吉林省2023屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理（含解析）

PAGEPAGE16吉林省2022屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理〔含解析〕一、選擇題：〔本大題共12小題，每題5分；在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的〕1.假設(shè)，那么＝A.B.1C.5D.25【答案】B【解析】=,那么|z|=1.應(yīng)選：B.2.設(shè)集合，，那么A.B.C.D.【答案】B【解析】集合A={x∣x2?2x?3<0}={x|?1<x<3}，B={x||x?2|?2}={x|?2?x?2?2}={x|0?x?4}，那么A∩B={x|0?x<3}=[0,3).應(yīng)選：B.3.平面向量，且，那么A.B.C.D.【答案】C【解析】∵，∴，，∵，∴1-m+m〔m-5〕=m2-6m-1=0解得：m=4.，那么的值等于A.B.C.D.【答案】C【解析】，應(yīng)選C．點睛：在應(yīng)用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值時，除了要掌握應(yīng)用誘導(dǎo)公式的原那么：“負(fù)化正〞、“大化小〞、“小化銳〞外，還需善于觀察，尋找角的關(guān)系，如，，，這樣可以溝通角與待求值角之間的關(guān)系．5.函數(shù)的局部圖象大致是A.B.C.D.【答案】A【解析】首先函數(shù)為奇函數(shù)，排除C，D，又當(dāng)時，，排除B，從而選A．6.[x]表示不超過x的最大整數(shù)．執(zhí)行如下圖的程序框圖，假設(shè)輸入x的值為2.4，那么輸出z的值為A.1.2B.0.6C.0.4D.－0.4【答案】D【解析】程序運行時，變量值依次為，滿足，，，滿足，，，不滿足，執(zhí)行，應(yīng)選D．7.某班班會準(zhǔn)備從含甲、乙的6名學(xué)生中選取4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人參加，那么不同的發(fā)言順序有A.336種B.320種C.192種D.144種【答案】A【解析】根據(jù)題意，分2種情況討論，假設(shè)只有甲乙其中一人參加,有種情況；假設(shè)甲乙兩人都參加,有種情況，那么不同的發(fā)言順序種數(shù)192+144=336種，應(yīng)選：A.8.假設(shè)一個空間幾何體的三視圖如下圖，且該幾何體的體積為，那么其外表積為A.B.C.D.【答案】A【解析】該幾何體是半個圓錐，，，母線長為，所以其外表積為，應(yīng)選A．9.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，那么在上的值域為A.B.C.D.【答案】B【解析】解析：因，故，因，故，那么，所以，應(yīng)選答案B。10.雙曲線，過其左焦點F作x軸的垂線，交雙曲線于A、B兩點，假設(shè)雙曲線的右頂點在以AB為直徑的圓內(nèi)，那么雙曲線離心率的取值范圍是A.B.C.D.【答案】D【解析】是雙曲線通徑，，由題意，即，，即，解得〔舍去〕，應(yīng)選D．11.三棱錐外接球的直徑，且，那么三棱錐的體積為A.B.C.D.【答案】D【解析】如圖，由題設(shè)可知是邊長為3等邊三角形，設(shè)球心為，點在面內(nèi)的射影是，那么是的中心，那么，故，那么點到平面的距離是，而，那么棱錐的體積為，應(yīng)選答案D。12.函數(shù)，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有零點的和為A.16B.30C.32D.40【答案】C【解析】試題分析：由函數(shù)解析式可知，當(dāng)時，，那么，所以，類似地，當(dāng)時，，當(dāng)時，，分別作出函數(shù)當(dāng)及在區(qū)間內(nèi)的圖象，如圖，可知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)依左到右有個零點，由圖象對稱性可知，各零點之和為.考點：函數(shù)零點．二、填空題：〔本大題共4小題，每題5分．〕13.△中，、、分別是角、、所對的邊，假設(shè)，那么__________．【答案】【解析】因為，由正弦定理得，即，，所以，．點睛：在解三角形問題中，正弦定理和余弦定理都可以進行“邊〞“角〞轉(zhuǎn)換，此題也可用余弦定理化角為邊，解法如下：由余弦定理得，化簡得，所以，．14.變量滿足約束條件，那么的取值范圍是_________．