòng)能分別用EkⅠ、EkⅡ表示，請(qǐng)通過(guò)定量計(jì)算來(lái)比較EkⅠ、EkⅡ的大小關(guān)系；

(2)求模型Ⅰ、Ⅱ中核外電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期TⅠ和TⅡ；

(3)通常情況下氫原子的研究采用模型Ⅰ在宇宙中，單獨(dú)存在的恒星占少數(shù)，更多的恒星是以構(gòu)成雙星、三星甚至多星系統(tǒng)的形式存在，最多的是雙星系統(tǒng).通常兩顆質(zhì)量相差不大、相距較近的恒星，它們以?xún)烧哌B線上某一位置為中心分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這樣的兩顆恒星運(yùn)行形式就構(gòu)成了雙星系統(tǒng).若已知雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的質(zhì)量分別為m1和m2，相距為L(zhǎng)，萬(wàn)有引力常量為(1)該雙星系統(tǒng)中兩顆恒星運(yùn)行的軌道半徑分別為多大；(2)該雙星系統(tǒng)運(yùn)行的角速度大?。?/p>

神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。天文學(xué)家觀測(cè)河外星系麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了LMCX?3雙星系統(tǒng)，它由可見(jiàn)星A和不可見(jiàn)的暗星B構(gòu)成．兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其他天體的影響，A，B圍繞兩者的連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，如圖所示。引力常量為G，由觀測(cè)能夠得到可見(jiàn)星A的速率v和運(yùn)行周期T。

(1)可見(jiàn)星A所受暗星B的引力FA可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m′的星體(視為質(zhì)點(diǎn))對(duì)它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m1、m2，試求m′(用m1、(2)求暗星B的質(zhì)量m2與可見(jiàn)星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m(3)恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽(yáng)質(zhì)量ms的2倍，它將有可能成為黑洞。若可見(jiàn)星A的速率v=2.7×105m/s，運(yùn)行周期T=4.7π×104s，質(zhì)量m1=6ms宇宙中兩顆靠得較近的天體是以?xún)烧哌B線上的某點(diǎn)為圓心做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因而不至于因引力作用而吸引到一起，人們稱(chēng)之為“雙星系統(tǒng)”。如圖所示，若忽略其他星體的影響，天體A、B可看做“雙星系統(tǒng)”。已知天體A、B的質(zhì)量分別為m1、m2，它們繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的周期均為T(mén)，引力常量為(1)天體A、B的線速度之比；(2)天體A、B之間的距離。

如圖所示，質(zhì)量分別為m和M的兩個(gè)星球A和B在引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，星球A和B兩者中心之間距離為L(zhǎng)。已知A、B的中心和O三點(diǎn)始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)，引力常量為G。求：

(1)A星球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R和B星球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r；(2)兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期。

雙星系統(tǒng)的兩個(gè)星球A、B相距為L(zhǎng)，質(zhì)量都是m，它們正圍繞兩者連線上某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(1)求星球A、B組成的雙星系統(tǒng)周期理論值T0(2)實(shí)際觀測(cè)該系統(tǒng)的周期T要小于按照力學(xué)理論計(jì)算出的周期理論值T0，且TT0=k(k<1)，于是有人猜測(cè)這可能是受到了一顆未發(fā)現(xiàn)的星球C的影響，并認(rèn)為C位于雙星A.B的連線正中間，星球A、B圍繞C做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試求星球C的質(zhì)量(結(jié)果用k和m表達(dá))。

兩個(gè)星球組成雙星，它們?cè)谙嗷ブg的萬(wàn)有引力作用下，繞連線上某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng).現(xiàn)測(cè)得兩星中心距離為R，其運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)，求兩星的總質(zhì)量.(引力常量為G)

我們的銀河系的恒星中大約四分之一是雙星。某雙星由質(zhì)量m1的星體S1和質(zhì)量m2的S2星體構(gòu)成，兩星在相互之間的萬(wàn)有引力作用下繞兩者連線上某一定點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。S1到O(1)S2星體到O(2)雙星S1和S2的運(yùn)行周期。

