向量模、夾角與坐標(biāo)運算高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與變式演練（全國通用）（解析版）

專題5』向量模、夾角投影與坐標(biāo)運算

目錄

一、熱點題型歸納

【題型一】向量夾角1：坐標(biāo)運算.........................................................1

【題型二】向量夾角2：夾角銳鈍........................................................3

【題型三】向量夾角3：模...............................................................4

【題型四】向量夾角4：復(fù)合型向量夾角..................................................6

【題型五】投影.........................................................................7

【題型六】模與數(shù)量積..................................................................9

【題型七】范圍最值....................................................................11

二、真題再現(xiàn)..........................................................................12

三、模擬檢測..........................................................................16

綜述：

1.模公式：____

同=y/aa=Qx2+y2

I止JHA

\ma+nb\=yj(ma+nb)2=y]in216?|2+2mna*b+n21^|2

2.平面向量數(shù)量叫公式：

（1）d-b=|a||h|cos0o

（2）a-b=xrx2+%丫2。

主要應(yīng)用以下幾個方面：

（1）求向量的夾角，cos0=（此時五7往往用坐標(biāo)形式求解）；

M\b\

（2）求投影，a在3上的投影是磬；

（3）G卷向量垂直，則五?3=0;（4）求向量m五十九3的模（平方后需求五?3）.

【題型一】向量夾角1:坐標(biāo)運算

【典例分析】

（2022?福建南平?高三期末）設(shè)向量￡=（2,0）,石=（1,1）,則￡與B的夾角等于（）

A.2B.工C.至D,

4246

【答案】A

【分析】

直接利用向量的夾角公式求解即可

【詳解】設(shè)￡與石的夾角為8,因為a=(2,o),-=(l,l),所以。汽。=麗=j4+0xji+rW

因為。以0,幻，所以。=:7T，故選：A

【提分秘籍】

基本規(guī)律

兩個非零向量￡、B的夾角：已知非零向量￡與記)=入OB=b,則ZAO8=e

1)叫做￡與B的夾角.

說明：

①當(dāng)夕=0時，2與刃同向；

②當(dāng)。=萬時，￡與^反向；

TT11

③當(dāng)6=5時，2與石垂直，記

【變式演練】

1.(2021?吉林白山?高三期末(文))若向量2=(1,-1)與向量石=(一1,3)的夾角為6，貝ijsin〃=

()

D.4

c-V

【答案】D

【分析】由向量的夾角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系，即得解

八a,blx(-l)+(-l)x32石

【詳解】由題意，cos6=+^=

\a\\b\Jl2+(-l)2X7(-D2+322小5

又。￡[0,乃]二sin0>0

sin，=A/1-COS20=4故選:D

2.(2022?全國?高三專題練習(xí))己知￡=(1,0,1),b=(x,l,-2),且￡2=一3,則向量2與各的

夾角為()

A.券B.?C.-D.[

6336

【答案】A

【分析】先由7坂=-3求出X，再利用空間向量的夾角公式求解即可

【詳解】設(shè)向量￡與石的夾角為8,因為￡=(1,0,1),b=(x,l,-2),且￡$=一3,

所以x—2=—3,得x=—1,所以。=(―1,1,—2),

na-b—1+0-265萬

所以8也麗=標(biāo)標(biāo)7=一三因為北[。㈤，所以，=不，故選：A

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知向量°=向量〃-丐二(6+1,百+1),則2與B的

夾角大小為（)

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】D

【分析】計算可得1=卜1,-6）,利用數(shù)量積公式計算即可得出結(jié)果.

【詳解】?.?向量￡=（6」），向量￡-方=（6+1,6+1）,

b=（-1,-，

cos<a,h>=—^-——=,J10<<a,b><TI，

2x22

.?工工的夾角為芝=150。.故選：D.

