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文檔簡介
第四課時導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點
靈活方醫(yī)方致偎影
課時作業(yè)
三選題明細表
知識點、方法綜合運用練應(yīng)用創(chuàng)新練
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點個數(shù)25
根據(jù)函數(shù)零點求參數(shù)1,3
函數(shù)零點的綜合應(yīng)用46,7
B級綜合運用練
1.已知函數(shù)f(x)=33_笠^;g(x)=|-rnx,m是實數(shù).
(1)若f(x)在區(qū)間⑵+8)上為增函數(shù),求m的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)有3個零點,求m的取值
范圍.
解:(1)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=x2-(m+l)x,
因為f(x)在區(qū)間⑵+8)上為增函數(shù),
所以f(x)=x(x-m-l)20在區(qū)間(2,+8)上恒成立,
所以x-m~l20在區(qū)間(2,+°°)上恒成立,
即mWx-1在區(qū)間⑵+8)上恒成立,
由x>2,得mWl,
所以m的取值范圍是
(2)h(x)=f(x)-g(x)=|x:i-^^x2+mx-|,
所以h'(x)=(xT)(x-m)=0,解得x=m或x=l,
當(dāng)m=l時,h'(x)=(xT)?20,h(x)在R上是增函數(shù),不符合題意,
當(dāng).時,令h'(x)>0,解得x〈m或x>l,令h'(x)<0,解得
所以h(x)在(-8,m),(1,+8)上單調(diào)遞增,在(m,1)上單調(diào)遞減,
所以h(x)極大值=h(m)6Z3
h(x)極小值=h(1)=~~^
要使h(x)=f(x)-g(x)有3個零點,
1a11
--m6+-m7-->0,_
623
mt解得m<l-8,
(L。,
所以m的取值范圍是(-8,1-V3).
2.設(shè)函數(shù)f(x)=x,-2klnx(k>0).
(1)當(dāng)k=4時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
⑵討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,證)上的零點個數(shù).
解:⑴因為儀舊-2klnx(k>0),
所以f(x)的定義域是(0,+8),f,(x)=2x-匹空之
XX
令f'(x)=0,得x=2或x=-2(舍去).
當(dāng)x變化時,函數(shù)f(x),f'(x)變化情況如表:
X(0,2)2(2,+8)
f'(x)—0+
f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增
所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+8),
在x=2處取得極小值,f(2)=4-81n2,無極大值.
(2)由⑴知f(x)的最小值為f(4)=k-kink,
若函數(shù)有零點,則有f(Vfc)W0,解得k2e.
當(dāng)k》e時,函數(shù)f(x)在(1,粕)上單調(diào)遞減,
又f⑴=1>0,f(Ve)=e-k^O,所以函數(shù)f(x)在(1,粕)上有1個零點;
當(dāng)0<k<e時,函數(shù)f(x)的最小值為正數(shù),所以函數(shù)f(x)在(1,粕)上沒
有零點.
綜上,當(dāng)kee時,函數(shù)f(x)在(1,五)上有1個零點,
當(dāng)0<k<e時,函數(shù)f(x)在(1,五)上沒有零點.
3.已知函數(shù)f(x)=-x2+21nx+2.
(1)求f(x)的極值;
(2)若g(x)=lnx+2-x-k-f(x),在(a2)上有兩個不同的零點,求實數(shù)k
的取值范圍.
解:(l)f(x)的定義域為(0,+8),
f(x)=2x+—2EaT),
XX
由f'(x)=0得x=l,當(dāng)0<x〈l時,f'(x)>O,f(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x〉l時,f'(x)〈O,f(x)單調(diào)遞減,
所以函數(shù)f(x)有極大值f(1)=1,無極小值.
(2)若g(x)=x2-lnx-x-k,xe(1,2),
g'(x)=2x」T=3+i)(”),則當(dāng)X=1時,g,(x)=0,當(dāng)時,
XX2
gz(x)<0,當(dāng)l<x<2時,g'(x)>0,
于是得g(x)在§1)上單調(diào)遞減,在(1,2)上單調(diào)遞增,g(x)rain=g(l)=
-k,而g(?=ln2-J-k,g(2)=2-ln2-k,
顯然g(?〈g(2),要g(x)在$2)上有兩個不同的零點,當(dāng)且僅當(dāng)
(~k<0,11
i即°〈k〈ln2-;,所以實數(shù)k的取值范圍為(0,In2-;).
\jlnn9Z---K>U,44
4.已知函數(shù)f(x)=e2x+(l-2a)ex-ax(aGR).
⑴討論f(x)的單調(diào)性;
⑵若f(x)在定義域內(nèi)至多有一個零點,求a的取值范圍.
解:(1)由題意,函數(shù)f(x)=e2x+(l-2a)e-ax的定義域為R,
且fz(x)=2e2x+(l-2a)ex-a=(2ex+l)(ex-a).
當(dāng)aWO時,#(x)>O,f(x)在R上單調(diào)遞增;
當(dāng)a>0時,令f'(x)=0,即ex-a=O,
解得x=lna,
當(dāng)xW(-8,ina)時,f'(x)<0,f(x)在(-8,]na)上單調(diào)遞減,
當(dāng)x£(lna,+8)時,伊(x)>0,f(x)在(Ina,+8)上單調(diào)遞增.
綜上所述,當(dāng)aWO時,f(x)在R上單調(diào)遞增;
當(dāng)a>0時,f(x)在(-°°,Ina)上單調(diào)遞減,在(Ina,+°°)上單調(diào)遞增.
