高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題三函數(shù)的概念性質(zhì)與基本初等函數(shù)7函數(shù)與方程綜合篇課件新人教A版

考點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義:對于函數(shù)y=f(x),把使①

f(x)=0

的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y

=f(x)的零點(diǎn).(2)三個(gè)等價(jià)關(guān)系:方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與②

x軸

有

交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有③零點(diǎn)

.2.函數(shù)零點(diǎn)存在性定理

考點(diǎn)清單注意零點(diǎn)存在性定理只能判斷函數(shù)在某區(qū)間上是否存在零點(diǎn),并不能

判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù),但如果函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),則該函數(shù)在區(qū)間上至

多有一個(gè)零點(diǎn).注:函數(shù)零點(diǎn)存在性定理在新教材中叫零點(diǎn)存在定理.3.二分法(1)對于區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷的,且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把

函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),從

而得到零點(diǎn)近似值的方法,叫做二分法.(2)用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟第一步,確定區(qū)間[a,b],驗(yàn)證④

f(a)·f(b)<0

,給定精確度ε;第二步,求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c;第三步,計(jì)算f(c):(i)若f(c)=0,則c就是函數(shù)的零點(diǎn);(ii)若f(a)·f(c)<0,則令b=c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a,c));(iii)若f(c)·f(b)<0,則令a=c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(c,b));第四步,判斷是否達(dá)到精確度ε,即若|a-b|<ε,則得到零點(diǎn)近似值a(或b);否

則,重復(fù)第二、三、四步.考法一函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及所在區(qū)間的判斷方法知能拓展例1(1)(2020江蘇如皋中學(xué)第一學(xué)期檢測,2)函數(shù)f(x)=lnx-

+1的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是

()A.(2,e)

B.(1,2)

C.(e,3)

D.(3,+∞)(2)設(shè)函數(shù)y=x3與y=

的圖象的交點(diǎn)為(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,則x0所在的區(qū)間是

.解題導(dǎo)引(1)解法一:利用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷;解法二:利用圖象法.(2)分別畫出函數(shù)y=x3與y=

的圖象,利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷.解析(1)解法一:由于f(1)=ln1-2+1=0-2+1=-1,f(2)=ln2-1+1=ln2>0,函數(shù)f(x)=lnx-

+1在(0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),所以f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(1,2),故選B.解法二:方程lnx-

+1=0的根為f(x)=lnx-

+1的零點(diǎn),即函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間是函數(shù)y=lnx+1與y=

的圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)所在區(qū)間,兩函數(shù)圖象如圖所示:由圖可知f(x)=lnx-

+1的零點(diǎn)所在區(qū)間為(1,2),故選B.(2)設(shè)f(x)=x3-

,則x0是函數(shù)f(x)的零點(diǎn),在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)y=x3與y=

的圖象如圖所示.因?yàn)閒(1)=1-

=-1<0,f(2)=8-

=7>0,所以f(1)f(2)<0,所以x0∈(1,2).答案(1)B(2)(1,2)方法總結(jié)確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法(1)解方程法:當(dāng)對應(yīng)方程f(x)=0易解時(shí),可先解方程,然后看求得的根是否

落在給定區(qū)間上.(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理:首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是否

連續(xù),再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點(diǎn).(3)數(shù)形結(jié)合法:通過畫函數(shù)圖象,觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交

點(diǎn)來判斷.例2(1)已知函數(shù)y=f(x)是周期為2的周期函數(shù),且當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),f(x)=2|x|-

1,則函數(shù)F(x)=f(x)-|lgx|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

()A.9

B.10

C.11

D.18(2)(多選題)(2021屆湖南衡陽一中第二次月考,10)某同學(xué)在研究函數(shù)f(x)=

(x∈R)時(shí),給出下面幾個(gè)結(jié)論,其中正確的有

()A.f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱B.若x1≠x2,則f(x1)≠f(x2)C.f(x)的值域?yàn)?-1,1)D.函數(shù)g(x)=f(x)-x僅有一個(gè)零點(diǎn)(3)函數(shù)f(x)=

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

.解題導(dǎo)引(1)函數(shù)F(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)y=f(x)與y=|lgx|圖象交點(diǎn)的

個(gè)數(shù),作出函數(shù)圖象,結(jié)合圖象確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)

(3)畫出函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù).解析(1)由F(x)=0得f(x)=|lgx|,所以函數(shù)F(x)=f(x)-|lgx|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函

數(shù)y=f(x)與y=|lgx|圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).作出函數(shù)圖象,如圖所示:當(dāng)0<x≤10時(shí),有10個(gè)交點(diǎn);當(dāng)x>10時(shí),|lgx|>1,所以此時(shí)函數(shù)y=f(x)與y=|lgx|

的圖象無交點(diǎn).故函數(shù)F(x)=f(x)-|lgx|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是10.(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù),f(-x)=

=-

=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,故A正確;選項(xiàng)B,當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=

=1-

,顯然函數(shù)單調(diào)遞增,此時(shí)0≤f(x)<1;當(dāng)x<0時(shí),f(x)=

=-1+

,顯然函數(shù)單調(diào)遞增,此時(shí)-1<f(x)<0,因此函數(shù)在整個(gè)實(shí)數(shù)集上是單調(diào)遞增的,因此若x1≠x2,則f(x1)≠f(x2)是正確的,本選

項(xiàng)是正確的;選項(xiàng)C,由選項(xiàng)B的分析可以知道本選項(xiàng)是正確的;選項(xiàng)D,g(x)=f(x)-x=0?f(x)=x?

