橢圓參數(shù)方程

關(guān)于橢圓參數(shù)方程第1頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四

如下圖，以原點(diǎn)O為圓心，分別以a，b（a＞b＞0）為半徑作兩個同心圓，設(shè)A為大圓上的任意一點(diǎn)，連接OA,與小圓交于點(diǎn)B，過點(diǎn)A作AN⊥ox，垂足為N，過點(diǎn)B作BM⊥AN，垂足為M，求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時點(diǎn)M軌跡的參數(shù)方程.

OAMxyNB分析：設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y)點(diǎn)A

的橫坐標(biāo)與M點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同,點(diǎn)B

的縱坐標(biāo)與M點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同.

而A、B的坐標(biāo)可以通過引進(jìn)參數(shù)建立聯(lián)系.第2頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四OAMxyNB解：設(shè)∠XOA=φ,則A:(acosφ,asinφ),B:(bcosφ,bsinφ),由此:即為點(diǎn)M軌跡的參數(shù)方程.消去參數(shù)得:即為點(diǎn)M軌跡的普通方程.

如下圖，以原點(diǎn)O為圓心，分別以a，b（a＞b＞0）為半徑作兩個同心圓，設(shè)A為大圓上的任意一點(diǎn)，連接OA,與小圓交于點(diǎn)B，過點(diǎn)A作AN⊥ox，垂足為N，過點(diǎn)B作BM⊥AN，垂足為M，求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時點(diǎn)M的軌跡參數(shù)方程.

第3頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四1.參數(shù)方程是橢圓的參數(shù)方程.2.在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)a、b分別是橢圓的長半軸長和短半軸長.a>b

另外

稱為離心角,規(guī)定參數(shù)的取值范圍是第4頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四φOAMxyNB歸納比較橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)φ的幾何意義:xyO圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:圓的參數(shù)方程:

x2+y2=r2θ的幾何意義是∠AOP=θ，是旋轉(zhuǎn)角PAθ橢圓的參數(shù)方程:是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.稱離心角第5頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四【練習(xí)1】把下列普通方程化為參數(shù)方程.

(1)(2)(3)(4)把下列參數(shù)方程化為普通方程第6頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四練習(xí)2：已知橢圓的參數(shù)方程為(是參數(shù))，則此橢圓的長軸長為（），短軸長為（），焦點(diǎn)坐標(biāo)是（），離心率是（）。42(,0)第7頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四例1、如圖，在橢圓x2／9+y2／4=1上求一點(diǎn)M，使M到直線l：x+2y-10=0的距離最小.xyOP分析1平移直線l

至首次與橢圓相切，切點(diǎn)即為所求.第8頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四小結(jié)：借助橢圓的參數(shù)方程，可以將橢圓上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示，利用三角知識加以解決.例1、如圖，在橢圓x2／9+y2／4=1上求一點(diǎn)M，使M到直線l：x+2y-10=0的距離最小.分析2第9頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四例2.已知橢圓,求橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值.解：設(shè)橢圓內(nèi)接矩形的一個頂點(diǎn)坐標(biāo)為所以橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值為2ab.第10頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四例3:已知A,B兩點(diǎn)是橢圓與坐標(biāo)軸正半軸的兩個交點(diǎn),在第一象限的橢圓弧上求一點(diǎn)P,使四邊形OAPB的面積最大.第11頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四練習(xí)1、動點(diǎn)P(x,y)在曲線上變化，求2x+3y的最大值和最小值2、θ取一切實(shí)數(shù)時，連接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,6sinθ)兩點(diǎn)的線段的中點(diǎn)軌跡是

.A.圓B.橢圓C.直線D.線段B設(shè)中點(diǎn)M(x,y)x=2sinθ-2cosθy=3c