雙星系統(tǒng)一般都遠(yuǎn)離其他天體，由兩顆距離較近的星體組成，在它們之間萬(wàn)有引力的相互作用下，繞中心連線上的某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如地月系統(tǒng)，忽略其他星體的影響和月球的自轉(zhuǎn)，把月球繞地球的轉(zhuǎn)動(dòng)近似看做雙星系統(tǒng)。已知月球和地球之間的距離為r，運(yùn)行周期為T(mén)，引力常量為G，求地球和月球的質(zhì)量之和。

宇宙中兩顆相距較近的天體稱(chēng)為“雙星”，它們以?xún)烧哌B線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，而不至于因萬(wàn)有引力的作用吸引到一起．設(shè)二者的質(zhì)量分別為m1和m2，二者相距L.(1)雙星的軌道半徑之比；(2)雙星的線速度之比；(3)雙星的運(yùn)動(dòng)周期．

(1)科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，除了類(lèi)似太陽(yáng)系的恒星?行星系統(tǒng)，還存在許多雙星系統(tǒng)，通過(guò)對(duì)它們的研究，使我們對(duì)宇宙有了較深刻的認(rèn)識(shí)。已知某雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量都是M0，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，引力常量為G.a.該雙星系統(tǒng)中星體的加速度大小a；b.該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T。(2)其實(shí)，太陽(yáng)?地球也可視為一個(gè)雙星系統(tǒng)，因?yàn)樘?yáng)的質(zhì)量遠(yuǎn)大于地球，我們常常忽略太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)，認(rèn)為地球繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)，記為模型I.另一種模型則認(rèn)為太陽(yáng)和地球在引力作用下同時(shí)繞彼此連線上某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，記為模型II.己知地球質(zhì)量為m，太陽(yáng)質(zhì)量為M，二者相距為r，引力常量為G。模型I、II中地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期分別用TI、TII表示，通常情況下我們采用模型I的方案研究地球的運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)從周期的關(guān)系角度分析這樣簡(jiǎn)化處理的合理性。

雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)實(shí)際上會(huì)受其他星體的影響而存在誤差。假設(shè)質(zhì)量均為m的星體甲和乙構(gòu)成理論上的雙星系統(tǒng)，已知兩星體之間的距離為L(zhǎng)，引力常量為G。根據(jù)所學(xué)的知識(shí)計(jì)算得出雙星系統(tǒng)的理論運(yùn)行周期為T(mén)(T為未知量)，通過(guò)測(cè)量可知雙星系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)行周期為，假設(shè)引起該誤差的原因是受到甲、乙兩星體連線中點(diǎn)處星體丙的影響。求：(1)雙星的理論運(yùn)行周期T；(2)星體丙的質(zhì)量M。

宇宙中兩顆靠得比較近的恒星，只受到彼此之間的萬(wàn)有引力作用而相互繞轉(zhuǎn)，稱(chēng)之為雙星系統(tǒng)。如圖所示，某雙星系統(tǒng)A、B繞其連線上的O點(diǎn)分別做勾速圓周運(yùn)動(dòng)，A、B的質(zhì)量分別為m和M，AB兩雙星中心間的距離為L(zhǎng)，引力常量為G，求該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期。

宇宙中兩顆相距很近的恒星常常組成一個(gè)雙星系統(tǒng)．它們以相互間的萬(wàn)有引力彼此提供向心力，從而使它們繞著某一共同的圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若已知它們的運(yùn)轉(zhuǎn)周期為T(mén)，兩星到某一共同圓心的距離分別為R1和R(1)這兩顆恒星的線速度之比v1(2)這兩顆恒星的總質(zhì)量M．

兩天體以一點(diǎn)O為圓心各自做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，兩者的距離保持不變，科學(xué)家把這樣的兩個(gè)天體稱(chēng)為“雙星”，如圖所示。已知萬(wàn)有引力常量G，雙星的質(zhì)量為m1和m2，它們之間的距離為L(zhǎng)。

