高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題六數(shù)列1數(shù)列的概念及表示綜合篇課件新人教A版

考點數(shù)列的概念及表示1.數(shù)列的概念按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,其中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.2.數(shù)列的分類考點清單分類原則類型滿足條件項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限項與項間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an+1>an其中n∈N*遞減數(shù)列an+1<an常數(shù)列an+1=an擺動數(shù)列從第2項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項的數(shù)列3.數(shù)列的表示法(1)

:a1,a2,a3,…,an,…;(2)

:數(shù)列可用一群孤立的點表示;(3)

(

):通項公式或遞推公式.4.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系從函數(shù)觀點看,數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})

為定義域的函數(shù)an=f(n),當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時,所對

應(yīng)的一列函數(shù)值.反過來,對于函數(shù)y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,…)有意義,那么

我們可以得到一個數(shù)列f(1),f(2),f(3),…,f(n),….5.數(shù)列的遞推公式與通項公式(1)遞推公式的定義如果已知數(shù)列{an}的①第一項

(或②前幾項

),且從第二項(或某一

項)起的任何一項an與它的前一項an-1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個式子

來表示,那么這個式子叫做數(shù)列{an}的遞推公式.(2)通項公式如果數(shù)列{an}的第n項an與③序號n

之間的關(guān)系可以用一個式子來表

示,那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式.6.數(shù)列的前n項和及其與通項公式的關(guān)系若Sn=a1+a2+…+an,則稱Sn為數(shù)列{an}的前n項和,由Sn可求出通項公式an.已

知Sn,則an=

考法一利用Sn與an的關(guān)系求通項公式知能拓展例1

(2020山東濟南6月模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=

n2+

n.(1)求{an}的通項公式;(2)設(shè)bn=

求數(shù)列{bn}的前2n項和T2n.解析(1)因為Sn=

n2+

n,所以當(dāng)n=1時,a1=S1=1,當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=

n2+

n-

(n-1)2+

(n-1)

=n,又n=1時a1=1符合上式,所以an=n,n∈N*.(2)因為bn=

所以對任意的k∈N*,b2k+1-b2k-1=(2k+1)-(2k-1)=2,則{b2k-1}是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列;

=

=4,則{b2k}是以4為首項,4為公比的等比數(shù)列,所以T2n=(b1+b3+b5+…+b2n-1)+(b2+b4+b6+…+b2n)=(1+3+…+2n-1)+(22+24+26+…+22n)=

+

=n2+

-

.方法總結(jié)1.已知Sn求an的步驟:(1)先利用a1=S1求出a1.(2)用n-1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系式,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出

當(dāng)n≥2時an的表達式.(3)對n=1時的結(jié)果進行檢驗,看是否符合n≥2時an的表達式,如果符合,則

可以把數(shù)列的通項公式合寫;如果不符合,則應(yīng)該分n=1與n≥2兩段來寫.2.Sn與an關(guān)系問題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求,將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化.(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn、Sn-1的關(guān)系式,再求解.(2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an、an-1的關(guān)系式,再求解.經(jīng)典例題以下為教師用書專用例

(2018山東省實驗中學(xué)期中,5)若數(shù)列{an}滿足a1+a2+a3+…+an=3n-2,那

么這個數(shù)列的通項公式為

()A.an=2×3n-1

B.an=3×

C.an=3n-2

D.an=

解析∵數(shù)列{an}滿足a1+a2+a3+…+an=3n-2①,當(dāng)n=1時,a1=1;∴當(dāng)n≥2時,a1+a2+a3+…+an-1=3n-1-2②,①-②得an=2×3n-1,故an=

故選D.答案

D例

(2019浙江高考信息優(yōu)化卷(三),11)數(shù)列{an}的前n項和Sn=

an+

,則a1=

;{an}的通項an=

.解析因為Sn=

an+

,所以當(dāng)n=1時,a1=-1.又Sn-1=

an-1+

(n∈N*,n≥2),所以an=Sn-Sn-1=

an-

an-1(n∈N*,n≥2),即an=4an-1(n∈N*,n≥2),所以{an}為等比數(shù)列,an=-4n-1(n∈N*).答案

-1;-4n-1

考法二由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式例2

(2019河北省級示范性高中4月聯(lián)考,15)數(shù)列{an}滿足a1=3,且對于任

意的n∈N*都有an+1-an=n+2,則a39=

.解析因為an+1-an=n+2,所以a2-a1=3,a3-a2=4,a4-a3=5,……,an-an-1=n+1(n≥2),上面(n-1)個式子左右兩邊分別相加得an-a1=

