概率4-1 第一節(jié) 數(shù)學期望 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》 教學課件

第一節(jié)數(shù)學期望離散型隨機變量的數(shù)學期望連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望數(shù)學期望的性質課堂練習小結布置作業(yè)

在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，如果知道了隨機變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確定的.而在一些實際應用中，人們并不需要知道隨機變量的一切概率性質，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.

因此，在對隨機變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的.在這些數(shù)字特征中，最常用的是數(shù)學期望、方差、協(xié)方差和相關系數(shù)一、離散型隨機變量的數(shù)學期望1、概念的引入：我們來看一個引例.例1某車間對工人的生產情況進行考察.車工小張每天生產的廢品數(shù)X是一個隨機變量.如何定義X的平均值呢？我們先觀察小張100天的生產情況假設統(tǒng)計100天,32天沒有出廢品;30天每天出一件廢品;17天每天出兩件廢品;21天每天出三件廢品;可以得到這100天中每天的平均廢品數(shù)為這個數(shù)能否作為X的平均值呢？〔假定小張每天至多出現(xiàn)三件廢品〕可以想象，假設另外統(tǒng)計100天，車工小張不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的100天一般不會完全相同，這另外100天每天的平均廢品數(shù)也不一定是1.27.n0天沒有出廢品;n1天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品.可以得到n天中每天的平均廢品數(shù)為(假定小張每天至多出三件廢品)一般來說,假設統(tǒng)計n天,這是以頻率為權的加權平均

當N很大時，頻率接近于概率，所以我們在求廢品數(shù)X的平均值時，用概率代替頻率，得平均值為這是以概率為權的加權平均這樣得到一個確定的數(shù).我們就用這個數(shù)作為隨機變量X的平均值.定義1設X是離散型隨機變量，它的分布率是:P{X=xk}=pk,k=1,2,…請注意:離散型隨機變量的數(shù)學期望是一個絕對收斂的級數(shù)的和.數(shù)學期望簡稱期望，又稱為均值。假設級數(shù)絕對收斂，那么稱級數(shù)即的和為隨機變量X的數(shù)學期望，記為,例101200.20.80120.60.30.1例2到站時刻

8:108:308:509:109:309:50

概率

1/63/62/6一旅客8:20到車站,求他候車時間的數(shù)學期望.

例3按規(guī)定,某車站每天8:00~9:00,9:00~10:00都恰有一輛客車到站,但到站時刻是隨機的,且兩者到站的時間相互獨立。其規(guī)律為：

X1030507090

二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望設X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為f(x),在數(shù)軸上取很密的分點x0<x1<x2<…,那么X落在小區(qū)間[xi,xi+1)的概率是小區(qū)間[xi,xi+1)陰影面積近似為

由于xi與xi+1很接近,所以區(qū)間[xi,xi+1)中的值可以用xi來近似代替.這正是的漸近和式.近似,因此X與以概率取值xi的離散型r.v

該離散型的數(shù)學期望是小區(qū)間[xi,xi+1)陰影面積近似為由此啟發(fā)我們引進如下定義.定義2設X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為f(x),如果積分絕對收斂,那么稱此積分值為X的數(shù)學期望,即請注意:連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望是一個絕對收斂的積分.例4

例5假設將這兩個電子裝置串聯(lián)連接組成整機,求整機壽命(以小時計)N的數(shù)學期望.的分布函數(shù)為三、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望1.問題的提出：設隨機變量X的分布，我們需要計算的不是X的期望，而是X的某個函數(shù)的期望，比方說g(X)的期望.那么應該如何計算呢？一種方法是，因為g(X)也是隨機變量，故應有概率分布，它的分布可以由的X的分布求出來.一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把E[g(X)]計算出來.那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得E[g(X)]呢？下面的定理指出，答案是肯定的.使用這種方法必須先求出隨機變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復雜的.(1)當X為離散型時,它的分布率為P(X=xk)=pk;(2)當X為連續(xù)型時,它的密度函數(shù)為f(x).假設定理設Y是隨機變量X的函數(shù):Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù))該公式的重要性在于:當我們求E[g(X)]時,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.這給求隨機變量函數(shù)的期望帶來很大方便.上述定理還可以推廣到兩個或兩個以上隨機變量的函數(shù)的情況。例6例7例7例5設X~N(0,1),Y~N(0,1),X,Y相互獨立，求E(max(X,Y)).解D1D2例5解(1)設整機壽命為N,五個獨立元件,壽命分別為都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，假設將它們(1)串聯(lián)；(2)并聯(lián)成整機，求整機壽命的均值.〔P.142例6〕例4例4即N~E(5),(2)設整機壽命為可見,并聯(lián)組成整機的平均壽命比串聯(lián)組成整機的平均壽命長11倍之多.四、數(shù)學期望的性質1.設C是常數(shù)，那么E(C)=C;4.設X、Y相互獨立，那么E(XY)=E(X)E(Y);2.假設k是常數(shù)，那么E(kX)=kE(X);

3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);〔諸Xi相互獨立時〕請注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨立五、數(shù)學期望性質的應用例8求二項分布的數(shù)學期望假設X~B(n,p)，那么X表示n重貝努里試驗中的“成功〞次數(shù).現(xiàn)在我們來求X的數(shù)學期望.