【答案】【解析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖由z=x?2y得y=x?z，平移直線y=x?z由圖象可知當(dāng)直線y=x?z經(jīng)過點A(2,4)時,直線y=x?z的截距最大，此時z最小為z=2?8=?6，當(dāng)直線y=x?z經(jīng)過點O(0,0)時，直線y=x?z的截距最小，此時z最大為z=0故?6?z?0，；。故答案為：[?6,0]點睛:利用線性規(guī)劃求最值的步驟①在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域；②考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進行變形；③在可行域內(nèi)平行移動目標(biāo)函數(shù)變形后的直線，從而確定最優(yōu)解；④將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值．15.假設(shè)二項式的展開式中的常數(shù)項為m，那么_________．【答案】【解析】解答：由Tr+1=??()r=.令12?3r=0，得r=4.∴m=()2?=3.那么==(x3?x2)=(×33?32)?(?1)=.故答案為：.16.關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)開展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗．受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計下面的實驗來估計的值：先請200名同學(xué)，每人隨機寫下一個都小于1的正實數(shù)對〔x，y〕；再統(tǒng)計兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對〔x，y〕的個數(shù)m；最后再根據(jù)統(tǒng)計數(shù)m來估計的值．假設(shè)統(tǒng)計結(jié)果是m＝56，那么可以估計__________．〔用分?jǐn)?shù)表示〕【答案】【解析】由題意,200對都小于l的正實數(shù)對(x,y)，對應(yīng)區(qū)域的面積為1，兩個數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(x,y),滿足x2+y2<1且x,y都小于1,x+y>1,面積為，因為統(tǒng)計兩數(shù)能與l

構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(x,y)

的個數(shù)m=56，所以=,所以π=.故答案為：.三、解答題：〔解容許寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．〕17.正項等比數(shù)列滿足成等差數(shù)列，且．〔Ⅰ〕求數(shù)列的通項公式；〔Ⅱ〕設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【答案】〔1〕〔2〕【解析】試題分析：〔Ⅰ〕數(shù)列是等比數(shù)列，此題可以用根本量法求通項公式，即把用首項和公比表示并解出，從而得通項公式，也要用等比數(shù)列的性質(zhì)，直接求出公比，，從而，再去求首項即可；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得，利用錯位相減法可求得其前項和．試題解析：〔Ⅰ〕設(shè)正項等比數(shù)列的公比為〔〕，由，故，解得，因為，所以．又因為，，成等差數(shù)列，所以，解得，所以數(shù)列的通項公式為.〔Ⅱ〕依題意得，那么，①，②由②①得，所以數(shù)列的前項和．18.為選拔選手參加“中國謎語大會〞，某中學(xué)舉行了一次“謎語大賽〞活動．為了了解本次競賽學(xué)生的成績情況，從中抽取了局部學(xué)生的分?jǐn)?shù)〔得分取正整數(shù)，總分值為100分〕作為樣本〔樣本容量為〕進行統(tǒng)計．按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖〔圖中僅列出了得分在，的數(shù)據(jù)〕．〔Ⅰ〕求樣本容量和頻率分布直方圖中的、的值；〔Ⅱ〕在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上〔含80分〕的學(xué)生中隨機抽取3名學(xué)生參加“中國謎語大會〞，設(shè)隨機變量表示所抽取的3名學(xué)生中得分在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】〔1〕〔2〕分布列見解析，【解析】試題分析：〔Ⅰ〕由樣本容量和頻數(shù)頻率的關(guān)系易得答案；〔Ⅱ〕由題意可知，分?jǐn)?shù)在[80，90〕內(nèi)的學(xué)生有5人，記這5人分別為，分?jǐn)?shù)在[90，100]內(nèi)的學(xué)生有2人，記這2人分別為，列舉法易得所有根本領(lǐng)件和滿足題意要求的所有根本領(lǐng)件種數(shù)，求值比值可得概率值試題解析：〔1〕由題意可知，樣本容量，；〔2〕由題意可知，分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生有人，記這人分別為，分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生有人，記這人分別為．