全國(guó)卷歷年高考立體幾何小題真題歸類分析2019(含答案)

全國(guó)卷歷年高考立體幾何小題真題歸類分析（含答案）（2015年-2019年，共27題）一、視圖問(wèn)題、位置關(guān)系問(wèn)題、棱長(zhǎng)問(wèn)題等（6題）1.（2018年3卷3）中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是（）【解析】觀擦圖形圖可知，俯視圖為，故答案為A.2.（2016年2卷14），是兩個(gè)平面，m，n是兩條線，有下列四個(gè)命題：①如果，，，那么．②如果，，那么．③如果，，那么．④如果，，那么m與所成的角和n與所成的角相等．其中正確的是：.【解析】根據(jù)平行、垂直有關(guān)定理可以判斷②③④正確，①中條件不能確定，的關(guān)系.3．（2019年2卷7）設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是（）A．α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與β平行 B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線 D．α，β垂直于同一平面【解析】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．4.（2018年1卷7）某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如右圖．圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為A.B.C.D.2【解析】根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，可以確定點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在以圓柱的高為長(zhǎng)方形的寬，圓柱底面圓周長(zhǎng)的四分之一為長(zhǎng)的長(zhǎng)方形的對(duì)角線的端點(diǎn)處，所以所求的最短路徑的長(zhǎng)度為，故選B.5．（2019年3卷8）如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則（）A．BM=EN，且直線BM，EN是相交直線

