第11計(jì) 耗子開(kāi)門(mén) 就地打洞

數(shù)學(xué)破題36計(jì)第11計(jì)耗子開(kāi)門(mén)就地打洞數(shù)學(xué)破題36計(jì)●計(jì)名釋義《說(shuō)唐》中有這樣一個(gè)故事.唐太宗征北，困在木陽(yáng)城，絕糧.軍師獻(xiàn)計(jì)，沿著鼠洞挖去，可能找到糧食.結(jié)果，真的在地下深處發(fā)現(xiàn)了糧倉(cāng).太宗嘉獎(jiǎng)耗子的牙啃立功，并題詩(shī)曰：鼠郎個(gè)小本能高，日夜磨牙得寶刀，唯恐孤王難遇見(jiàn)，宮門(mén)鑿出九條槽.龐大的數(shù)學(xué)寶庫(kù)也是眾多的“數(shù)學(xué)耗子”啃穿的.你可知道，前1萬(wàn)個(gè)質(zhì)數(shù)就是這些耗子們一個(gè)個(gè)啃出來(lái)的，七位數(shù)字對(duì)數(shù)表也是這樣啃出來(lái)的.數(shù)學(xué)解題，當(dāng)你無(wú)計(jì)可施，或者一口難吞時(shí)，那就決定“啃”吧.●典例示范【例1】已知f(x)=，判定其單調(diào)區(qū)間.【分析】用求導(dǎo)法研究單調(diào)性當(dāng)然可行，但未必簡(jiǎn)便，直接從單調(diào)定義出發(fā)，循序漸進(jìn)，也可將“單調(diào)區(qū)間”啃出來(lái).【解答】設(shè)x1<x2，f(x1)-f(x2)=-.【插語(yǔ)】x1，x2都在根號(hào)底下，想法把它們啃出來(lái).有辦法，將“分子有理化”.【續(xù)解】[KF（S]3[]1-2x1[KF)]-[KF(S]3[]1-2x2[KF)]=易知=△>0.故有原式=<0.故f(x)=的增區(qū)間為（-∞,+∞).【點(diǎn)評(píng)】耗子開(kāi)門(mén)是一個(gè)“以小克大，以弱克強(qiáng)”的策略.函數(shù)的單調(diào)法即不等式的比較法.方法基礎(chǔ)，可靠，只要有“啃”的精神，則可以透過(guò)形式上的繁雜看到思維上的清晰和簡(jiǎn)捷.【例2】（04·天津卷）從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽.設(shè)隨機(jī)變量ξ表示所選3人中女生的人數(shù).（Ⅰ）求ξ的分布列；（Ⅱ）求ξ的數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）求“所選3人中女生人數(shù)ξ≤1”的概率.【思考】本題設(shè)問(wèn)簡(jiǎn)單，方向明確，無(wú)須反推倒算，只要像耗子開(kāi)門(mén)，牙啃立功就是了.【解答】（Ⅰ）6人中任選3人，其中女生可以是0個(gè)，1個(gè)或2個(gè)，P（ξ=0）=;P(ξ=1)=；P(ξ=2)=，故ξ的分布列是：ξ012P（Ⅱ）ξ的數(shù)學(xué)期望是：Eξ=0×+1×+2×=1.(Ⅲ)由（Ⅰ），所選3人中女生人數(shù)ξ≤1的概率是：P（ξ≤1）=P(ξ=0)+P(=1)=.【例3】（04·上海，20文）如圖，直線y=x與拋物線y=x2-4交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與直線y=-5交于點(diǎn)Q.(1)求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（2）當(dāng)P為拋物線上位于AB下方（含點(diǎn)A、B）的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，求△OPQ的面積的最大值.【思考】同例1一樣，本題設(shè)問(wèn)明確，例3題圖思路并不復(fù)雜，只須按所設(shè)條件逐一完成就是，只是要嚴(yán)防計(jì)算失誤.【解答】（1）由設(shè)AB中點(diǎn)為M（x0，y0），則x0=，y0=x0=1.故有M（2，1），又AB⊥MQ，∴MQ的方程是：y-1=-2(x-2)，令y=-5，得x=5，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(5,-5).