可見，服從參數(shù)為n和p的二項分布的隨機變量X的數(shù)學期望是np.

X~B(n,p),假設設那么X=X1+X2+…+Xn=npi=1,2，…，n因為P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p所以E(X)=那么X表示n重貝努里試驗中的“成功〞次數(shù).E(Xi)==p例9把數(shù)字1,2,…,n任意地排成一列，如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個位置上，那么稱為一個巧合，求巧合個數(shù)的數(shù)學期望.由于E(Xk)=P(Xk=1)解:設巧合個數(shù)為X,

k=1,2,…,n則故引入例10一民航送客車載有20位旅客自機場開出,旅客有10個車站可以下車,如到達一個車站沒有旅客下車就不停車.以X表示停車的次數(shù)，求E(X).(設每位旅客在各個車站下車是等可能的,并設各旅客是否下車相互獨立)按題意此題是將X分解成數(shù)個隨機變量之和,然后利用隨機變量和的數(shù)學期望等于隨機變量數(shù)學期望的和來求數(shù)學期望的,此方法具有一定的意義.六、課堂練習1某人的一串鑰匙上有n把鑰匙,其中只有一把能打開自己的家門,他隨意地試用這串鑰匙中的某一把去開門,若每把鑰匙試開一次后除去,求打開門時試開次數(shù)的數(shù)學期望.2設隨機變量X的概率密度為1解

設試開次數(shù)為X,于是

E(X)2解Y是隨機變量X的函數(shù),P(X=k)=1/n,k=1,2,…,n數(shù)學期望的應用應用據(jù)統(tǒng)計65歲的人在10年內正常死亡解應用1公司開辦老人事故死亡保險,參加者需交納保險費100元.假設10年內因事故死亡公司賠償

a元,應如何定a,才能使公司可期望獲益;假設有1000人投保,公司期望總獲益多少?設Xi

表示公司從第i個投保者身上所得的收益,i=1~1000.那么Xi~0.980.02100100應用1由題設公司每筆賠償小于5000元,能使公司獲益.公司期望總收益為假設公司每筆賠償3000元,能使公司期望總獲益40000元.為普查某種疾病,n個人需驗血.驗血方案有如下兩種：分別化驗每個人的血,共需化驗n次；分組化驗,k個人的血混在一起化驗,假設結果為陰性,那么只需化驗一次;假設為陽性,那么對k個人的血逐個化驗,找出有病者,此時k個人的血需化驗k+1次.設每人血液化驗呈陽性的概率為p,且一方案較經濟.驗血方案的選擇應用2應用2解只須計算方案(2)所需化驗次數(shù)的期望.為簡單計,不妨設n是k的倍數(shù)，共分成n/k組.設第i組需化驗的次數(shù)為Xi,那么Xi

P1k+1

若則E(X)<n例如,當

時,選擇方案(2)較經濟.市場上對某種產品每年需求量為X噸，X~U[2000,4000],每出售一噸可賺3萬元,售不出去，那么每噸需倉庫保管費1萬元，問應該生產這中商品多少噸,才能使平均利潤最大？解設每年生產y噸的利潤為Y顯然，2000<y<4000應用3應用3顯然，故y=3500時,E(Y)最大,E(Y)=8250萬元例:設某企業(yè)生產線上合格品率為0.96,不合格品中只有3/4的產品可以再加工,且再加工的合格率為0.8,其余為廢品.每件合格品可獲利80元,每件廢品虧損20元,為保證企業(yè)每天平均利潤不低于2萬元,問企業(yè)每天至少應生產多少件產品?解:那么每件產品的平均利潤為設由自動線加工的某種零件的內徑X(mm)~N(,1).銷售每個零件的利潤T(元)與銷售零件的內徑X有如下的關系：問平均直徑

為何值時,銷售一個零件的平均利潤最大？(習題四15題)應用4應用4解即可以驗證，零件的平均利潤最大.故時,銷售一個例:倒扣多少分?經常,有些考生做選擇題時,亂選一通,為了懲罰這些考生,唯一的方法,就是對每一個錯誤答案倒扣假設干分.假設每條選擇題有五個答案，只有一個是正確的。在某次考試中，李老師共出20題，每題5分，總分值是100分。他決定每一個錯誤答案倒扣假設干分，但應倒扣多少分才合理呢？倒扣太多對學生不公平，但倒扣太少又起步了杜絕亂選的作用。倒扣的分數(shù)，應該恰到好處，使亂選一通的學生一無所獲。換句話說，如果學生完全靠運氣的話，他的總分的數(shù)學期望應該是0。假定對一個錯誤答案倒扣x分，而正確答案得5分。隨意選一個答案，選到錯誤答案的概率是4/5，選到正確