【題型二】向量夾角2：夾角銳鈍

【典例分析】

（2023?全國?高三專題練習(xí)）若Z=（x,2）石=（-3,5）,且￡與區(qū)的夾角是鈍角，則實數(shù)x的取

值范圍是（）

A.（一8,號）B.卜°°，與

c.（y,+oo）D.5收）

【答案】C

【分析】直接由且￡與石不共線求解即可.

【詳解】由題意知，/<0且￡與萬不共線，-3工+10<0且5**-6,解得x吟.

故選：C.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

用坐標(biāo)或者數(shù)量積求解夾角銳鈍時，要注意向量共線（同向或者反向）

【變式演練】

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知￡=（1,-2）,3=（1"）,且￡與石的夾角夕為銳角,則實數(shù)

2的取值范圍是（）

A.（；，+4B.1236'+0°）C.1co,』D.（,，一回-圖

【答案】D

【分析】直接由75〉。且￡與B不共線結(jié)合向量的坐標(biāo)運算求解即可.

【詳解】由々與B的夾角，為銳角知44>0日與石不共線，即1—2%>0IL%w-2,即4<；

且4w—2.

故選：D.

2.（2022?安徽?巢湖市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知向量）=（1,-2）,5=（1,幾），則

是3與萬的夾角為銳角''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

[答案]B

【號析】根據(jù)2與萬的夾角為銳角求出4的取值范圍，再結(jié)合必要不充分條件的概念可得答

案.

【詳解】當(dāng)￡與B的夾角為銳角時,37>0且￡與石不共線,

1-22>0

即**-A<—且r—2,

2+2h02

??.“義<g”是"Z與萬的夾角為銳角'’的必要不充分條件.故選：B.

3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知向量Z=（x,3x）石=（-2x,l）,若￡與石的夾角為鈍角,則

X的取值范圍是（）

A.I。']]B.C.（-°0,0）U（M'+8

D-1時加（一川嗚,+9

【答案】D

【4析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義計算即可.

3

【詳解】因為￡與B的夾角為鈍角，所以￡4<0,即—2f+3x<0,解得尢<0或

當(dāng)￡與石共線時,>x---,a={--,--\,b=[-y\\,b=-2a,

x3x6I613J

此時￡和各反向，不滿足題意，

故x的范圍為U佶,+°°）；故選：D.

【題型三】向量夾角3：模

【典例分析】r「

（2022?江蘇?南京市金陵中學(xué)河西分校高三階段練習(xí)）若非零向量后滿足口=收,

（?+2b）±a,則向量￡與B的夾角為（）

A.色B.2C.紅D.紅

6336

【答案】C

【分析】由伍+2?或，得（〃+2牛〃=（）,化簡結(jié)合已知條件和夾角公式可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)向量￡與另的夾角為。（6才解淚）,因為R+*）_L￡,所以僅+*”=0,

所以￡2+273=0,得q+2耶卜0$6=0,因為非零向量￡,B滿足什=卜|,

所以cosO=-；,因為0e[0,㈤，所以。=與，故選：C

【提分秘籍】

基本規(guī)律

|而|=4々一百）2+（〉2->|）2

㈤=而7

|ma+nb|=J（ma+nb）2=y]m21a|2+2mna*b+iv\b|2

【變式演練】

1.（2022.浙江.高三開學(xué)考試）已知向量祇B滿足降1=2,⑸=3,隋-2治=2而則”與5的

夾角為（）

A.巴B.工C.幺D.2

6336

【答案】C

【分析】先對|,-2刈=2屈平方，代入已知條件整理得了石=-3,再利用數(shù)量積公式可求

得.

【詳解】?.?|］一2萬|=2萬，」］一訝|2=12一4無石+昉2=52，

又|利=2,|司=3,.?.無萬=一3，設(shè)&與另的夾角為。，

，8、9八=麗=一51,從而6=2千兀，所以〃與B的夾角。=2手兀.故選：c

2.（2023.全國?高三專題練習(xí)）已知非零向量澗滿足同=2忖，且"與口，則￡與五的夾

角為（）

兀

6-

Ac.