(1)求雙星運(yùn)行軌道半徑r1和r(2)求運(yùn)行的周期T。

雙星由兩顆繞著共同的重心旋轉(zhuǎn)的恒星組成。對(duì)于其中一顆來(lái)說(shuō)，另一顆就是其“伴星”。相對(duì)于其他恒星來(lái)說(shuō)，位置看起來(lái)非?？拷?。聯(lián)星一詞是由弗里德里?！ず招獱栐?802年所創(chuàng)。根據(jù)他的定義，聯(lián)星系統(tǒng)是由兩個(gè)星體根據(jù)吸引力定律組成的一個(gè)系統(tǒng)。故宇宙中的兩顆相距較近的天體稱(chēng)為“雙星”，它們以?xún)烧哌B線的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，而不至于因萬(wàn)有引力的作用吸引在一起，設(shè)二者的質(zhì)量分別為m1和m2二者相距為L(zhǎng)，求：

(1)雙星的軌道半徑的之比．

(2)雙星的線速度之比．

(3)雙星轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω。

如圖所示，質(zhì)量分別為m和M的兩個(gè)星球A和B在彼此引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，星球A和B兩者中心之間距離為L(zhǎng)，已知A、B的中心和O三點(diǎn)始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)，引力常量為G．

(1)求兩星球A和B做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r1和r(2)求兩星球A和B做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T1和T2．

答案和解析1.【答案】解：(1)設(shè)A、B的圓軌道半徑分別為r1、r2，由題意知，A、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同，其為ω。

由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，

對(duì)A：FA=m1ω2r1

對(duì)B：FB=m2ω2r2

FA=FB

設(shè)A、B之間的距離為r又r=r1+r2，由上述各式得r=m1+m2m2r1①

由萬(wàn)有引力定律，有FA=Gm1m2r2

將①代入得FA=Gm1m23(m1+m2)2r2

令FA=Gm1m′【解析】本題考查雙星問(wèn)題。對(duì)于天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題關(guān)鍵要建立物理模型。雙星問(wèn)題與人造地球衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)模型不同，兩星都繞著它們之間連線上的一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，雙星、圓心始終“三點(diǎn)”一線。雙星系統(tǒng)構(gòu)成的條件是雙星的角速度相同，依靠它們之間的萬(wàn)有引力提供各自的向心力。由于兩星球的加速度不同，必須采用隔離法運(yùn)用牛頓定律分別對(duì)兩星球研究，并通過(guò)數(shù)學(xué)變形求解。

(1)分析向心力的來(lái)源，對(duì)AB分析寫(xiě)出向心力的表達(dá)式與萬(wàn)有引力的表達(dá)式，找出幾何關(guān)系，列方程求出質(zhì)量關(guān)系；

(2)根據(jù)向心力與等效引力的理解列出向心力的表達(dá)式，結(jié)合線速度定義式求出速率與質(zhì)量關(guān)系。

2.【答案】解：(1)設(shè)m1到中心O的距離為x，雙星的周期相同，由萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力，向心力大小相等得：F引=F向

知：Gm1m2L2=m1x4π2T2…①

Gm1m2L2【解析】雙星在相互之間的萬(wàn)有引力作用下，繞連線上的O點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律分別對(duì)兩星進(jìn)行列式，來(lái)求解。

這道題充分體現(xiàn)了利用雙星系統(tǒng)的特點(diǎn)來(lái)解題的思路。

雙星特點(diǎn)：1.繞同一中心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和周期相同。

2.由相互作用力充當(dāng)向心力，向心力相同。

3.【答案】解：(1)如圖，

設(shè)雙星中質(zhì)量為m1的天體軌道半徑為r1，質(zhì)量為m2的天體軌道半徑為r2

據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律，得：Gm1m2r2=m1ω2r1①

Gm1m2r2=m2ω2r2②

r1+r2=r③

由【解析】雙星以?xún)烧哌B線上某點(diǎn)為圓心，各自做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心力由對(duì)方的萬(wàn)有引力提供，而且雙星的條件是角速度相同，根據(jù)牛頓第二定律隔離兩個(gè)天體分別研究，再求解雙星運(yùn)行軌道半徑和周期．

本題是雙星問(wèn)題，與衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)模型不同，兩顆星都繞同一圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵抓住條件：周期相同．