(2)由（1）知|OQ|=5為定值.設(shè)P(x，x2-2)為拋物線上上一點(diǎn)，由（1）知x2-4x-32≤0，得x∈［-4,8］，又直線OQ的方程為：x+y=0，點(diǎn)P到直線OQ的距離：d=，顯然d≠0，(否則△POQ不存在)，即x≠4-4，為使△POQ面積最大只須d最大，當(dāng)x=8時(shí)，dmax=6.∴(S△POQ)max=·|OQ|·dmax=·5·6=30.【例4】O為銳角△ABC的外心，若S△BOC，S△COA，S△AOB成等差數(shù)列，求tanA·tanC的值.【解答】如圖，有：S△BOC+S△AOB=2S△COA.不妨設(shè)△ABC外接圓半徑為1，令∠BOC=α=2A∠AOC=β=2B，∠AOB=r=2C，則有：sinα+sinγ=sinβ，即sin2A+sin2C=2sin2B.2sin(A+C)cos(A-C)=4sinBcosB.例4題解圖∵sin(A+C)=sinB≠0,cosB=-cos(A+C).∴cos(A-C)+2cos(A+C)=0,cosAcosC+sinAsinC+2(cosA+cosC–sinAsinC)=0.3cosAcosC=sinAsinC，故tanAtanC=3.【點(diǎn)評(píng)】本例中的“門(mén)”不少，其中“同圓半徑相等”是“門(mén)”，由此將面積關(guān)系轉(zhuǎn)換成有關(guān)角的關(guān)系；以下通過(guò)圓心角與圓周角的轉(zhuǎn)換，和差化積與倍角公式，誘導(dǎo)公式、和角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系等依次轉(zhuǎn)換，這便是一連串的“門(mén)”，逐一啃來(lái)，從而最終達(dá)到解題目的.●對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1.在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD—A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，點(diǎn)P棱CC1上，且CC1=4CP.(Ⅰ)求直線AP與平面BCC1B1所成的角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（Ⅱ）設(shè)O點(diǎn)在平面D1AP上的射影是H，求證：D1H⊥AP；（Ⅲ）求點(diǎn)P到平面ABD1的距離.第1題圖2.證明不等式：(n∈N+).3.設(shè)x∈，f(x)=，求f(x)的最大值與最小值.4.若x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求函數(shù)u=的最小值.●參考答案1.建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，有：A(4,0,0)，P(0,4,1)，B(4,4,0)，B1(4,4,4)，D1(0,0,4).(Ⅰ)連BP，∵AB⊥平面BCC1B1.∴AB⊥BP，∠APB是直線AP與平面BB1C1C的夾角，∵=∴tan∠APB=.∴AP與平面BB1C1C所成角為arctan(Ⅱ)連D1B1，則O∈DB1.∵=（4,4,0)，=（-4,4,1）,∴·=-16+16+0=0.即⊥，也就是⊥.第1題解圖已知OH⊥面AD1P，∴AP⊥D1O(三垂線定理)（Ⅲ）在DD1上取||=1，有Q(0,0,1)，作QR⊥AD1于R，∵RQ∥AB，∴PQ∥面ABD1，∵AB⊥面AA1D1D，∴AB⊥QR，則QR⊥面ABD1，QR之長(zhǎng)是Q到平面ABD1的距離，∵S△ADQ=||·||=]||·||.即：4·||=4×3，∴||=.已證PQ∥ABD1，∴點(diǎn)P到平面ABP1的距離為.點(diǎn)評(píng)：雖是“綜合法”證題，但也并非“巷子里趕豬，直來(lái)直去”，特別（Ⅱ）,(Ⅲ)兩問(wèn)，本解都用到了若干轉(zhuǎn)換手法.2.只須