抽取的名學(xué)生的所有情況有種，分別為：，，．兩人都在的種數(shù)有10種，所以所求概率為考點：列舉法計算根本領(lǐng)件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖19.如圖，三棱柱中，側(cè)棱平面，△為等腰直角三角形，，且分別是的中點．〔Ⅰ〕求證：平面；〔Ⅱ〕求銳二面角的余弦值．【答案】〔1〕見解析〔2〕【解析】試題分析：〔Ⅰ〕此題考查線面垂直的判定定理．可由勾股定理證明；另外平面即可；〔Ⅱ〕過程為作證算．根據(jù)二面角的定義找到角，注意不要忽略了證明的過程．試題解析：〔Ⅰ〕證明：由條件知平面，令，經(jīng)計算得，即，又因為平面；〔Ⅱ〕過作，連結(jié)由得平面就是二面角的平面角經(jīng)計算得，考點：1．線面垂直的判定定理；2．二面角；20.分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上．〔Ⅰ〕求的最小值；〔Ⅱ〕假設(shè)且，直線與橢圓交于兩點，過點且平行于直線的直線交橢圓于另一點，問：四邊形能否成為平行四邊形？假設(shè)能，請求出直線的方程；假設(shè)不能，請說明理由．【答案】〔1〕〔2〕能，【解析】試題分析：〔1〕設(shè),可得，由滿足橢圓的方程，由二次函數(shù)的值域求法可得的是最小值；〔2〕證明四邊形為平行四邊形，需證，由弦長公式用表示，由可設(shè)直線，可得的值，即可得直線的方程。解：〔Ⅰ〕由題意可知，,點是橢圓上，，即，且最小值1.〔Ⅱ〕設(shè).由得，，，，直線的方程為.由得，，，，假設(shè)四邊形能成為平行四邊形，那么，，解得.符合條件的直線的方程為，即.21.函數(shù)．〔Ⅰ〕假設(shè)函數(shù)在處的切線平行于直線，求實數(shù)a的值；〔Ⅱ〕判斷函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)；〔Ⅲ〕在〔Ⅰ〕的條件下，假設(shè)在上存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】〔1〕〔2〕時，在無零點；時，在恰有一個零點；時，在有兩個零點〔3〕或【解析】試題分析：〔1〕利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得，；〔2〕函數(shù)的零點個數(shù)等價于兩個函數(shù)的交點的個數(shù)，即與的交點個數(shù)；〔3〕不等式能成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.試題解析：〔Ⅰ〕,函數(shù)在處的切線平行于直線..〔Ⅱ〕令，得記，由此可知在上遞減，在上遞增，且時故時，在無零點時，在恰有一個零點時，在有兩個零點〔Ⅲ〕在上存在一點,使得成立等價于函數(shù)在上的最小值小于零.,①當(dāng)時,即時,在上單調(diào)遞減,所以的最小值為,由可得,；②當(dāng)時,即時,在上單調(diào)遞增,所以的最小值為,由可得；③當(dāng)時,即時,可得的最小值為此時,不成立.綜上所述:可得所求的范圍是或22.選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線〔為參數(shù)〕，在以原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為．〔Ⅰ〕求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；〔Ⅱ〕過點且與直線平行的直線交于兩點，求點到兩點的距離之積．【答案】〔1〕〔2〕【解析】試題分析：(1)曲線化為普通方程為：,直線的直角坐標(biāo)方程為;(2)利用參數(shù)t的幾何意義處理有關(guān)長度問題.試題解析：解：〔Ⅰ〕曲線化為普通方程為：,由，得，所以直線的直角坐標(biāo)方程為.〔Ⅱ〕直線的參數(shù)方程為〔為參數(shù)〕，代入化簡得：，設(shè)兩點所對應(yīng)的參數(shù)分別為，那么，∴.點睛：過定點P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為(t為參數(shù))，t的幾何意義是直線上的點P到點P0(x0，y0)的數(shù)量，即t＝|PP0|時為距離．使用該式時直線上任意兩點P1，