4.【答案】解：(1)根據(jù)萬(wàn)有引力定律可知

兩星之間的萬(wàn)有引力大??；F=G2(2)設(shè)O點(diǎn)距s2星的距離為x，雙星運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)對(duì)于B星：

G2m2L2=2mx(?2πT)?2(3)由G2m2L2=2mx(?2πT)

【解析】這道題充分體現(xiàn)了利用雙星系統(tǒng)的特點(diǎn)來(lái)解題的思路；明確雙星特點(diǎn)：1.繞同一中心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和周期相同。2.由相互作用力充當(dāng)向心力，向心力大小相同。

雙星在相互之間的萬(wàn)有引力作用下，繞連線上的O點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力分別對(duì)兩星進(jìn)行列式來(lái)求解即可。

5.【答案】解：(1)分析星球A、B，有：

Gm2L2=mω02rA

Gm2L2=mω02rB

rA+rB=L

聯(lián)立得：rA=rB=0.5L

ω0=2GmL3【解析】(1)雙星繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，由相互之間萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解運(yùn)動(dòng)角速度。

(2)假定在以這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著暗物質(zhì)，由暗物質(zhì)對(duì)雙星的作用與雙星之間的萬(wàn)有引力的合力提供雙星的向心力，結(jié)合角速度聯(lián)立求得星球C的質(zhì)量即可。

本題是雙星問(wèn)題，要抓住雙星系統(tǒng)的條件：角速度與周期相同，再由萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力進(jìn)行列式計(jì)算即可。

6.【答案】解：(1)根據(jù)萬(wàn)有引力定律可知

兩星之間的萬(wàn)有引力大?。籉=G2(2)設(shè)O點(diǎn)距s2星的距離為x，雙星運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)對(duì)于B星：

G2m2L2=2mx(?2πT)?2(3)由G2m2L2=2mx(?2πT)

【解析】本題考查了雙星系統(tǒng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力分別對(duì)兩星進(jìn)行列式來(lái)求解。

這道題充分體現(xiàn)了利用雙星系統(tǒng)的特點(diǎn)來(lái)解題的思路；明確雙星特點(diǎn)：

1.繞同一中心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和周期相同。

2.由相互作用力充當(dāng)向心力，向心力大小相同。

雙星在相互之間的萬(wàn)有引力作用下，繞連線上的O點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力分別對(duì)兩星進(jìn)行列式來(lái)求解即可。

7.【答案】【解答】(1)由萬(wàn)有引力提供向心力可得GMml2=m4π2T2r1GMml2=m4π2T2r2并且

【解析】【分析】

因?yàn)殡p星受到同樣大小的萬(wàn)有引力作用，且保持距離不變，繞同一圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，所以具有周期、頻率和角速度均相同，而軌道半徑、線速度不同的特點(diǎn)．

8.【答案】解：如圖所示：

設(shè)雙星中質(zhì)量為m1的天體軌道半徑為r1，質(zhì)量為m2的天體軌道半徑為r2

據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律，得：Gm由①②③聯(lián)立解得：r1=m2Lm1+m2，r2=m1L

【解析】本題是雙星問(wèn)題，與衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)模型不同，兩顆星都繞同一圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵抓住條件：周期相同。

雙星以?xún)烧哌B線上某點(diǎn)為圓心，各自做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心力由對(duì)方的萬(wàn)有引力提供，而且雙星的條件是角速度相同，根據(jù)牛頓第二定律隔離兩個(gè)天體分別研究，再求解雙星運(yùn)行軌道半徑和周期。

9.【答案】解：(1)雙星均繞它們的連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)速率為v，向心加速度滿(mǎn)足下面的方程：

Mv2L2=GM2L2

(1)

解得：

v=GM2L

(2)

周期：

T計(jì)算=2π(L2)v=πL2LGM

(3)

(2)根據(jù)觀測(cè)結(jié)果，星體的運(yùn)動(dòng)周期

T觀察=1NT計(jì)算<T計(jì)算

(4)

