基于灰色理論的公司自由現(xiàn)金流估值法研究

基于灰色理論的公司自由現(xiàn)金流估值法研究基于灰色理論的公司自由現(xiàn)金流估值法研究

中圖分類號：F224；F123.7文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1004-5937〔2022〕20-0044-04一、引言

公司價(jià)值評估是現(xiàn)代公司金融、財(cái)務(wù)管理的核心內(nèi)容之一，是學(xué)術(shù)界和實(shí)務(wù)界長期關(guān)注的重點(diǎn)領(lǐng)域，并且形成了支系龐大的理論體系。除去傳統(tǒng)的本錢法、相比照較法外，現(xiàn)代公司價(jià)值的理論研究體系主要在幾個(gè)方向展開：股利折現(xiàn)理論〔DDM〕、現(xiàn)金流量折現(xiàn)理論〔DCF〕、殘余收益估值模型〔RIM〕、經(jīng)濟(jì)增加值模型〔EVA〕、實(shí)物期權(quán)估值理論。其中，現(xiàn)金流量折現(xiàn)理論〔DCF〕中的自由現(xiàn)金流量估值模型是目前在實(shí)踐中應(yīng)用最廣泛的模型，國內(nèi)多數(shù)機(jī)構(gòu)投資者都采用此模型對公司進(jìn)行估值，股神巴菲特也是該模型的忠實(shí)實(shí)踐者。

自由現(xiàn)金流量〔FreeCashFlow，F(xiàn)CF〕最早由Rappaport、Jensen等學(xué)者于20世紀(jì)80年代提出。簡言之，就是企業(yè)產(chǎn)生的在滿足了再投資需要之后殘余的現(xiàn)金流量。自由現(xiàn)金流量主要有兩種表現(xiàn)形式：公司自由現(xiàn)金流量和股權(quán)自由現(xiàn)金流量。公司自由現(xiàn)金流量是公司產(chǎn)生的在滿足了再投資需要之后殘余的現(xiàn)金流量，這局部現(xiàn)金流量是在不影響公司持續(xù)開展的前提下可以自由分配給公司全部資本提供者〔包括債權(quán)人和股東〕的最大現(xiàn)金額。自由現(xiàn)金流量估值模型認(rèn)為任何公司的價(jià)值都是公司未來的自由現(xiàn)金流量根據(jù)一定的折現(xiàn)率進(jìn)行折現(xiàn)而得到的現(xiàn)值和。

自由現(xiàn)金流量估值模型的根本公式為〔以公司自由現(xiàn)金流量折現(xiàn)模型為例〕：

V0=■■〔1〕

其中，V0表示當(dāng)前公司價(jià)值，F(xiàn)CFFt表示t期公司自由現(xiàn)金流量，WACC表示加權(quán)資本本錢。在實(shí)務(wù)中，公司價(jià)值常被分解為兩局部，即預(yù)測期價(jià)值和后續(xù)期價(jià)值，用公式表示為：

V0=■■+■

〔2〕

其中，F(xiàn)CFFT+1表示T+1期公司自由現(xiàn)金流量，g表示公司增長率。

對于自由現(xiàn)金流量的計(jì)量辦法，學(xué)者們有不同的認(rèn)識。Rappaport、Copeland、Cornell等學(xué)者都給出了各自的自由現(xiàn)金流量計(jì)量公式。以Copeland的公式為例：

FCFF=EBIT×〔1-所得稅稅率〕+折舊-資本性支出增加-營運(yùn)資本增加〔3〕

可見，如何進(jìn)行正確的預(yù)測和計(jì)算，以獲取合理的預(yù)計(jì)自由現(xiàn)金流是該模型的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。而自由現(xiàn)金流的預(yù)測和計(jì)算，具有相當(dāng)?shù)膹?fù)雜性和難度。其中最主要的困難是，哪怕是公開披露信息的上市公司，能夠得到的公司財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)也是十分貧乏的，尤其是一些新的公司，可得的數(shù)據(jù)更少。從很少的數(shù)據(jù)出發(fā)，如何合理地預(yù)測未來自由現(xiàn)金流，成為自由現(xiàn)金流量估值模型的主要難題之一。