273-1

I答案

B

【分析】利用得到數(shù)量積為0,得到￡石=忸卜然后由數(shù)量積的定義可得夾角余

弦值，從而得夾角大小

【詳解】因為（。-所以（。一3）出=。/一囚=0,所以=W,

所以3住3=d=才=:，結(jié)合?出”［0,司，所以￡與加的夾角為三，故選：B.

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知單位向量入5滿足|￡一，=6忖+可，貝工與丐的夾角為

（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】c

【3析】根據(jù)數(shù)量積的運算律及夾角公式計策用戶

【詳解】解：因為2,分為單位向量，所以,=M=I,

又卜-q=6k+林，所以=30+町，BPa-2a-b+b'=3^fl'+2a-b+b

所以2（才+4一④+了）=0,即2（同2+47石+忸"=0,所以75=-g,

所以cos,,%箭=一；,因為（￡出閆0,句，所以（￡@=g：故選：C

【題型四】向量夾角4：復(fù)合型向量夾角

【典例分析】

（2022.安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））非零向量癡滿足卜+司小叫=2同，則

萬-5與a的夾角為（）

【答案】B

【分析】

根據(jù)給定條件，求出Z石，再利用向量夾角公式計算作答.

【詳解】

由k+田小-可得：仿+4=（14，即：+23）+22,2_￡力+r，解得￡3=0,

一一一一2一-

因此，cos〈a-B,a）=g_）f=9——=—.而〈a-￡a〉e[0,?i],解得〈a-&a〉=g,

\a-b\\a\21al223

所以2-5與1的夾角為故選：B

【提分秘籍】

基本規(guī)律

實際教學(xué)中，許多學(xué)生對于復(fù)合型向量求夾角，容易混淆不清，可以直接把復(fù)合向量設(shè)

為新向量來代入公式求解。

【變式演練】

1.（2022■河北邯鄲?二模）若向量a,行滿足|a|=2,W=2』，且〃％=3,則向量加與B—a

夾角的余弦值為（）.

A6R2A/5r7V2n3聞

291620

【答案】D

【分析】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，結(jié)合平面向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】因為W=26,且￡出=3,所以＞@-￡）=片益4=（2G）2—3=9，

因為忸一4=府存=而+a-2ba=J12+4-6=V10，

b-(b-a)93病

所以向量萬與加夾角的余弦值為故選：D

|斗忸-12^x>/10

2.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知非零向量1、5滿足切石=0,(a+^)(a-^)=0,則向

量5與向量夾角的余弦值為()

A.--B.0

2

C.—D.立

22

【答案】A

【分析】

根據(jù)無5=0,設(shè)4=(1，0)，5=(0,f),根據(jù)(0+5〉(1-5)=0求出/=1,再根據(jù)平面向量的

夾角公式計算可得解.

【詳解】

因為無5=0,所以可設(shè)方=(L0),5=(0/),則萬+5=(11),a-b=(l,-t),

因為(a+5)R-5)=o,所以］_/=0,即r=i.

則cos<5,萬一5>=,=^==一與,故選：A.

\h\\a-h\Id-Vl+rlxV22

3.(2022?遼寧錦州.一模)若同=6卜一司=2同，則向量與G的夾角為()

【答案】A

【分析】

首先求得1石=0,再利用向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】

由條件可知,+耳=,一同，兩邊平方后得力/=0，并且卜-目=2叵同,

(a-b\agi-g.by/3

cos<a-b,a>=

胴理司22

因為向量夾角的范圍是［()4］，所以向量4-方與G的夾角為2故選：A

【題型五】投影

【典例分析】

已知向量五在向量3方向上的投影為-1,向量B在向量五方向上的投影為-右且|瓦=1,貝u

|a+2b\=()

A.2V3B.4C.2D.12

河南省林州市第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高三5月月考數(shù)學(xué)試題

【答案】C

【解析】分析：向量3在向量，方向上的投影為-右求出向量夾角，由向量,在向量B方向上

的投影為-1,求出向量五的模，將成+2日平方，結(jié)合平面向量數(shù)量積公式可得結(jié)果.