這說(shuō)明雙星系統(tǒng)中受到的向心力大于本身的引力，故它一定還受到其他指向中心的作用力，按題意這一作用來(lái)源于均勻分布的暗物質(zhì)，均勻分布在球體內(nèi)的暗物質(zhì)對(duì)雙星系統(tǒng)的作用與一質(zhì)量等于球內(nèi)暗物質(zhì)的總質(zhì)量位于中點(diǎn)處的質(zhì)量點(diǎn)相同．考慮暗物質(zhì)作用后雙星的速度即為觀察到的速度v觀，則有

(5)

(6)

因?yàn)樵谲壍酪欢〞r(shí)，周期和速度成反比，由(4)式得

1v【解析】該題主要考查雙星系統(tǒng)問(wèn)題相關(guān)知識(shí)。分析好物理情景，熟知雙星系統(tǒng)運(yùn)行原理是解決本題的關(guān)鍵。

(1)雙星均繞它們的連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，由此根據(jù)萬(wàn)有引力定律、牛頓第二定律等列式可求運(yùn)動(dòng)周期；

(2)根據(jù)萬(wàn)有引力定律和密度公式，分析好物理情景，即可求解該星系間暗物質(zhì)的密度。

10.【答案】解：設(shè)行星轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，周期為T(mén)。(1)如圖，對(duì)星球，由向心力公式可得：G同理對(duì)星，有：GM兩式相除得：R2R1=又因?yàn)長(zhǎng)=所以得：R1=(2)由上式得到ω=因?yàn)門(mén)=2π所以：T=2πL

【解析】解決本題的關(guān)鍵掌握雙星模型系統(tǒng)，知道它們靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等。雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出軌道半徑之比，進(jìn)一步計(jì)算軌道半徑大??；據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力計(jì)算出周期。

11.【答案】解：(1)模型Ⅰ中，設(shè)電子和原子核的速度分別為v對(duì)于電子繞核的運(yùn)動(dòng)，根據(jù)庫(kù)侖定律和牛頓第二定律有：

ke2r2=mv2r

解得：EkI=12mv2=ke22r

模型Ⅱ中，設(shè)電子和原子核的速度分別為v1、v2，電子的運(yùn)動(dòng)半徑為r1，原子核的運(yùn)動(dòng)半徑為r2.根據(jù)庫(kù)侖定律和牛頓第二定律

對(duì)電子有：ke2r2=mv12r1，

解得：Ek1=12mv12=ke22r2r1

對(duì)于原子核有：ke2r2=Mv22r2，

解得：Ek2=12Mv22=ke22r2r2

系統(tǒng)的總動(dòng)能：EkⅡ【解析】(1)根據(jù)庫(kù)侖定律與牛頓第二定律，結(jié)合動(dòng)能表達(dá)式，即可求解；

(2)根據(jù)庫(kù)侖定律和牛頓第二定律，及向心力表達(dá)式，即可求解；

(3)依據(jù)兩個(gè)周期之比，結(jié)合兩質(zhì)量大小關(guān)系，即可求解．

考查庫(kù)侖定律和牛頓第二定律的應(yīng)用，掌握向心力與動(dòng)能表達(dá)式，理解庫(kù)侖引力提供向心力的內(nèi)容，注意符號(hào)運(yùn)算是解題的難點(diǎn)．

12.【答案】

解：(1、2)設(shè)m1到中心O的距離為r1，m2到中心O的距離為r2，則由萬(wàn)有引力提供向心力有

Gm1m2L2=m1ω2r1

①

Gm【解析】?jī)深w恒星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，相互之間的萬(wàn)有引力提供各自的向心力，而且兩顆恒星有相同的角速度和周期。根據(jù)牛頓第二定律分別對(duì)兩星進(jìn)行列式來(lái)求解。

本題是雙星問(wèn)題，關(guān)鍵抓住兩點(diǎn)：一是雙星由相互間的萬(wàn)有引力提供向心力；雙星的條件是：角速度或周期相等。

13.【答案】解：(1)設(shè)A、B的圓軌道半徑分別為r1、r2，由題意知，A、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速相同，其為ω。

