2023高考數(shù)學(xué)異構(gòu)異模復(fù)習(xí)第十二章概率與統(tǒng)計課時撬分練12.1概率理

PAGEPAGE72022高考數(shù)學(xué)異構(gòu)異模復(fù)習(xí)考案第十二章概率與統(tǒng)計課時撬分練12.1概率理時間：50分鐘根底組1.[2022·棗強中學(xué)預(yù)測]4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4，從這4張卡片中隨機抽取2張，那么取出的2張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)答案B解析因為從4張卡片中任取出2張共有6種情況，其中2張卡片上數(shù)字之和為偶數(shù)的共有2種情況，所以2張數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為eq\f(1,3).2．[2022·冀州中學(xué)一輪檢測]將一顆骰子拋擲兩次，所得向上點數(shù)分別為m，n，那么函數(shù)y＝eq\f(2,3)mx3－nx＋1在[1，＋∞)上為增函數(shù)的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(5,6)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)答案B解析∵y＝eq\f(2,3)mx3－nx＋1，∴y′＝2mx2－n.令y′＝0得x＝±eq\r(\f(n,2m))，∴x1＝eq\r(\f(n,2m))，x2＝－eq\r(\f(n,2m))是函數(shù)的兩個極值點，∴函數(shù)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(n,2m))，＋∞))上是增函數(shù)，那么eq\r(\f(n,2m))≤1，即n≤2m通過建立關(guān)于m，n的坐標系可得出滿足n≤2m由古典概型公式可得函數(shù)y＝eq\f(2,3)mx3－nx＋1在[1，＋∞)上為增函數(shù)的概率是P＝eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).應(yīng)選B.3.[2022·武邑中學(xué)一輪檢測]設(shè)A為圓周上一點，在圓周上等可能地任取一點與A連接，那么弦長超過半徑eq\r(2)倍的概率是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(3,5)答案B解析作等腰直角三角形AOC和AMC，B為圓上任一點，那么當(dāng)點B在eq\o\ac(MmC,\s\up17(︵))上運動時，弦長|AB|>eq\r(2)R，∴P＝eq\f(eq\o\ac(MmC,\s\up17(︵)),圓的周長)＝eq\f(1,2).應(yīng)選B.4．[2022·武邑中學(xué)月考]ABCD為長方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點．在長方形ABCD內(nèi)隨機取一點，取到的點到O的距離大于1的概率為()A.eq\f(π,4) B．1－eq\f(π,4)C.eq\f(π,8) D．1－eq\f(π,8)答案B解析如圖，根據(jù)幾何概型概率公式得所求概率為P＝eq\f(陰影局部面積,S長方形ABCD)＝eq\f(2－\f(1,2)π·12,2)＝1－eq\f(π,4).應(yīng)選B.5．[2022·衡水中學(xué)熱身]如下圖方格，在每一個方格中填入一個數(shù)字，數(shù)字可以是1,2,3,4中的任何一個，允許重復(fù)．那么填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字的概率為()ABA.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,4) D.eq\f(3,8)答案D解析只考慮A，B兩個方格的排法．不考慮大小，A，B兩個方格有4×4＝16(種)排法．要使填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字，那么從1,2,3,4中選2個數(shù)字，大的放入A格，小的放入B格，有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)，共6種，故填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字的概率為eq\f(6,16)＝eq\f(3,8)，選D.6．[2022·冀州中學(xué)期末]設(shè)p在[0,5]上隨機地取值，那么方程x2＋px＋eq\f(p,4)＋eq\f(1,2)＝0有實數(shù)根的概率為________．答案eq\f(3,5)解析一元二次方程有實數(shù)根即Δ＝p2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,4)＋\f(1,2)))＝(p＋1)(p－2)≥0，解得p≤－1或p≥2，故所求概率為eq\f(5－2,5)＝eq\f(3,5).7．[2022·衡水中學(xué)預(yù)測]從分別寫有0,1,2,3,4的五張卡片中取出一張卡片，記下數(shù)字后放回，再從中取出一張卡片．那么兩次取出的卡片上的數(shù)字之和恰好等于4的概率是________．答案eq\f(1,5)解析從0,1,2,3,4五張卡片中取出兩張卡片的結(jié)果有25種，數(shù)字之和恰好等于4的結(jié)果有(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，所以數(shù)字和恰好等于4的概率是P＝eq\f(1,5).8．[2022·棗強中學(xué)熱身]現(xiàn)從甲、乙、丙3人中隨機選派2人參加某項活動，那么甲被選中的概率為________．答案eq\f(2,3)解析從甲、乙、丙3人中隨機選派2人，共有甲乙、甲丙、乙丙三種選法，其中甲被選中有甲乙、甲丙兩種選法，所以甲被選中的概率為eq\f(2,3).9．[2022·衡水中學(xué)猜題]某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C.求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎券的中獎概率；(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．解(1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).(2)因為事件A，B，C兩兩互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,1000)＋eq\f(1,100)＋eq\f(1,20)＝eq\f(61,1000).故1張獎券的中獎概率為eq\f(61,1000).(3)P(eq\x\to(A∪B))＝1－P(A＋B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為eq\f(989,1000).10．[2022·衡水中學(xué)一輪檢測]某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示．