詳解：設(shè)五工的夾角為。，向量否在向量1方向上的投影為-g,且由=1,

所以得同cos6=cosd=因為向量1在向量3方向上的投影為一1,

所以|五|cos。=—I,.-.|a|=2,

■.|a+2b\=|a|2+4a-b+4間=22+4x2x1x0+4xl2=4,

\a+2h\=2,故選C.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

7.a在，方向上的投影為：lalcosB=招

2.向量B在公方向上的投影：設(shè)。為￡、B的夾角，則問〈os。為B在￡方向上的投影.

投影也是一個數(shù)量，不是向量.當(dāng)。為銳角時投影為正值；當(dāng)。為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)6

為直角時投影為0;當(dāng)8=0時投影為|H；當(dāng)。=180時投影為-忖.

【變式演練】

1.已知向量a力的夾角為120。，且a=2,。=3,則向量2a+3b在向量2a+匕方向

上的投影為（)

8G,6957619V13

A.-------D.

13,13~6~13

【答案】D

【解析】

試題分析：根據(jù)數(shù)量積公式可得投影為

(n

/—v—\—一c16+8x2x3x—+3x9/—

(22+3“22+1)_42?0+8孤+3、2____________12)_19_

==>=r，

恢+母>+J4x4+4x2x3x(-1j+9^

故選D.

jrI

2.已知向量a,〃的夾角為一，且|a|=4,(—a+6)-(2a-36)=12,則向量8在向量a方

4112

向上的投影是()

A.V2B.3C.4拉D.1

【答案】D

【解析】

(|a+/>)-(2a-36)=123或-亞同-4=0=同=后

試題分析：由已知式子2化簡可得：????,

7-l^lcos—=1

所以向量3在向量a方向上的投影為口4

3.已知向量五，B滿足⑷=5,|五—同=6,恒+同=4,則向量B在向量法上的投影為

2018屆湖南省(長郡中學(xué)、衡陽八中)、江西省(南昌二中)等十四校高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)

理科試題

【答案】-1

【分析】

由已知結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)可求2￡然后代入到向量了在向量：上的投影公式華可求.

|a|

'T———

『棒MYl「二,7,,[36=a2-2Q?匕+

【詳解】|a|=5，|a-b|=6，|Q+=4，~?

2

、16=a?+2Q?b+b

a-b=-5,則向量力在向量2上的投影為絲=?=一1,故答案為：-1.

|a|5

【題型六】模與數(shù)量積

【典例分析】

若向量,，|=1,忖=2,卜一q=2,貝.

河北省唐山市第十二高級中學(xué)2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

【答案】76

【分析】由條件先求萬?方的值，再代入[+'=J(萬+盯求值.

【詳解】忖_1=J(萬—盯=1萬2一2無5+于=Jl+4-253=2解得：2G電=1,

1+B卜+=y/a2+2a-b+b2=J1+4+1=底.故答案為:Jd

【提分秘籍】

基本規(guī)律

平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個非零向量￡與B,它們的夾角是。，則數(shù)量

同同.，叫￡與石的數(shù)量積，記作即有“石巾叫由火0"?》).

規(guī)定。與任何向量的數(shù)量積為0.

說明：兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積的區(qū)別：

⑴兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cos。的符號所決定.

⑵兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成7凡書寫時注意符號“?”在向量運算中不是乘號,

既不能省略，也不能用“x”代替.

(3)(&±5)2=a2±2ab+b2,(a+b)-(a-h)=a-b?

(4)在實數(shù)中，若"0,且a/=0,則。=0,

但是在向量中，若m,且￡石=0，不能推出B=.其中cos〃=0.