由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有

對(duì)A：FA=m1ω2r1

對(duì)B：FB=m2ω2r2

FA=FB

設(shè)A、B之間的距離為r，又r=r1+r2，

由上述各式得r=m1+m2m2r1

①

由萬(wàn)有引力定律，有

FA=Gm1m2r2

將①代入得FA=Gm1m23(m1+m2)2r2

，令

比較可得

②

(2)由牛頓第二定律，有

③

又可見(jiàn)星A【解析】本題考查利用萬(wàn)有引力定律分析天體的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題及雙星問(wèn)題。

(1)AB構(gòu)成雙星系統(tǒng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，聯(lián)立解得等效質(zhì)量。

(2)依據(jù)，及線速度公式，求解關(guān)系式；

(3)依據(jù)暗星B的質(zhì)量m2與可見(jiàn)星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m1之間的關(guān)系式判斷B是否為黑洞。

14.【答案】解：(1)設(shè)天體A、B之間的距離為L(zhǎng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供天體運(yùn)動(dòng)的向心力有Gm1m2L2=m1v1ω

Gm1m2L2=m2v2ω

聯(lián)立解得天體A、B的線速度之比v1v【解析】解決本題的關(guān)鍵掌握雙星模型系統(tǒng)，知道它們靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等。

雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出軌道半徑之比；結(jié)合線速度與角速度的關(guān)系求出線速度之比。

根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力和A、B之間的距離為兩星運(yùn)動(dòng)半徑之和求出距離。

15.【答案】解：(1)A和B繞O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的萬(wàn)有引力提供向心力，則A和B的向心力相等。且A和B和O始終共線，說(shuō)明A和B有相同的角速度和周期。

則有：mω2r1=Mω2r2

又由已知：r1+r2=L

解得：r2=mm+ML

r1=Mm+ML；

(2)對(duì)A根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得：GMmL2=m(【解析】該題屬于雙星問(wèn)題，它們之間的萬(wàn)有引力提供向心力，它們兩顆星的軌道半徑的和等于它們之間的距離，兩星向心力相同角速度相同為前提，代入公式即可解答。

該題屬于雙星問(wèn)題，要注意的是它們兩顆星的軌道半徑的和等于它們之間的距離，不能把它們的距離當(dāng)成軌道半徑。

16.【答案】解：(1)兩個(gè)星球A、B組成的雙星系統(tǒng)周期相同，設(shè)兩個(gè)軌道半徑分別為r1，r2，兩星之間萬(wàn)有引力是兩星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力

對(duì)星球A：Gm2L2=m4π2T02r1

對(duì)星球B：Gm2L2=m4π2T02r2【解析】本題是雙星問(wèn)題，要抓住雙星系統(tǒng)的條件：角速度與周期相同，再由萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力進(jìn)行列式計(jì)算即可。

(1)雙星繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，由相互之間萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解運(yùn)動(dòng)周期；

(2)假定在以這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著暗物質(zhì)，由暗物質(zhì)對(duì)雙星的作用與雙星之間的萬(wàn)有引力的合力提供雙星的向心力，由此可以得到雙星運(yùn)行的角速度，進(jìn)而得到周期T，由周期關(guān)系求得星球C的質(zhì)量即可。

17.【答案】解：

設(shè)兩星質(zhì)量分別為M1和M2，都繞連線上O點(diǎn)作周期為T(mén)的圓周運(yùn)動(dòng)，星球1和星球2到O的距離分別為l1和l2．

由萬(wàn)有引力提供向心力：

對(duì)

M1：GM1M2R2=M1(2πT)2【解析】雙星系統(tǒng)中，兩顆星球繞同一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且兩者始終與圓心共線，相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)相同的角度，即角速度相等，則周期也相等．但兩者做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不相等。

從動(dòng)力學(xué)方程的三種表述中，可得到相應(yīng)的天體質(zhì)量的三種表達(dá)形式：

a.M=v2rG．

b.M=ω2r3G．

c.M=4π2r3GT2．

上述三種表達(dá)式分別對(duì)應(yīng)在已知環(huán)繞天體的線速度v，角速度ω，周期T時(shí)求解中心天體質(zhì)量的方法。上各式中M表示中心天體質(zhì)量，m表示環(huán)繞天體質(zhì)量，r表示兩天體間距離，G表示萬(wàn)有引力常量．利用以上方法只能求出中心天體的質(zhì)量，而不能求出環(huán)繞天體的質(zhì)量，因?yàn)榄h(huán)繞天體的質(zhì)量同時(shí)出現(xiàn)在方程的兩邊，已被約掉。

