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冪零變換的注記莆田學院復數(shù)域上n維空間：一個線性變換可以看成是一個可逆變換與一個冪零變換的和。Jordan-chevalley(約旦-謝瓦萊定理）比如林老師：《高等代數(shù)》229頁在《高等代數(shù)》與《線性代數(shù)》的很多教材中都有看到關(guān)于冪零變換的相關(guān)試題。比如林老師：《高等代數(shù)》132頁習題6設(shè)f是n維線性空間V上的線性變換，若存在正整數(shù)k,滿足fk=0,fk-1≠0,f稱為k-冪零變換。在《高等代數(shù)》如132頁習題6設(shè)f是m維線性空間V上的線性變換，滿足fm=0,fm-1≠0,則存在V的一個基，使得f在這個基下的矩陣是J(0,m)的秩=m-1

其中

；且n維空間上k-冪零變換：若存在正整數(shù)k,滿足fk=0,fk-1≠0,則存在V的一個基，使得f在這個基下的矩陣是A稱為Jordan規(guī)范型矩陣冪零變換在相似等價的情形下，我們來查看冪零變換類別，拼成的首個為且可重復排列的Jordan規(guī)范型矩陣由……表示的個數(shù)，表示的個數(shù)，表示0的個數(shù)………k-冪零變換在相似等價的情形下：xk

,xk-1,……,x1不同，看成不同的k-冪零變換當，，時，秩r最小，即n維線性空間V上，不同的k-冪零變換所對應的象的維數(shù)，即k-冪零變換下矩陣A的秩，其中秩的取值范圍為：

或當時，秩可取到最大

若，最大秩且秩最大的規(guī)范型只有一個

時，秩可取到最大

當，3-冪零變換時，，此時：秩為4。但是，，秩也為4。當，時，秩最大的規(guī)范型并不唯一.

2-冪零變換：對任意的秩，2-冪零變換的Jordan規(guī)范型矩陣都是唯一的。3-冪零變換

其中

，

，3-冪零變換：若存在正整數(shù)3,滿足f3=0,f2≠0,則存在V的一個基，使得f在這個基下的矩陣是、，拼成的首個為且可重復排列的Jordan規(guī)范型矩陣由表示的個數(shù)，表示的個數(shù)，表示0的個數(shù)

。當時，秩的范圍：在象的維數(shù)給定的情況下，冪零變換在相似等價的前提下，有多少種可能呢？當秩為C的所有n階3-冪零變換的Jordan規(guī)范型的個數(shù)為時，令C為A的秩，3-冪零變換：A為一個基下的Jordan規(guī)范型。當時，或或當時，當時，而且不同的秩的Jordan規(guī)范型的個數(shù)為1。當時，時，的Jordan規(guī)范型的個數(shù)為1。時，的Jordan規(guī)范型的個數(shù)為2。當當在相似等價的情形下，關(guān)于2-冪零變換與3-冪零變換我們有一定的了解，那么不考慮相似等價，冪零變換？平面二維空間1、f是2維平面到2維平面的線性變換，即為可逆變換2、g是2維平面到平面上直線的線性變換，2-冪零變換：在x

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