⑵由⑴知,當(dāng)aWO時,函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù),所以f(x)在定義
域上至多有一個零點;
當(dāng)a>0時,由(1)知,f(x)在(-°°,Ina)上單調(diào)遞減,在(Ina,+°°)上單
調(diào)遞增,
所以f(x)"in=f(Ina)=a2+(l-2a)a-alna=a-a2-alna,
因為f(x)在R上至多有一個零點,則滿足f(x)min^O,即1-a-lna,0,
設(shè)g(a)=lna+a-1,a>0,可得g'(a)=-+l>0,所以晨a)在(0,+8)上單
a
調(diào)遞增,
且g(l)=O,由不等式g(a)WO,可得0<aWl,
即fix*"與。時,可得(KaWL綜上可得,實數(shù)a的取值范圍是
(一8,1].
C級應(yīng)用創(chuàng)新練
5.(2021?安徽示范高中高考模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx+-+l.
X
⑴若函數(shù)f(X)在[1,e]上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍;
⑵討論函數(shù)f(x)零點的個數(shù).
解:(1)因為f(x)的定義域為(0,+8),
所以f'(x)筌20,即x-a20在x£[1,e]上恒成立,所以aWl,所以
實數(shù)a的取值范圍是
⑵因為f(x)的定義域為(0,+8),f,&)=等.
①當(dāng)aWO①『(x)>0恒成立,所以f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,
且Xf。時,f(x)f-8,Xf+8時,f(x)f+8,所以f(x)只有一個
零y八占、、,?
②當(dāng)a>0時,f'(a)=0,且當(dāng)x£(0,a)時,f'(x)<0;當(dāng)x£(a,+8)時,
f'(x)>0,所以f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+-)上單調(diào)遞增,
所以f(x)min=f(a)=lna+2.
(i)若f(x)miWO,即Ina+2<0,所以0<a<e-2,
因為f(x)在(a,+8)上單調(diào)遞增,f(a)<0,
f(l)=a+l>0,
所以f(x)在(a,+8)上只有一個零點.
又因為f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,且f(a)<0,
所以f(a2)=21na+-+l.
a
令g(x)=21nx+-+l,xG(0,e'2),
X
所以g'(x)卓<0,所以g(x)在(0,不)上單調(diào)遞減,
所以g(x)>g(e-2)=e2-3>0,
即f(a2)=21na+-+l>0,因為0<a2<a,且f(a2)>0,f(a)<0,所以f(x)在
a
(0,a)上只有一個零點,所以當(dāng)0<a〈e-2時,f(x)有兩個零點.
(ii)若f(xDO,即Ina+2>0,a>e;f(x)無零點.
(iii)若f(x)min=0,即Ina+2=0,a=e\f(x)只有一個零點.
綜上所述,當(dāng)aWO或a=e'時,f(x)只有一個零點;
當(dāng)O〈a〈e,時,f(x)有兩個零點;
當(dāng)a>e2時,f(x)無零點.
6.f(x)=alnx+eX+b(a>0),其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù).
⑴判斷f(x)的單調(diào)性;
(2)令m(x)=f(x)-ex,a=l,若對于x£[1,+°°),m(x)W&@-(bWO)恒
b
成立,求b的取值范圍.
解:(1)因為f(x)=alnx+ex+b(a>0,x>0),
所以f,(x)二空,
XX
因為a>0,x>0,所以竺之>0,
X
故f'(x)>0,所以f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.
(2)由題意得m(x)=lnx+b由>0),即求對于x£[1,+8),Inx+bW
空式(br0)恒成立時一,b的取值范圍,因為m/(x)」>0,故m(x)在
bx
(0,+8)上單調(diào)遞增,且當(dāng)x>e"時,m(x)>0,
又因為(x+l)2>0,故得b>0,故只需求blnx+b2^(x+1)2,
當(dāng)x=l時,b?W4,解得0<bW2,(*)
令r(x)=x2+2x+l-blnx-b2,
191
故r'(x)=2x+2-也空3=2(X+R-仁,
XXX
令(p(x)=2(x+1)2-b-1^4-b,
由(*)知e(x)>0,故r(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,
所以只需r(x)=x2+2x+l-blnx-b2^r(1)=4-b2^0,
解得0〈bW2.
綜上所述,b的取值范圍是0〈bW2.
7.已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=x2+ax-l,aGR.
⑴若對任意x£[l,+8),不等式,)忘為儀)恒成立,求a的取值
范圍;
⑵已知函數(shù)h(x)=|f(x)|-a有3個不同的零點Xi,X2,x3(xi<x2<x3).
①求a的取值范圍;
②求證:x3-x2>-\/l+2a-y/l-2a.
(1)解:若對任意xe[1,+8),不等式f(x)W2g(x)恒成立,
即2xlnxWx'+axT在[1,+8)上恒成立,
即a221nx-x+-(x^l),
X
記F(x)=21nx-x+-(x^l),則a2F(x)ax,
Xm
2
又F'(x)=--l-4=-^-^0,
XXzX1
故F(X)在[1,+8)上單調(diào)遞減,故F(x)max=F(1)=0.
故a的取值范圍是[0,+8).
(2)①解:令h(x)=O,得If(x)|=a,問題轉(zhuǎn)化為y=|f(x)j的圖象和y=a
的圖象有3個不同的交點,而f(x)=xlnx(x>O),f'(x)=lnx+1,
令f'(x)>0,解得x>;令f'(x)<0,解得0<xC,
ee
故f(X)在(o<)上單調(diào)遞減,在e,+8)上單調(diào)遞增,
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