⑸已知實數(shù)“、b、C(后0),貝！I而=6cn〃=c,但是向量=不能推出￡=入

如圖：d-b=^a\-\b\-cos/3=|^|-|C)A|,

^-c=|^|-|c|-cosa=|i|-|ft4|,=>￡石=“但ZwL

⑹在實數(shù)中有S"c=e(6-c),但是在向量中(￡7)7=7(左2),

【變式演練】

1.若等邊448c的邊長為3,平面內(nèi)一點M滿足而=］謂+?不，則宿?碗的值為()

A.2B.----C.—D.—2

22

【答案】A

【解析】_

解析：因病=而一刀,而=謂-麗，則麗.麗=g而石?)即前.

MB=-CB2--CACB+-CA2=2--+-=2,應(yīng)選答案A。

92444

2.在△ABC中，AB=4,NA3C=30°,。是邊BC上的一點，且汨?麗=汨?/,

則花?通的值為A.0B.4C.8D.-4

【答案】B

【解析】試題分析：

ADAB=ADAC^Ab*(AB-AC^=ADCB=O=>ADlCB=>AD=ABsin3O0,

ZBAT>=60°=>而?而=4x2xcos60°=4,故選B.

3.已知向量乖滿足同一ab=-l,Rlja(2a-b)=

A.4B.3C.2D.0

［答案］B

分析：根據(jù)向量模的性質(zhì)以及向量乘法得結(jié)果.

詳解：因為無(2〃-6)=2求一無5=2|初2-(-1)=2+1=3,

所以選B.

【題型七】范圍最值

【典例分析】

已知向量a、B的夾角為e,\a+b\=6,忸一可=26，則8的取值范圍是（）

A.0<^<-B.-<0<-C.-<0<-D.O<0<—

332623

［首發(fā)］浙江省溫州市“十五校聯(lián)合體”2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（A卷）

【答案】A

【解析】由|1+4=6,得口?+2孤+聞'=36.......①由日一目=24，得

同2-2標(biāo)+@=12......②

八、2a*b1

由①②得M=24,且=6從而有C°S8=FFF|N不同"=],又0S6工外,

7T

故0K8&',選A.

3

【變式演練】

1.（2022.浙江.樂清市知臨中學(xué)模擬預(yù)測）平面向量甚滿足|￡-引=3,|￡|=2|治，貝!j力與￡

夾角最大值時|￡|為（）

A.&B.73C.2&D.26

【答案】D

【分析】根據(jù)條件對|￡-加=3兩邊平方即可得出萬石=|廬-:從而可求出

?-&g=|52+g,進(jìn)而即可得出cosca-5,萬>=；|5|+裔然后根據(jù)基本不等式即可得

出求出向量夾角的最大值,判斷出|51=石，I￡1=2y/3.

【詳解】因為平面向量滿足I"-加|=3,|“|=2出|,所以

（a-b）2=a2-2a-b+b2=4b2-2a-b+b2=9,

所以萬仍一=己5。r2_乙9，所以0_匕->萬=彳、2—萬力一二4從F一5二、+乙9二二3匕F2十二9

222222

3r91

由夾角公式，cos<a_5z>=絲3=23=匕5|+3?3（當(dāng)且僅當(dāng)％出1=3

4\b\

\a-b\a\6|們44\b\2

即|B|=G時等號成立）.

因為04<4—反萬>V萬，所以04<a—>4■，即151="V5時<a—>="^■最大.

66

此時|￡|=2仍|=2

故選：D

2.已知向量獲滿足：|￡|=13,面=1,日-5各區(qū)12,則Z在「上的投影長度的取值范圍

是（）

5

A.[0,—]B.[0.—]C.[—,1]D.[—,1]

13131313

【答案】D

【解析】

試題分析：由|力=析,|1|=1,|」-51飪12,可得(￡—51)2=169+25—107B4144,整理

——--。㈤5M

得〃小25,根據(jù)則人在〃上的投影長度為—2—,而其投影肯定會不大于帆=1,所

\a\1311

以其范圍為[9,1],故選D.