處理雙星問(wèn)題必須注意兩點(diǎn)：(1)、兩顆星球運(yùn)行的角速度、周期相等；(2)、軌道半徑不等于引力距離(這一點(diǎn)務(wù)必理解)。弄清每個(gè)表達(dá)式中各字母的含義，在示意圖中相應(yīng)位置標(biāo)出相關(guān)量，可以最大限度減少錯(cuò)誤。

18.【答案】解：(1)雙星的向心力由它們之間的萬(wàn)有引力提供，周期相等，有：m1r14π2T2=m2r24π2T2，

可知質(zhì)量之比跟各自的軌道半徑成反比，所以有：r2=m【解析】雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，周期相等。根據(jù)GMmr2=m1r1ω2=m2r2ω2，求出質(zhì)量之比跟各自的軌道半徑成反比，根據(jù)周期公式求解周期即可。

解決本題的關(guān)鍵知道雙星系統(tǒng)的特點(diǎn)，結(jié)合萬(wàn)有引力提供向心力進(jìn)行求解。

19.【答案】解：設(shè)地球質(zhì)量為M，月球質(zhì)量為m【解析】本題考查萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用，關(guān)鍵是理解雙星系統(tǒng)相互環(huán)繞的原理，明確雙星具有相同的角速度，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求解。

雙星系統(tǒng)靠它們之間的萬(wàn)有引力提供相互環(huán)繞所需的向心力，它們具有相同的角速度(周期)。根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列式求出地球和月球的質(zhì)量之和。

20.【答案】解：(1)設(shè)m1和m2的軌道半徑分別為r1、r2

G得：r(2)設(shè)m1和m2的線速度分別為vv=ωr有：v(3)由Gm1mG聯(lián)立解得：ω=Gm1

【解析】雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出軌道半徑之比；結(jié)合線速度與角速度的關(guān)系求出線速度之比；根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出角速度的大小，進(jìn)而求解周期。

解決本題的關(guān)鍵掌握雙星模型系統(tǒng)，知道它們靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等。

21.【答案】解：(1)a.根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律有：GM02L2=M0a

解得a=GM0L2

b.由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可知，a=4π2T2?L2

解得T=2πL32GM0

(2)a.模型I中，有GMmr2=mv2r，解得：EkI=12GMmr

模型II中，設(shè)太陽(yáng)和地球的速度分別為v1、v2，運(yùn)動(dòng)半徑為r1，r2。

對(duì)太陽(yáng)有：GMmr2=Mv12r1，解得EkT=12GMmr2r1

對(duì)地球有：【解析】對(duì)于雙星問(wèn)題和暗物質(zhì)問(wèn)題，關(guān)鍵都要建立模型，確定向心力的來(lái)源。若雙星圓周運(yùn)動(dòng)的圓心不在連線的中點(diǎn)，要采用隔離法研究。

(1)①根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律求該雙星系統(tǒng)中星體的加速度大小；

②根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期；

(2)①根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力和動(dòng)能公式分別求出兩種模型系統(tǒng)的總動(dòng)能；

②根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出兩種模型系統(tǒng)的周期，再由數(shù)學(xué)知識(shí)得出周期之間的關(guān)系，從而得出結(jié)論。

22.【答案】解：(1)雙星均繞它們連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的速率為v，得mv2L2=Gm2L2，

解得：v=Gm2L，

則周期為：

(2)根據(jù)觀測(cè)結(jié)果，星體的運(yùn)動(dòng)周期：，

引起該誤差的原因是受到甲、乙兩星體連線中點(diǎn)處星體丙的影響，設(shè)該星球的質(zhì)量為M，位于中點(diǎn)O處的質(zhì)點(diǎn)的作用相同，考慮M作用后雙星的速度即為觀察到