2023高考數(shù)學一輪復習第10章概率熱點探究訓練6概率與統(tǒng)計中的高考熱點問題文北師大版

PAGEPAGE1熱點探究訓練(六)概率與統(tǒng)計中的高考熱點問題A組根底達標(建議用時：30分鐘)1．(2022·揭陽模擬)為調(diào)查乘客的候車情況，公交公司在某站臺的60名候車乘客中隨機抽取15人，將他們的候車時間(單位：分鐘)作為樣本分成5組，如表所示：組別候車時間(分鐘)人數(shù)一[0,5)2二[5,10)6三[10,15)4四[15,20)2五[20,25]1(1)估計這60名乘客中候車時間少于10分鐘的人數(shù)；(2)假設(shè)從表中第三、四組的6人中隨機抽取2人作進一步問卷調(diào)查，求抽到的兩人恰好來自不同組的概率．[解](1)由題表可知：這15名乘客中候車時間少于10分鐘的人數(shù)為8.2分所以，這60名乘客中候車時間少于10分鐘的人數(shù)大約為60×eq\f(8,15)＝32(人).5分(2)設(shè)第三組的乘客為a，b，c，d，第四組的乘客為1,2.“抽到的兩個人恰好來自不同的組〞為事件A，所得根本領(lǐng)件共有15種，即ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2,12.10分其中事件A包含根本領(lǐng)件a1，a2，b1，b2，c1，c2，d1，d2，共8種．由古典概型可得P(A)＝eq\f(8,15).12分2．柴靜?穹頂之下?的播出，讓大家對霧霾天氣的危害有了更進一步的認識，對于霧霾天氣的研究也漸漸活潑起來，某研究機構(gòu)對春節(jié)燃放煙花爆竹的天數(shù)x與霧霾天數(shù)y進行統(tǒng)計分析，得出下表數(shù)據(jù)：x4578y2356(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y＝bx＋a；(3)試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預測燃放煙花爆竹的天數(shù)為9的霧霾天數(shù)．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(相關(guān)公式：b＝\f(\o(∑,\s\up12(n),\s\do14(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up12(－))\o(y,\s\up12(－)),\o(∑,\s\up12(n),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up12(－))2)，a＝\o(y,\s\up12(－))－b\o(x,\s\up12(－))))[解](1)散點圖如下圖．4分(2)eq\o(∑,\s\up12(4),\s\do14(i＝1))xiyi＝4×2＋5×3＋7×5＋8×6＝106，eq\o(x,\s\up12(－))＝eq\f(4＋5＋7＋8,4)＝6，eq\o(y,\s\up12(－))＝eq\f(2＋3＋5＋6,4)＝4，eq\o(∑,\s\up12(4),\s\do14(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝42＋52＋72＋82＝154，那么b＝eq\f(\o(∑,\s\up12(4),\s\do14(i＝1))xiyi－4\o(x,\s\up12(－))\o(y,\s\up12(－)),\o(∑,\s\up12(4),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－4\o(x,\s\up12(－))2)＝eq\f(106－4×6×4,154－4×62)＝1，6分a＝eq\o(y,\s\up12(－))－beq\o(x,\s\up12(－))＝4－6＝－2，故線性回歸方程為y＝bx＋a＝x－2.8分(3)由回歸直線方程可以預測，燃放煙花爆竹的天數(shù)為9的霧霾天數(shù)為7.12分3．全網(wǎng)傳播的融合指數(shù)是衡量電視媒體在中國網(wǎng)民中影響力的綜合指標．根據(jù)相關(guān)報道提供的全網(wǎng)傳播2022年某全國性大型活動的“省級衛(wèi)視新聞臺〞融合指數(shù)的數(shù)據(jù)，對名列前20名的“省級衛(wèi)視新聞臺〞的融合指數(shù)進行分組統(tǒng)計，結(jié)果如表所示：組號分組頻數(shù)1[4,5)22[5,6)83[6,7)74[7,8]3(1)現(xiàn)從融合指數(shù)在[4,5)和[7,8]內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺〞中隨機抽取2家進行調(diào)研，求至少有1家的融合指數(shù)在[7,8]內(nèi)的概率；(2)根據(jù)分組統(tǒng)計表求這20家“省級衛(wèi)視新聞臺〞的融合指數(shù)的平均數(shù).【導學號：66482470】[解](1)融合指數(shù)在[7,8]內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺〞記為A1，A2，A3；融合指數(shù)在[4,5)內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺〞記為B1，B2.從融合指數(shù)在[4,5)和[7,8]內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺〞中隨機抽取2家的所有的根本領(lǐng)件是{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10個.3分其中，沒有1家融合指數(shù)在[7,8]內(nèi)的根本領(lǐng)件是{B1，B2}，共1個．所以所求的概率P＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).7分(2)這20家“省級衛(wèi)視新聞臺〞的融合指數(shù)平均數(shù)等于4．