=x?

=0?x=0,只有一個(gè)零點(diǎn),D正確.(3)當(dāng)x>0時(shí),作函數(shù)y=lnx和y=x2-2x的圖象,如圖.

由圖知,當(dāng)x>0時(shí),f(x)有2個(gè)零點(diǎn);當(dāng)x≤0時(shí),由f(x)=0得x=-

.綜上,f(x)有3個(gè)零點(diǎn).答案(1)B(2)ABCD(3)3方法總結(jié)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法(1)解方程法:令f(x)=0,如果有解,則有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn).(2)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理:利用該定理不僅要求函數(shù)在[a,b]上的圖象連續(xù),

且f(a)·f(b)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期

性、對稱性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).(3)數(shù)形結(jié)合法:轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題,有幾個(gè)交點(diǎn)就有

幾個(gè)不同的零點(diǎn).經(jīng)典例題以下為教師用書專用例

(2020云南大理、麗江、怒江一模,11)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-

3.若實(shí)數(shù)a,b滿足f(a)=0,g(b)=0,則

()A.g(a)<0<f(b)

B.f(b)<0<g(a)C.0<g(a)<f(b)

D.f(b)<g(a)<0解析易知函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,由f(a)=0知0<a<1;函

數(shù)g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,g(1)=-2<0,g(2)=ln2+1>0,由g(b)=0知b>1,∴g(a)<g(1)<0,f(b)>f(1)>0.故g(a)<0<f(b).答案

A例

(2020廣西桂林七星模擬,10)設(shè)三個(gè)函數(shù)y=2x+x-2,y=log2x+x-2和y=x3-

3x2+3x-1的零點(diǎn)分別為x1,x2和x3,則有

()A.x1x2≥x3,x1+x2≥2x3B.x1x2<x3,x1+x2=2x3C.x1x2>

,x1+x2≤2x3D.x1x2=

,x1+x2≥2x3

解析本題考查了利用數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)的零點(diǎn)問題,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算

和直觀想象的核心素養(yǎng).易知x3=1.畫出函數(shù)y=2x,y=log2x與y=2-x的圖象如圖,其中A(x1,y1),B(x2,y2)分別是函數(shù)y=2x與y=log2x的圖象與直線y=2-x的交點(diǎn),由于指數(shù)函數(shù)y=ax與y=logax(a>0且a≠1)的圖象關(guān)于直線y=x對稱,且直線

y=2-x也關(guān)于直線y=x對稱,所以交點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=x對稱,所以

=

?2-x1+2-x2=x1+x2,所以x1+x2=2.由基本不等式得x1x2<

=1(0<x1<x2),故選B.答案

B解題關(guān)鍵將x1,x2分別看成y=2x,y=log2x的圖象與直線y=2-x的交點(diǎn)的橫坐

標(biāo),結(jié)合y=2x,y=log2x的圖象關(guān)于直線y=x對稱得到x1+x2=2是解題的關(guān)鍵.例

(2020浙江杭州期末,16)已知函數(shù)f(x)=x3-9x,g(x)=3x2+a(a∈R).若方程f(x)=g(x)有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1,x2,x3,且它們可以構(gòu)成等差數(shù)列,則a=

.解析本題考查方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)F(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)是關(guān)鍵,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.令F(x)=f(x)-g(x)=x3-3x2-9x-a,則F(x)=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1,x2,x3,且x1,x2,x3

成等差數(shù)列,設(shè)x1=x2-d,x3=x2+d,則F(x)=[x-(x2-d)](x-x2)[x-(x2+d)]=x3-3x2x2+(3

-d2)x-

+x2d2.對照x各次方的系數(shù),可知

得a=-11.答案

-11一題多解(三次方程的韋達(dá)定理的應(yīng)用)由題可知x1,x2,x3為方程x3-3x2-9x

-a=0的三個(gè)不等實(shí)根,且滿足x1+x3=2x2,而x1+x2+x3=3,所以3x2=3,即x2=1,所

以1-3-9-a=0,即a=-11.例

(2020重慶一中摸底)已知偶函數(shù)y=f(x),x∈R滿足f(x)=x2-3x(x≥0).若

函數(shù)g(x)=

則y=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

()A.1

B.3

C.2

D.4解析本題考查分段函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷.y=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方