目前學(xué)術(shù)界和實(shí)務(wù)界對于這一難題采取的定量預(yù)測辦法有：一類是時(shí)間序列預(yù)測法，包括算術(shù)平均法、加權(quán)平均法、移動平均法、指數(shù)平滑法等；另一類是相關(guān)因素預(yù)測法，包括一元線性回歸法、多元線性回歸法等；還有一類是概率分析預(yù)測法，主要是馬爾柯夫預(yù)測法。這些辦法的應(yīng)用前提多數(shù)是要求大樣本、線性、分布已知等條件，對于財(cái)務(wù)實(shí)務(wù)中普遍存在的小樣本、不確定、非線性、分布未知的情況根本失效。面對只有幾年最多十年的公司財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)，如何進(jìn)行科學(xué)的數(shù)據(jù)開發(fā)和預(yù)測呢？灰色理論無疑是條有效的途徑。

灰色理論是由我國馳名學(xué)者鄧聚龍1982年創(chuàng)建并獲得國際普遍認(rèn)可的系統(tǒng)學(xué)理論，是一種專門針對“局部信息已知，局部信息未知〞的“小樣本〞、“貧信息〞的不確定性系統(tǒng)的創(chuàng)新辦法，目前已廣泛應(yīng)用在各行業(yè)實(shí)際數(shù)據(jù)的預(yù)測中?！盎疑暥忠庵妇植啃畔⒚鞔_、局部信息不明確，與信息完全明確的“白色〞系統(tǒng)和信息完全未知的“黑色〞系統(tǒng)相對應(yīng)?；疑碚搫?chuàng)意是基于如下信念：雖然客觀系統(tǒng)錯(cuò)綜復(fù)雜，數(shù)據(jù)散亂，似乎毫無頭緒，但其實(shí)服從某種內(nèi)在規(guī)律?；疑碚摼褪峭ㄟ^對原始數(shù)據(jù)的整理來尋求其變化規(guī)律的，也就是灰色序列生成過程，通過這種生成過程可以弱化原始數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，找到一定的規(guī)律。

由于灰色理論專門研究的是小樣本不確定的系統(tǒng)，而且允許數(shù)據(jù)任意分布，這對于研究信息披露年限短、財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)少的我國上市公司來說，無疑是極為有力的武器?？梢栽谝阎镜呢?cái)務(wù)數(shù)據(jù)中建立灰色模型，以便更科學(xué)地對自由現(xiàn)金流量做出合理的預(yù)測。目前在公司價(jià)值評估領(lǐng)域，基于灰色理論的研究國內(nèi)尚未發(fā)展，國際上也未見相關(guān)文獻(xiàn)。

二、灰色建模預(yù)測自由現(xiàn)金流的根本辦法

灰色理論擴(kuò)展了高階微分方程理論，定義了灰導(dǎo)數(shù)和灰微分方程，并用離散數(shù)據(jù)序列建立了微分方程動態(tài)模型，稱為灰色模型GM〔GrayModel〕。

設(shè)一個(gè)灰色系統(tǒng)中有h個(gè)變量，其中x1為因變量，x2，x3，x4…，xh為自變量，x〔1〕1〔k〕為原始數(shù)據(jù)序列的一次累加序列，那么描述該系統(tǒng)的模型為一個(gè)n階微分方程：

■+a1■+K+an-1■+

anx〔1〕1〔t〕=b1x〔1〕2〔t〕+b2x〔1〕3〔t〕+K+bh-1x〔1〕h〔t〕

該方程稱為GM〔n，h〕模型。當(dāng)h=1時(shí)，該模型退化為GM〔1，1〕模型，它是灰色系統(tǒng)理論中最根底的、使用最廣泛的模型。

GM〔1，1〕模型是一種單序列的一階線性動態(tài)模型，其微分方程為：■+ax〔1〕=u，令：

Y=x〔0〕〔2〕x〔0〕〔3〕Mx〔0〕〔n〕X=-■［x〔1〕〔1〕+x〔1〕〔2〕］-■［x〔1〕〔2〕+x〔1〕〔3〕］M-■［x〔1〕〔n-1〕+x〔1〕〔n〕］E=11M1

從而有：Y=aX+uE

用最小二乘法求得方程的待定系數(shù)a，u。

存在：■=au=〔XTX〕-1XTY

再由一階線性微分方程的通解離散化可得GM〔1，1〕模型的響應(yīng)函數(shù)為：

■〔1〕〔k+1〕=x〔0〕〔1〕-■e-ak+■k=1，2，…，n

〔4〕

系統(tǒng)復(fù)原值為：

■〔0〕〔k〕=■〔1〕〔k〕-■〔1〕〔k-1〕〔5〕

初始條件：■〔1〕〔1〕=x〔1〕〔1〕=x〔0〕〔1〕

其中a稱為開展灰數(shù)，它反映了數(shù)據(jù)序列估計(jì)值〔包括預(yù)測值〕的開展態(tài)勢，在GM〔1，1〕模型中，-2≤a≤2，否那么模型無意義。u稱為灰作用量，它的大小反映了數(shù)據(jù)的變化關(guān)系，在系統(tǒng)中相當(dāng)于作用量。