一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時間(分鐘/人)11.522.53這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值；(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率．(將頻率視為概率)解(1)由得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本，顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計，其估計值為eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分鐘)．(2)記A表示事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘〞，A1，A2，A3分別表示事件“該顧客一次購物的結(jié)算時間為1分鐘〞“該顧客一次購物的結(jié)算時間為1.5分鐘〞“該顧客一次購物的結(jié)算時間為2分鐘〞．將頻率視為概率得P(A1)＝eq\f(15,100)＝eq\f(3,20)，P(A2)＝eq\f(30,100)＝eq\f(3,10)，P(A3)＝eq\f(25,100)＝eq\f(1,4).因為A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(3,20)＋eq\f(3,10)＋eq\f(1,4)＝eq\f(7,10).故一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率為eq\f(7,10).11．[2022·冀州中學(xué)模擬]某學(xué)校為了增強學(xué)生對數(shù)學(xué)史的了解，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，舉行了一次數(shù)學(xué)史知識競賽，其中一道題是連線題，要求將4名數(shù)學(xué)家與他們所著的4本著作一對一連線，規(guī)定：每連對一條得5分，連錯一條得－2分．某參賽者隨機用4條線把數(shù)學(xué)家與著作一對一全部連接起來．(1)求該參賽者恰好連對一條的概率；(2)求該參賽者得分不低于6分的概率．解4名數(shù)學(xué)家和他們所著的4本書一對一連線，所有的連線情況有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝24(種)，其中恰好連對1條的情況有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2)＝8(種)，恰好連對2條的情況有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)．全部連對的情況有1種．(1)恰好連對1條的概率為eq\f(8,24)＝eq\f(1,3).(2)得分不低于6分，說明參賽者連對2條或全部連對，所以概率為eq\f(6＋1,24)＝eq\f(7,24).12.[2022·衡水二中周測]設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)假設(shè)a是從0,1,2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率；(2)假設(shè)a是從區(qū)間[0,3]任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率．解設(shè)事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實根〞．當(dāng)a≥0，b≥0時，方程x2＋2ax＋b2＝0有實根的充要條件為a≥b.(1)根本領(lǐng)件共有12個：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值．事件A中包含9個根本領(lǐng)件，事件A發(fā)生的概率為P(A)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，構(gòu)成事件A的區(qū)域為{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，如圖．所以所求的概率為P(A)＝eq\f(3×2－\f(1,2)×22,3×2)＝eq\f(2,3).能力組13.[2022·棗強中學(xué)仿真]現(xiàn)有四所大學(xué)進行自主招生，同時向一所高中的已獲省級競賽一等獎的甲、乙、丙、丁四位學(xué)生發(fā)錄取通知書，假設(shè)這四名學(xué)生都愿意進入這四所大學(xué)的任意一所就讀，那么僅有兩名學(xué)生被錄取到同一所大學(xué)的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(9,16)C.eq\f(11,16) D.eq\f(7,24)答案B解析所求概率P＝eq\f(C\o\al(2,4)·A\o\al(3,4),44)＝eq\f(9,16).14．[2022·衡水二中月考]在半徑為1的圓內(nèi)任取一點，以該點為中點作弦，那么所作弦的長度超過eq\r(3)的概率是()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)答案B解析如圖，C是弦AB的中點，在直角三角形AOC中，AC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(3),2)，OA＝1，所以O(shè)C＝eq\f(1,2)，所以符合條件的點必須在半徑為eq\f(1,2)的圓內(nèi)．那么所作弦的長度超過eq\r(3)的概率是P＝eq\f(S小圓,S大圓)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2π,π)＝eq\f(1,4).15．[2022·武邑中學(xué)熱身]某次知識競賽規(guī)那么如下：主辦方預(yù)設(shè)3個問題，選手能正確答復(fù)出這3個問題，即可晉級下一輪．假設(shè)某選手答復(fù)正確的個數(shù)為0,1,2的概率分別是0.1,0.2,0.3.那么該選手晉級下一輪的概率為________．答案0.4解析記“答對0個問題〞為事件A，“答對1個問題〞為事件B，“答對2個問題〞為事件C，這3個事件彼此互斥，“答對3個問題(即晉級下一輪)〞為事件D，那么“不能晉級下一輪〞為事件D的對立事件eq\o(D,\s\up16(－))，顯然P(eq\o(D,\s\up16(－)))＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，故P(D)＝1－P(eq\o(D,\s\up16(－)))＝1－0.6＝0.4.16.[2022·衡水二中期中]向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．(1)假設(shè)x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時第一次、第二次出現(xiàn)的點數(shù)，求滿足a·b＝－1的概率；(2)假設(shè)x，y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值，求滿足a·b<0的概率．解(1)將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的根本領(lǐng)件總數(shù)為