程f(x)=g(x)的根的個(gè)數(shù),即函數(shù)y=f(x)和y=g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),作出兩函

數(shù)圖象,如圖所示,由圖象可知共有3個(gè)交點(diǎn),故選B.答案

B方法總結(jié)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題時(shí),若解方程不易求解或者遇到超

越方程時(shí),應(yīng)優(yōu)先考慮數(shù)形結(jié)合.例

(2020天津第二十五中學(xué)模擬,9)已知函數(shù)f(x)=

則方程f[f(x)]=3的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是

()A.6

B.3

C.4

D.5解析畫出函數(shù)f(x)=

的圖象,令t=f(x),易知f(t)=3有兩解t1∈(0,1),t2∈(1,+∞),則t1=f(x),t2=f(x)分別有3個(gè)解,2個(gè)解,故方程f[f(x)]=3的實(shí)數(shù)

根的個(gè)數(shù)是3+2=5.故選D.答案

D考法二函數(shù)零點(diǎn)性質(zhì)的應(yīng)用例3(1)已知函數(shù)f(x)=2x+x,g(x)=x-lo

x,h(x)=log2x-

(0<x<10)的零點(diǎn)分別為x1,x2,x3,則x1,x2,x3的大小關(guān)系是

()A.x1>x2>x3

B.x2>x1>x3C.x1>x3>x2

D.x3>x2>x1(2)已知函數(shù)f(x)=

函數(shù)g(x)=b-f(2-x),其中b∈R.若函數(shù)y=f(x)-g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn),則b的取值范圍是

()A.

B.

C.

D.

(3)設(shè)函數(shù)f(x)=

若f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.解題導(dǎo)引(1)分別作出函數(shù)y=2x,y=-x,y=x,y=lo

x,y=log2x,y=

的圖象,結(jié)合圖象確定x1,x2,x3的大小關(guān)系.(2)(3)根據(jù)題意,對a進(jìn)行分類討論,根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析(1)由f(x)=2x+x=0,g(x)=x-lo

x=0,h(x)=log2x-

=0得2x=-x,x=lo

x,log2x=

.在坐標(biāo)系中分別作出y=2x,y=-x,y=x,y=lo

x,y=log2x,y=

的圖象,如圖.

由圖可知x1<x2<x3.(2)f(x)-g(x)=0,即b=f(x)+f(2-x),函數(shù)y=f(x)-g(x)有4個(gè)零點(diǎn),可轉(zhuǎn)化為直線y=b

與y=f(x)+f(2-x)的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn).又y=f(x)+f(2-x)=

在同一直角坐標(biāo)系中分別畫出直線y=b與y=f(x)+f(2-x)的圖象(如圖),可得

<b<2,故選D.(3)若a>0,當(dāng)x<1,f(x)=2x-a恰有一個(gè)零點(diǎn)log2a時(shí),有

解得

≤a<1;當(dāng)x<1,f(x)=2x-a無零點(diǎn)時(shí),有

解得a≥2.若a≤0,當(dāng)x<1時(shí),f(x)無零點(diǎn);當(dāng)x≥1時(shí),由題意知應(yīng)恰有兩個(gè)零點(diǎn),所以

無解.綜上,

≤a<1或a≥2.答案(1)D(2)D(3)

≤a<1或a≥2方法總結(jié)零點(diǎn)性質(zhì)的應(yīng)用已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)的值或取值范圍常用的方法和思路:(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組),再通過解不等

式(組)確定參數(shù)范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值問題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖

象,然后數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解.經(jīng)典例題以下為教師用書專用例

(2020天津南開一模,9)已知函數(shù)f(x)=

若方程f(x)=ax有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()A.(-1,0)

B.(0,1)

C.(0,1]

D.(1,+∞)解析由題意知x=0滿足方程f(x)=ax,當(dāng)x<0時(shí),只需

=a有一個(gè)負(fù)根,即x=

<0,解得0<a<1,當(dāng)x>0時(shí),只需x2-(a+1)x+a=0有兩個(gè)正根,方程可化為(x-1)(x-a)=0,故兩根為1,a,∴a>0且a≠1.綜上可知,當(dāng)0<a<1時(shí),方程f(x)=ax有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.故選B.答案

B思路分析顯然x=0滿足方程f(x)=ax,然后當(dāng)x≠0時(shí),確定a=

=

有3個(gè)實(shí)根,顯然在x<0時(shí),

=a有一個(gè)負(fù)根,在x>0時(shí),x2-(a+1)x+2a=a有兩個(gè)正根,進(jìn)一步求解即可.例

(2020陜西商洛模擬,11)已知函數(shù)f(x)=

若關(guān)于x的方程2f

2(x)-(2m+1)f(x)+m=0恰有3個(gè)不同的實(shí)根,則m的取值范圍為

()A.(1,2)

B.[2,5)∪{1}C.