將k=2，3，…，n代入〔4〕〔5〕式，可以先求出原始序列的模擬值，用它們和原始序列比照，進(jìn)行誤差檢驗(yàn)，通過后，便可求出未來任意時(shí)刻的系統(tǒng)原始序列的估計(jì)值。

必須指出，任何一個(gè)灰色系統(tǒng)隨著時(shí)間的推移，都有一些隨機(jī)擾動因素慢慢進(jìn)入系統(tǒng)，影響到系統(tǒng)規(guī)律的穩(wěn)定，使得GM〔1，1〕的預(yù)測能力逐漸減弱。因此改良的辦法是，隨時(shí)將新數(shù)據(jù)放到模型中，建立新陳代謝模型，逐步淘汰預(yù)測意義衰減的老數(shù)據(jù)，而把預(yù)測意義更大的新數(shù)據(jù)放入模型，使得模型的預(yù)測能力得到提高。

以上建模過程可以歸納為八個(gè)步驟：

第一步，求累加生成數(shù)據(jù)序列x〔1〕〔k〕；

第二步，確定數(shù)據(jù)矩陣X，Y；

第三步，用最小二乘法求出參數(shù)a，u；

第四步，建立生成數(shù)據(jù)序列模型，求得■〔1〕〔k〕的敘述式；

第五步，求得■〔0〕〔k〕的模擬值；

第六步，進(jìn)行誤差檢驗(yàn)；

第七步，用通過檢驗(yàn)的■〔1〕〔k〕式預(yù)測未來的值；

第八步，建立新陳代謝模型，不斷更新并逐一估算新一年的數(shù)據(jù)。

三、案例應(yīng)用分析

下文將采用基于灰色理論的自由現(xiàn)金流量估值模型對A股某上市公司進(jìn)行估值，從中比擬兩種辦法的異同。為保證本研究的客觀性和獨(dú)立性，本文將該公司簡稱為G公司。下列所有分析中用到的原始數(shù)據(jù)均真實(shí)來自該公司公開發(fā)布的歷年年報(bào)。G公司2022年經(jīng)中國證監(jiān)會核準(zhǔn)在深圳證券交易所掛牌上市。目前，公司總股本5.9億股，資產(chǎn)總值24億元，是一家規(guī)模較大、資金及技術(shù)實(shí)力雄厚、對市場具有較大影響力的企業(yè)。

該公司歷年主要財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)如表1。

表1中波及的計(jì)算公式如下：

營運(yùn)資本增加=本年?duì)I運(yùn)資本-上年?duì)I運(yùn)資本=〔本年流動資產(chǎn)-本年流動負(fù)債〕-〔上年流動資產(chǎn)-上年流動負(fù)債〕

資本支出增加=固定資產(chǎn)增加額+項(xiàng)目物資增加額+在建項(xiàng)目增加額

自由現(xiàn)金流=EBIT×〔1-所得稅稅率〕+折舊-資本性支出增加-營運(yùn)資本增加

根據(jù)表1提供的數(shù)據(jù)，本文采取公式〔2〕進(jìn)行估值，即：

V0=■■+■

V0表示當(dāng)前公司價(jià)值，F(xiàn)CFFt表示t期公司自由現(xiàn)金流量，F(xiàn)CFFT+1表示T+1期公司自由現(xiàn)金流量，WACC表示加權(quán)資本本錢，g表示公司增長率。從此公式看，關(guān)鍵是要估計(jì)未來幾期的公司自由現(xiàn)金流量FCFF，以及加權(quán)資本本錢WACC及公司增長率g。分別估計(jì)如下：

〔一〕用灰色模型對未來幾期FCFF的估計(jì)

該公司上市時(shí)間短，使用它全部年報(bào)加上上市前3年的審計(jì)公報(bào)，筆者才得到6年的自由現(xiàn)金流數(shù)據(jù)〔表2〕，是典型的小樣本、貧信息的不確定系統(tǒng)，正是灰色建?？梢杂兴鳛榈牡胤健?/p>