13

3.已知向量可與石的夾角為5|瓦1=1,|^|=V2,若4瓦+石與3宕+/1孩的夾角為銳角,

則實數(shù)4的取值范圍是()

-5+V13,

A.B.(^^,-V3)U(-V3,：)

2

—

cr5—>/13^r—5+>/13,、n,—5—V13.：^HV3)U(V3,+oo)

C.(一8,-^—)0(—7—,+8)D.(-00,-^—■)U(-(

【答案】D

【解析】根據(jù)夾角為銳角，有cos^W+筱,3瓦<+Xei)=e(0.1),即

|(Ae1+e2)|K3e1+Ae2)|

百+瓦)?(3/+AeJ)>0也即544-(34-/I2)-1-V2-cos^>0即/+54+3>0

/―3工0'22—30'A2—3=^=0

解得4G(一8,三運)u(三運力)U(V3,+00).

《鼠真題再現(xiàn)

-/

1.(■陜西?高考真題(文))已知向量2=(1,用),b=(m,2),若￡〃亂則實數(shù)加等于()

A.-72B.V2

C.-0或aD.0

【答案】c

【分析】應(yīng)用向量平行的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)值即可.

【詳解】由￡〃坂知：1x2一/=0,即加=0或一近.

故選：C.

2.(2022?全國?高考真題(文))已知向量￡=(2,1)石=(-2,4),則卜盟()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

rr

【分析】先求得1方，然后求得卜-4

【詳解】因為￡4=(2,1)—(—2,4)=(4,—3),所以忖-q=a2+(-3)2=5.

故選：D

3.(?山東?高考真題)己知向量Z[cos沼sin割，坂=(cos3si*],那么公石等于()

\JL/J,4J\1,4X乙J

A.；B.@C.1D.0

22

【答案】A

【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算和兩角和的正弦公式可得答案.

…叼、f（5兀.5兀1r（兀.兀、

【洋解】〃=cos—,sin——，b=cos—,sin—,

（12\2）（1212j

5兀7t.5瓦.兀兀

abr=cos—cos—+sin—sin—=cos—=

1212121232

故選：A.

4.（?山東?高考真題）已知點尸（八-2）在函數(shù)'=1°8了的圖象上，點人的坐標(biāo)是（4,3）,那

么|福|的值是（）

A.弧B.2MC.6及D.5及

【答案】D

【分析】根據(jù)p（機(jī)-2）在函數(shù)y=l°g廣的圖象上代入可得利=9,再利用向量的模長公式求

解即可.

【詳解】：點尸（八一2）在函數(shù)）'=kg;的圖象上，

A>og.^=-2,m=（gj=9,

P點坐標(biāo)為（9,-2）,AP=（5,-5）,|麗卜+為5>=5行.

故選：D

5.（2020?山東?高考真題）已知點A（4,3）,B（T,2）,點尸在函數(shù)y=x-4x-3圖象的對稱軸

上，若麗，麗，則點P的坐標(biāo)是（）

A.（2,-6）或（2,1）B.（-2,-6）或（-2,1）

C.（2,6）或（2,-1）D.（-2,6）^（-2,-1）

【答案】C

【分析】由二次函數(shù)時稱軸設(shè)出尸點坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)式不計算可得.

【詳解】由題意函數(shù)y=/-4x-3圖象的對稱軸是X=2,設(shè)P（2,y）,

因為麗J_而，所以麗?麗=（2,3-y）-（-6,2-y）=-12+（3-y）（2-y）=0,解得y=6或

y=~\,所以尸（2,6）或P（2,-l）,

故選：C.

6.（2022全國高考真題（理））已知向量￡而滿足|￡|=1,|昨"|￡-2很|=3,則￡%=（）

A.-2B.-IC.1D.2

【答案】c

【分析】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運算求解即可.

【詳解】解：???|日—25|2=|?2-415+咽2,又??,㈤=1,1降百，陷—25|=3,

，9=1-4展5+4乂3=13-4無5，???日石=1故選：C.