B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線

C．BM=EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線【解析】如圖所示，作于，連接，BD，易得直線BM，EN是三角形EBD的中線，是相交直線.過(guò)作于，連接，平面平面，平面，平面，平面，與均為直角三角形．設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，易知，，，故選B．6．（2019年2卷16）中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1．則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_(kāi)________．【解析】由圖可知第一層與第三層各有9個(gè)面，計(jì)18個(gè)面，第二層共有8個(gè)面，所以該半正多面體共有個(gè)面．如圖，設(shè)該半正多面體的棱長(zhǎng)為，則，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交正方體棱于，由半正多面體對(duì)稱性可知，為等腰直角三角形，，，即該半正多面體棱長(zhǎng)為．【小結(jié)】這類題主要考查空間想象能力、空間線與線、線與面、面與面的位置關(guān)系，從2019年的三套全國(guó)卷來(lái)看，立體幾何小題考查更加靈活，但萬(wàn)變不離其中，只要基礎(chǔ)扎實(shí)，把握解決立體小題的基本方法，問(wèn)題迎刃而解。例如，2019年2卷的第16題，3卷的第8題都是要求學(xué)生通過(guò)做輔助線補(bǔ)成熟悉幾何體，幫助考生建立空間想象。可見(jiàn)題目雖然新穎，但還是考“割補(bǔ)法”，立體幾何平面化。二、空間角（4題）1.（2018年2卷9）在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A.B.C.D.【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,因?yàn)?，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C.2.（2017年2卷10）已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）.A．B．C．D．【解析】設(shè)，，分別為，，的中點(diǎn)，則和的夾角為和夾角或其補(bǔ)角（異面線所成角為）.可知，，取的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，則可知為直角三角形．，.在中，，即，則，則在中，.在中，.又異面直線所成角為，則其余弦值為．故選C.3.（2016年1卷11）平面α過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為()A. B.C. D.【解析】選A.如圖所示:因?yàn)棣痢纹矫鍯B1D1,所以若設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD=m1,則m1∥m.又因?yàn)槠矫鍭BCD∥平面A1B1C1D1,結(jié)合平面B1D1C∩平面A1B1C1D1=B1D1,所以B1D1∥m1,故B1D1∥m.同理可得:CD1∥n.故m,n所成角的大小與B1D1,CD1所成角的大小相等,即∠CD1B1的大小.而B(niǎo)1C=B1D1=CD1(均為面對(duì)角線),因此∠CD1B1=,即sin∠CD1B1=.4.（2017年3卷16）16．a(chǎn)，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與，都垂直，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線與成角時(shí)，與成角；②當(dāng)直線與成角時(shí)，與成角；③直線與所成角的最小值為；④直線與所成角的最大值為．其中正確的是________（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的編號(hào)）【解析】由題意知，三條直線兩兩相互垂直，畫(huà)出圖形如圖．不妨設(shè)圖中所示正方體邊長(zhǎng)為1，故，，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)保持不變，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，1為半徑的圓．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．則，，直線的方向單位向量，．點(diǎn)起始坐標(biāo)為，直線的方向單位向量，．設(shè)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的坐標(biāo)，其中為與的夾角，．那么在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的向量，．設(shè)與所成夾角為，則．故，所以=3\*GB3③正確，=4\*GB3④錯(cuò)誤．設(shè)與所成夾角為，.當(dāng)與夾角為時(shí)，即，．∵，∴．∴．∵．∴，此時(shí)與夾角為．∴=2\*GB3②正確，①錯(cuò)誤．【小結(jié)】小題考查空間角主要以兩條異面直線所成的角為主，側(cè)重考查幾何法，而解答題主要以線面角、二面角為主，側(cè)重考查坐標(biāo)法。幾何法是通過(guò)平移直線到特殊位置（一般是一到另一條棱的端點(diǎn)或中點(diǎn)），構(gòu)造三角形用余弦定理求解。若幾何體便于建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，也可以用坐標(biāo)法來(lái)求。三、體積問(wèn)題（5題）1．（2015年1卷6）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問(wèn):積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r，則=，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為÷1.62≈22，故選B.2.（2017年2卷4）7.（2107全國(guó)2卷理科4）如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為（）.A．B．C．D．【解析】該幾何體可視為一個(gè)完整的圓柱減去一個(gè)高為6的圓柱的一半，如圖所示．.故選B.3.（2015年2卷6）（一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A.18 B.17 C.16 【解析】由三視圖得,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,截去四面體A-A1B1D1,如圖所示,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,則QUOTEVA-A1B1D1,故剩余幾何體體積為a3-16a3=564.（2019年3卷16）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長(zhǎng)方體挖去四棱錐O—EFGH后所得的幾何體，其中O為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，，3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為_(kāi)__________g.【解析】由題意得，，∵四棱錐O?EFGH的高為3cm，∴．又長(zhǎng)方體的體積為，所以該模型體積為，其質(zhì)量為．5.（2017年1卷16）如圖所示，圓形紙片的圓心為O，半徑為，該紙片上的等邊三角形的中心為.，，為圓上的點(diǎn)，，，分別是以，，為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開(kāi)后，分別以，，為折痕折起，，，使得，，重合，得到三棱錐.當(dāng)?shù)倪呴L(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：）的最大值為_(kāi)______.解析:由題意，聯(lián)結(jié)，交于點(diǎn)，如圖所示，則，，即的長(zhǎng)度與的長(zhǎng)度成正比.設(shè)，則，，三棱錐的高，，則.令，，，令，即，，當(dāng)，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故，則，所以體積的最大值為.【小結(jié)】從2018和2019這兩年全國(guó)卷考題來(lái)看，考慮到三視圖內(nèi)容在新課程標(biāo)準(zhǔn)中已經(jīng)被刪除，三視圖由必考題逐漸變?yōu)槠碱}，但其蘊(yùn)含的“割補(bǔ)法”，“立體轉(zhuǎn)化平面”的思想仍然是重點(diǎn)考查內(nèi)容。對(duì)體積的考查，首先要記住柱體、錐體、臺(tái)體及球體等各種常見(jiàn)幾何體的體積公式以及他們的區(qū)別與聯(lián)系。對(duì)于不規(guī)則幾何體可通過(guò)“割補(bǔ)法”進(jìn)行轉(zhuǎn)化。四、面積問(wèn)題（7題）1.（2016年1卷6）如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是A．B．C．D．【解析】：該幾何體直觀圖如圖所示：是一個(gè)球被切掉左上角的,設(shè)球的半徑為,則,解得,所以它的表面積是的球面面積和三個(gè)扇形面積之和故選A．2.（2016年2卷6）右圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A．20πB．24πC．28πD．32π【解析】C幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為，周長(zhǎng)為，圓錐母線長(zhǎng)為，圓柱高為．由圖得，，由勾股定理得：，，故選C．3．（2015年1卷11）圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20，則r=（）A．1B．2C．4D．8【解析】由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個(gè)圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為r，圓柱的高為2r，其表面積為==16+20，解得r=2，故選B.4.（2017年1卷7）某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為（）A．10 B．12 C．14 D．16【解析】：將三視圖還原可得右圖圖形，故而多面體有兩個(gè)面是梯形，此時(shí)可得,故而選B。5.（2016年3卷9）如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為()A.18+36 B.54+18C.90 D.81【解析】選B.根據(jù)三視圖可知原幾何體是一個(gè)斜四棱柱,上下底面為邊長(zhǎng)為3的正方形,左右為底邊長(zhǎng)為3,側(cè)棱為3的矩形,前后為底邊為3,側(cè)棱為3的平行四邊形,且底邊上的高為6,所以S=9+9+18+18+9+9=54+18.6.（2018年1卷12）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為A.B.C.D.【解析】根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，所以在正方體中，平面與線所成的角是相等的，所以平面與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個(gè)面與中間的，且過(guò)棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長(zhǎng)為，所以其面積為，故選A.7.（2018年2卷16）已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_________．【解析】因?yàn)槟妇€，所成角的余弦值為，所以母線，所成角的正弦值為，因?yàn)榈拿娣e為，設(shè)母線長(zhǎng)為所以，因?yàn)榕c圓錐底面所成角為45°，所以底面半徑為因此圓錐的側(cè)面積為【小結(jié)】對(duì)面積的考查，首先要記住柱體、錐體、臺(tái)體及球體等各種常見(jiàn)幾何體的面積公式以及他們的區(qū)別與聯(lián)系。其次將立體問(wèn)題平面化，對(duì)于多面體，盡量將其補(bǔ)成長(zhǎng)方體，弄清各個(gè)面的形狀特征，如果還弄不清，則需要把整個(gè)側(cè)面還原成平面圖形。對(duì)于旋轉(zhuǎn)體，則需把曲面展開(kāi)成平面圖形再計(jì)算面積。五、球的組合體（5題）1.（2017年3卷8）已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為（）A． B． C． D．【解析】由題可知球心在圓柱體中心，圓柱體上下底面圓半徑，則圓柱體體積，故選B.2.（2015年2卷9）已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB=90,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為A．36πB.64πC.144πD.256π【解析】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時(shí)，故，則球的表面積為，故選C．3.（2016年3卷10）(10)在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個(gè)體積為的球，若，，，，則的最大值是（）A．4πB． C．6πD．【解析】：要使球的體積最大，必須球的半徑最大．由題意知球的與直三棱柱的上下底面都相切時(shí)，球的半徑取得最大值，此時(shí)球的體積為，故選B．4.（2018年3卷10）設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為A.B.C.D.【解析】如圖所示，點(diǎn)M為三角形ABC的重心，E為AC中點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大此時(shí)，,,,點(diǎn)M為三角形ABC的重心,中，有,故選B.5.（2019年1卷12）已知三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為A．B．C． D．【解析】解法1：為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為正三棱錐，，又，分別為，的中點(diǎn)，，，又，平面，∴平面，，為正方體的一部分，，即，故選D．解法2：設(shè)，分別為的中點(diǎn)，，且，為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，又，，中，由余弦