(n≥2),即an=

(n≥2),當(dāng)n=1時,a1=3適合上式,所以an=

,n∈N*,所以a39=

=820.答案820方法總結(jié)由遞推關(guān)系求通項公式的常用方法遞推式方法示例an+1=an+f(n)累加法a1=1,an+1=an+2n

=f(n)累乘法a1=1,

=2nan+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列a1=1,an+1=2an+1an+1=pan+q·pn+1(p≠0,q≠0)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列a1=1,an+1=3an+3n-1其中:(1)an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)的求解方法是設(shè)an+1+λ=p(an+λ),即an+1

=pan+pλ-λ,與an+1=pan+q比較即可知λ=

.(2)an+1=pan+q·pn+1(p≠0,q≠0)的求解方法是等式兩邊同時除以pn+1,得

-

=q,數(shù)列

為等差數(shù)列.經(jīng)典例題以下為教師用書專用例在數(shù)列{an}中,a1=1,an=

an-1(n≥2,n∈N*),則數(shù)列{an}的通項公式為

.解析∵an=

an-1(n≥2),∴an-1=

an-2,an-2=

an-3,……,a2=

a1.以上(n-1)個式子相乘得,an=a1·

·

·…·

=

=

.當(dāng)n=1時,a1=1,符合上式,∴an=

(n∈N*).答案

an=

例

(2019浙江三校聯(lián)考,20)已知數(shù)列{an}中,a1=a(a≠1且a≠-3),a2=3,an=2an-1+3an-2(n≥3).(1)求{an+1+an}和{an+1-3an}的通項公式;(2)若數(shù)列{an}單調(diào)遞增,求a的取值范圍.解析(1)由an=2an-1+3an-2得an+an-1=3(an-1+an-2),∴an+1+an=3(an+an-1),an-1+an-2=3(an-2+an-3),……a3+a2=3(a2+a1),∴an+1+an=3n-1(a2+a1)=3n-1(3+a).由an=2an-1+3an-2得an-3an-1=-(an-1-3an-2),∴an+1-3an=-(an-3an-1),an-1-3an-2=-(an-2-3an-3),……a3-3a2=-(a2-3a1),∴an+1-3an=(-1)n-1(a2-3a1)=(-1)n-1(3-3a).(2)由(1)得an=

[3n-1(a+3)-(-1)n-1(3-3a)],∴an+1-an=

[3n-1(a+3)+(-1)n-1(3-3a)].當(dāng)n為奇數(shù)時,3n-1(a+3)+(-1)n-1(3-3a)=(3n-1-3)a+3n+3.由an+1-an>0可得(3n-1-3)a+3n+3>0.當(dāng)n=1時,解得a<3;當(dāng)n≥3時,a>-

=-3-

,∴a>-3-

=-5.∴-5<a<3.當(dāng)n為偶數(shù)時,3n-1(a+3)+(-1)n-1(3-3a)=(3n-1+3)a+3n-3.由an+1-an>0可得a>-

=

-3,∴a>

-3=-1.綜上可知,a∈(-1,1)∪(1,3).考法三數(shù)列的單調(diào)性和最大(小)項例3

(2019河南新鄉(xiāng)二模,9)已知數(shù)列{an}的首項a1=21,且滿足(2n-5)an+1=

(2n-3)an+4n2-16n+15,則{an}中最小的一項是

()A.a5

B.a6

C.a7

D.a8

解析∵4n2-16n+15=(2n-3)(2n-5),∴(2n-5)an+1=(2n-3)an+(2n-3)(2n-5),等式

兩邊同時除以(2n-3)(2n-5),可得

=

+1,可設(shè)bn=

,則

=bn+1,∴bn+1=bn+1,即bn+1-bn=1.∵b1=

=

=-7,∴數(shù)列{bn}是以-7為首項,1為公差的等差數(shù)列.∴bn=-7+(n-1)×1=n-8,n∈N*.∴an=(n-8)(2n-5)=2n2-21n+

40.可把an看成關(guān)于n的二次函數(shù),則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可知:當(dāng)n=5或n=

6時,an可能取最小值.∵當(dāng)n=5時,a5=2×52-21×5+40=-15,當(dāng)n=6時,a6=2×62-21×6+40=-14,∴當(dāng)n=5時,an取得最小值.故選A.答案

A方法總結(jié)解決數(shù)列的單調(diào)性問題可用以下三種方法(1)用作差比較法,根據(jù)an+1-an的符號判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列

還