7.（2022.全國?高考真題）已知向量￡=（3,4）3=（1,0）,3=。+B，若<a,c>=<Rc>,貝lJ/二

()

A.-6B.—5C.5D.6

【答案】C

【B析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡即可求得

9+3,+163+/

【詳解】解:c=(3+r,4).cosa,c=cosi,c,BP商一=有，解得f=5,

故選：C

8.（2022.北京?高考真題）在中，AC=3,BC=4,NC=90。.P為dSC所在平面內(nèi)的

動點，且尸C=l,則西?麗的取值范圍是（）

A.1-5,3]B.1-3,5]C.[-6,4JD.[-4,6]

【答案】D

【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（cos6,sin。），表示出百，PB，根據(jù)數(shù)量積的

坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；

【詳解】解:依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系,則C（0,0）,A（3,0）,3（0,4）,

半徑的圓上運動,設(shè)P(cos?,sin0),。?0,2句，所以麗=(3-cos6,-sin6),

PB=(-cos^,4-sin0),

^ft!PA-PB=(-cos6>)x(3-cos^)+(4-sin6?)x(-sin6>)=cos*2634>-3cos6'-4sin6>+sin：!0

=l-3cos^-4sin^

=1—5sin(6+e),其中sin°=—,cos^>=—,

因為-lVsin(e+e)Vl,所以T?l-5sin(e+*)46,即方.麗e[-4,6]；故選：D

9.（2022?全國?高考真題（文））已知向量a=（m,3）,8=（l,m+l）.若力行,則機(jī)=

3

【答案】-丁##-0.75

4

【分析】直接由向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.

33

【詳解】由題意知：萬石=機(jī)+3（機(jī)+1）=0,解得機(jī)=-二.故答案為：

44

10.（2021?全國?高考真題）己知向量〃+B+c=6卜1，W=H=2，ab+bc+c-a=

【答案】-g

【分析】由已知可得0+坂+2）2=0,展開化簡后可得結(jié)果.

【詳解】由己知可得（。+囚+c）-a+b+,2+2,3+\c+c-a）=9+2（a0+~c+La）=O,

一一一一一一9Q

因此，。為++=一不.故答案為：-不.

11.(2022?全國?高考真題(理))設(shè)向量￡,區(qū)的夾角的余弦值為g,且同=1,向=3,則

(2。+坂)4=.

【答案】11

【分析】設(shè)￡與石的夾角為。，依題意可得cos6=；,再根據(jù)數(shù)量積的定義求出[加，最后

根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得.

【詳解】解：設(shè)￡與丐的夾角為。，因為￡與丐的夾角的余弦值為g,即cose=g,

又忖=1,1|=3,所以=,卜^cos"lx3xg=1,

所以(2￡+B>B=2￡3+片=2￡4+W=2xl+32=ll.故答案為：11.

12.(2020?浙江?高考真題)設(shè)V為單位向量，滿足嗚-爆區(qū)&,￡=1+￡,1=3不+4,

設(shè)2,5的夾角為6,則cos?6的最小值為.

【答案】n

UTITQ

【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化簡條件得再根據(jù)向量夾角公式求

4

COS。。函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值.

UULuu1111*3

【詳解】Q2e,-e2|<V2,.-.4-4e,-e2+l<2,:.et-e2>~,

lIUIIUII

2A(Gb)2-e,)2,…4(1+芻芻)

!

..cosc/=r2r2=-------?—IF—-n^-a=-=----if—ir-

a-b(2+2q*.)00+66],4)5+3q..

，(1-一^)>1(1-一二)=吏

35+3￡，

Ie235+3x329,

4

故答案為：||.

13.(2021.浙江.高考真題)已知平面向量2,“,("工。)滿足，=1,阿=2,4%=0,(4-辦,=0.

記向量2在ZB方向上的投影分別為x,%在2方向上的投影為z,則V+V+z?的最

小值為.