第一步，求累加生成數(shù)據(jù)序列x〔1〕〔k〕。

根據(jù)表2中提供的原序列，逐一累加可得：

x〔1〕〔k〕=［x〔1〕〔1〕，x〔1〕〔2〕，∧x〔1〕〔n〕］

=〔1.35，2.93，4.69，6.42，7.48，9.09〕

第二步，確定數(shù)據(jù)矩陣X，Y。

將累加生成序列的數(shù)值代入，可得：

X=-■［x〔1〕〔1〕+x〔1〕〔2〕］-■［x〔1〕〔2〕+x〔1〕〔3〕］M-■［x〔1〕〔n-1〕+x〔1〕〔n〕］=-2.141-3.811-5.561-6.951-8.291

Y=x〔0〕〔2〕x〔0〕〔3〕Mx〔0〕〔n〕=1.581.761.731.061.61E=11111

第三步，用最小二乘法求參數(shù)列a，u。

Y=aX+uE

《《=au=〔XTX〕-1XTY=0.04141.7693

這一步波及的手工計(jì)算量雖然很大，但并非不易得解。如果使用MATLAB軟件計(jì)算，那么可以迅速得解。

第四步，建立生成數(shù)據(jù)序列模型，求得■〔1〕〔k〕的敘述式。

■〔1〕〔k+1〕=x〔0〕〔1〕-■e-ak+■

=〔1.35-■〕e-0.0414k+■

=-41.387e-0.0414k+42.737〔6〕

第五步，求得■〔0〕〔k〕的模擬值。

由上式可得：

■〔1〕=［■〔1〕，■〔2〕，■〔3〕，■〔4〕，■〔5〕，■〔6〕］

=〔1.35，3.028，4.639，6.184，7.666，9.089〕

復(fù)原出■〔0〕〔k〕的模擬值：

■〔0〕〔k〕=■〔1〕〔k〕-■〔1〕〔k-1〕

■〔0〕〔k〕=〔1.35，1.678，1.0611，1.545，1.482，1.423〕

第六步，進(jìn)行誤差檢驗(yàn)。

與表2中的原序列比照，計(jì)算出平均相對誤差為12.8%，按照灰色理論的規(guī)范接近三級，是可用的。

第七步，用通過檢驗(yàn)的■〔1〕〔k〕式預(yù)測未來的值。

將k=6代入〔6〕式，得■〔1〕〔7〕=10.453。再復(fù)原出：■〔0〕〔7〕=1.364。這就是2022年自由現(xiàn)金流的估計(jì)值。

依次改變k的取值，就可以估計(jì)出今后數(shù)年的值。

第八步，建立新陳代謝模型。

具體而言，估算出2022年的值就淘汰表2中2022年的值，然后再建立新的原序列，重復(fù)上面第一步到第七步的計(jì)算，得出2022年的估計(jì)值，然后再淘汰表2中2022年的值，依次類推，得出未來幾年的估計(jì)值。這樣做雖然比從第七步直接利用〔6〕式估計(jì)未來幾年值要麻煩得多，但卻更科學(xué)，更精確?？此坪艽蟮挠?jì)算量，如果借助MATLAB軟件，一般不到半小時(shí)就能全部計(jì)算出來。表3是筆者采用新陳代謝模型的計(jì)算結(jié)果。

〔二〕加權(quán)資本本錢WACC的估計(jì)

WACC=KB〔1-t〕■+KE■

其中KB是債務(wù)資本本錢，為了穩(wěn)健性，選用2022年6月末銀行貸款利率中的最大值6.55%；t是G公司作為高新技術(shù)公司享受的所得稅率15%；E/A是股東權(quán)益比例，選用2022―2022年6年的均值79.85%；B/A是負(fù)債比例，為20.15%；KE為普通股的資本本錢，采用CAPM模型計(jì)算：

KE=Rf+《茁〔Rm-Rf〕=3.05%+0.684×〔9.02%-3.05%〕

=7.13%

其中Rf是無風(fēng)險(xiǎn)利率，本文選取的是2022―2022年7年期國債利率的復(fù)利修正值3.05%。G公司的《茁系數(shù)以及市場收益率Rm計(jì)算繁瑣，受篇幅限制，這里只給出結(jié)果，分別是0.684和9.02%。因此可以算出：

WACC=6.55%×0.85×0.2022+7.13%×0.7985

=6.84%

〔三〕公司增長率g的估計(jì)

本文選用公司2022―2022年主營業(yè)務(wù)的復(fù)合增長率5.7%作為公司未來的增長率。

〔四〕公司價(jià)值的估算

將上面已經(jīng)估算出來的數(shù)據(jù)代入公式〔2〕，可得：

V0=■+■+■+■+■=73〔億元〕

73除以5.9億的總股本，每股內(nèi)在價(jià)值為12.37元。