5×eq\f(2,20)＋5.5×eq\f(8,20)＋6.5×eq\f(7,20)＋7.5×eq\f(3,20)＝6.05.12分4．(2022·東北師大附中等校聯(lián)考)甲、乙兩位學生參加某項競賽培訓，在培訓期間，他們參加的5項預賽成績的莖葉圖記錄如下：圖3(1)從甲、乙兩人的成績中各隨機抽取一個，求甲的成績比乙的成績高的概率；(2)現(xiàn)要從中選派一人參加該項競賽，從統(tǒng)計學的角度考慮，你認為選派哪位學生參加適宜？并說明理由．[解](1)記甲被抽到的成績?yōu)閤，乙被抽到的成績?yōu)閥，用數(shù)對(x，y)表示根本領(lǐng)件：(82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)，(82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)，(79,95)，(79,75)，(79,80)，(79,90)，(79,85)，(95,95)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)，(87,95)，(87,75)，(87,80)，(87,90)，(87,85)，3分根本領(lǐng)件總數(shù)n＝25，記“甲的成績比乙的成績高〞為事件A，事件A包含的根本領(lǐng)件如下：(82,75)，(82,80)，(82,75)，(82,80)，(79,75)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)，(87,75)，(87,80)，(87,85)，5分事件A包含的根本領(lǐng)件數(shù)m＝12，所以P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(12,25).8分(2)派甲參賽比擬適宜．理由如下：eq\x\to(x)甲＝85，eq\x\to(x)乙＝85，seq\o\al(2,甲)＝31.6，seq\o\al(2,乙)＝50，10分因為eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，所以甲的成績較穩(wěn)定，故派甲參賽比擬適宜.12分5．向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．(1)假設(shè)x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5)先后拋擲兩次時第一次、第二次出現(xiàn)的點數(shù)，求滿足a·b＝－1的概率；(2)假設(shè)x，y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值，求滿足a·b＜0的概率．[解](1)將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次，共有6×6＝36個根本領(lǐng)件．由a·b＝－1，得2x－y＝1.2分∴a·b＝－1包含的根本領(lǐng)件為(1,1)，(2,3)，(3,5)共3種情形，故P(a·b＝－1)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).5分(2)假設(shè)x，y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值，那么全部根本領(lǐng)件的結(jié)果為Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}；滿足a·b＜0的根本領(lǐng)件的結(jié)果為A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y＜0}．畫出圖形如圖，8分正方形的面積為S正方形＝25，陰影局部的面積為S陰影＝25－eq\f(1,2)×2×4＝21，故滿足a·b＜0的概率P＝eq\f(21,25).12分6．(2022·西安模擬)為了解人們對于國家新公布的“生育二胎放開〞政策的熱度，現(xiàn)在某市進行調(diào)查，隨機抽調(diào)了50人，他們年齡的頻數(shù)分布及支持“生育二胎〞人數(shù)如下表：年齡[5,15)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65]頻數(shù)510151055支持“生育二胎〞4512821(1)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表，并問是否有99%的把握認為以45歲為分界點對“生育二胎放開〞政策的支持度有差異；年齡不低于45歲的人數(shù)年齡低于45歲的人數(shù)總計支持a＝________c＝________不支持b＝________d＝________總計(2)假設(shè)對年齡在[5,15)的被調(diào)查人中隨機選取兩人進行調(diào)查，恰好這兩人都支持“生育二胎放開〞的概率是多少？參考數(shù)據(jù)：P(χ2≥x0)0.0500.0100.001x03.8416.63510.828χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).[解](1)由題設(shè)，列2×2的列聯(lián)表如下：年齡不低于45歲的人數(shù)年齡低于45歲的人數(shù)總計支持a＝3c＝2932不支持b＝7d＝1118總計104050χ2＝eq\f(50×3×11－7×292,3＋729＋113＋297＋11)≈6.27＜6.635，所以沒有99%的把握認為以45歲為分界點對“生育二胎放開〞政策的支持度有差異.5分(2)設(shè)年齡在[5,15)中支持“生育二胎〞的4人分別為a，b，c，d，不支持“生育二胎〞的人記為M，那么從年齡在[5,15)的被調(diào)查人中隨機選取兩人所有可能的結(jié)果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，M)，(b，c)