【答案】I2

【分析】設(shè)。=(l,0),5=(0,2),C=(zn,〃)，由平面向量的知識可得2x+y-右z=2,再結(jié)合柯

西不等式即可得解.

【詳解】由題意,設(shè)萬=(1,0)&=(0,2),0=(〃?,")，

則(￡。"=m-2〃=0,即相=2〃，又向量2在斕方向上的投影分別為工,)，,所以2=(乂力,

,_-._,(d-a)-cm(x-\)+ny2x-2+y

所以d-a在c方向上的投n影z=———='/J,="——尸，

klVwi+?士0

B|I2x+y+\/5z=2,

fjlfl^x2+r+z2=1^22+12+(±>/5)'(x2+>'2+z2)>-^(2x+y+V5z)'=|,

2

x=—

5

x_y_z

1o

當(dāng)且僅當(dāng),2-T-+V5即y=-時，等號成立，所以V+y2+z2的最小值為故答案

2x4-y+>/5z=2

2=+

5

二2

為：?

14.（2021?北京?高考真題）已知向量。出厘在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小

正方形的邊長為1,則

（a+b）-c=；ab=.

【答案】03

【分析】根據(jù)坐標(biāo)求出d+日，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運算直接計算即可.

【詳解】以a,5交點為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系如圖所示：

則&=(2,1),5=(2,-1)忑=(0,1),

：.a+b=(4,0),(a+^)-c=4x0+0xl=0?.'.aS=2x2+1x(—1)=3.

故答案為：0；3.

久!、模擬檢測

1.（2022.江蘇?金陵中學(xué)模擬預(yù)測）己知向量G=（cosasin6）,^=（0,-1）,0w（09,則向

量萬與向量5的夾角為（）

A.n-0B.--QC.0D.-+6?

22

【答案】D

【分析】先利用平面向量的夾角公式求出夾角余弦值，再利用誘導(dǎo)公式結(jié)合角的范圍進(jìn)行求

解..

【詳解】設(shè)向量G與向量5的夾角為a，由題意，得同=1,忖=1,ab=-sin0，

TTTTTT

所以cosa=-sin6=cos（—+，），因為u+eeg，71），兀］,

222

所以a=]+。，即向量M與向量5的夾角為^+氏故選：D.

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知向量乙=（2,3）石=（%2）,貝『工與區(qū)的夾角為銳角”是

。>一3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】求出￡與3的夾角為銳角時的充要條件是｛x|x>-3且x*g｝,從而判斷出答案.

【詳解】因為￡勺不的夾角為銳角，則cos（￡,今>0且￡與否不共線.

cos^,。〉。時，?.fo=2x+6>0=>x>-3,當(dāng)蘇4時3x=4nx=g,

44

則々與分不共線時，所以2與萬的夾角為銳角的充要條件是“|x>-3且

4

顯然｛x|x>-3且是｛x|x>—3｝的真子集，

即'工與另的夾角為銳角''是"x>-3”的充分不必要條件，A正確.故選：A

3.（2022.山西.懷仁市第一中學(xué)校模擬預(yù)測（文））設(shè)向量￡,各滿足問=2,|￡-耳=6,￡

與石的夾角為（，則w等于（）

A.2B.1C.3D.72

【答案】B

【分析】利用向量數(shù)量積的運算法則及數(shù)量積的定義即得.

【詳解】?.胴=2,￡與石的夾角為9，

22

^-^=a-2a-b+b=2-2x2x\b\x^+\b[=3,

.?腳-2慟+1=0,即忖=1.故選：B.

4.（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））已知心萬、2均為單位向量，且2￡=45+33則2、c

之間夾角的余弦值為（）

A.—B.-C.—D.一

3344

【答案】C

【分析】

變形可得出%-32=4人可得出（2￡-3今2=16片，利用平面向量數(shù)量積的運算可求得

cos<2,">的值，即可得解.

【詳解】

依題意，2￡-3"=4萬，則（213"