北師大版必修第二冊(cè)5.2平面與平面垂直優(yōu)選作業(yè)

【優(yōu)編】5.2平面與平面垂直-1優(yōu)選練習(xí)一．填空題1．如圖，正三棱柱中，，若二面角的大小為，則點(diǎn)到直線距離為_(kāi)_____.2．在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱(chēng)之為鱉臑，在鱉臑中，平面，且有，，，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的面積的最小值為_(kāi)_______.3．已知四面體內(nèi)接于球O，且，若四面體的體積為，球心O恰好在棱DA上，則球O的表面積是_____．4．所在平面外一點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等,那么點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影一定是的_______.5．如圖，已知直四棱柱的所有棱長(zhǎng)等于1，，和分別是上下底面對(duì)角線的交點(diǎn)，在線段上，，點(diǎn)在線段上移動(dòng)，則三棱錐的體積最小值為_(kāi)_____.6．三棱錐中，⊥平面，,,，則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)____.7．在的二面角的一個(gè)半平面內(nèi)有一點(diǎn)，它到另一個(gè)半平面的距離等于1，則點(diǎn)到二面角的棱的距離為_(kāi)_______.8．如圖，在三棱錐中，三條側(cè)棱，，兩兩垂直且相等，是中點(diǎn)，則與平面所成角的大小是______.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）9．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，底面滿足，，若該三棱錐體積的最大值為3.則其外接球的體積為_(kāi)_______.10．在空間四邊形ABCD中,AC=BC,AD=BD,則異面直線AB與CD所成角的大小為_(kāi)______.11．如圖，已知四面體的棱平面，且，其余的棱長(zhǎng)均為1，四面體以所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)弧度，且始終在水平放置的平面上方，如果將四面體在平面內(nèi)正投影面積看成關(guān)于的函數(shù)，記為，則函數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.12．在四面體中，，，，則四面體外接球的表面積是_______．13．《九章算術(shù)》中稱(chēng)四個(gè)面均為直角三角形的四面體為鱉臑，如圖所示，若四面體為鱉臑，且平面，，則與平面所成角大小為_(kāi)_______（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）14．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，則平面和平面的距離為_(kāi)_______.15．已知等邊的邊長(zhǎng)為，，分別為，的中點(diǎn)，將沿折起得到四棱錐.點(diǎn)為四棱錐的外接球球面上任意一點(diǎn)，當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，到平面距離的最大值為_(kāi)_____.

參考答案與試題解析1．【答案】【解析】根據(jù)二面角的定義，找到二面角的平面角，即可求解.【詳解】由為正三棱柱可知，為正三角形，且,取的中點(diǎn)為，連接,所以,所以即為二面角的平面角，所以，在中，所以點(diǎn)到直線距離為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查二面角的平面角的作法，考查作圖能力與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2．【答案】【解析】作于,于,連接,由題意可得,,，易得平面,即,故求面積的最小值轉(zhuǎn)化為求出的最小值即可.【詳解】作圖如下：作于,于,連接,在鱉臑中，平面，且有，，，所以,,易得,,又,故平面,所以,，即,所以.設(shè),則,因?yàn)?所以,當(dāng)時(shí),最小為.因?yàn)?所以最小為時(shí),有最小值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查線面垂直的判定與性質(zhì)的靈活運(yùn)用,通過(guò)作輔助線把求面積的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值和得到等量關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合性強(qiáng)型試題.3．【答案】【解析】根據(jù),可知△為直角三角形,其外接圓的圓心為AC的中點(diǎn),連,可知平面,根據(jù)為的中點(diǎn)可知平面,所以為四面體的高,根據(jù)四面體的體積可求得,在直角三角形中由勾股定理可求得外接球的直徑,從而可得球的半徑,再由球的表面積公式可求得球的表面積.【詳解】如圖:在三角形ABC中,因?yàn)?所以△為直角三角形,所以三角形ABC的外接圓的圓心為AC的中點(diǎn),連,根據(jù)垂徑定理,可得平面,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)可知平面,所以為四面體的高.所以,解得.所以.所以四面體的外接球的半徑為2,表面積為=.【點(diǎn)睛】本題考查了球與四面體的組合體,三棱錐的體積,球的表面積公式,利用垂徑定理和中位線平行得到平面是解題關(guān)鍵.屬于中檔題.4．【答案】外心【解析】由所在平面外一點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等可得,斜線在底面的射影相等;由三角形外心的性質(zhì)可得是的外心.【詳解】作圖如下:由題意可得,,面,,故,,故答案為:外心【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的性質(zhì)及三角形外心的定義;屬于中檔題；三角形外心是三角形外接圓的圓心,亦是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn);其性質(zhì):到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.5．【答案】【解析】因?yàn)镃1到平面BB1D1D（即三棱錐底面O1MH）的距離為定值，所以當(dāng)△O1MH的面積取得最小值時(shí)，三棱錐的體積最小，將平面BB1D1D單獨(dú)畫(huà)圖可得，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B處時(shí)，△O1MH的面積有最小值，求出三棱錐的體積即可?！驹斀狻恳?yàn)橹彼睦庵鵄BCD？A1B1C1D1的底面是菱形,∠ABC=60°，邊長(zhǎng)為1，∴O1C1⊥平面BB1D1D,且O1C1=,O1B1=，∴C1到平面BB1D1D的距離為O1C1=，∵OH=3HB1，點(diǎn)M是線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)△O1MH的面積取得最小值時(shí)，三棱錐的體積有最小值。將平面BB1D1D單獨(dú)畫(huà)圖可得，當(dāng)B點(diǎn)到O1H的距離最小時(shí)，△O1MH的面積有最小值。過(guò)點(diǎn)B做BF//O1H，可得直線BF上方的點(diǎn)到O1H的距離比直線BF上的點(diǎn)到O1H的距離小，而線段BD上除B點(diǎn)外的所有點(diǎn)都在直線BF下方，到O1H的距離比B點(diǎn)到O1H的距離大。即當(dāng)M點(diǎn)在B點(diǎn)時(shí)，△O1MH的面積取得最小值，且三棱錐的體積有最小值。連接O1B,則O1B=OB1==，∴B1到O1B的距離d===，∵OH=3HB1，∴H到直線O1B的距離為d=?！?==，∴===。故答案為：。【點(diǎn)睛】本題考查了四棱柱的結(jié)構(gòu)特征和三棱錐的體積計(jì)算，動(dòng)態(tài)動(dòng)點(diǎn)的最值問(wèn)題需要先確定點(diǎn)的位置，屬于較難題。6．【答案】【解析】根據(jù)題設(shè)位置關(guān)系，可知以為長(zhǎng)．寬．高的長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐的外接球，根據(jù)這一特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算.【詳解】設(shè)外接球的半徑為，則∴【點(diǎn)睛】對(duì)于求解多條側(cè)棱互相垂直的幾何體的外接球，可考慮將該幾何體放入正方體或者長(zhǎng)方體內(nèi)，這樣更加方便計(jì)算出幾何體外接球的半徑.7．【答案】【解析】為二面角的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn).是它到另一個(gè)面的距離,,是它到棱的距離.得出為二面角的平面角,在中求解即可.【詳解】作圖如下:為二面角的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn).是它到另一個(gè)面的距離,,是它到棱的距離.,，又，平面,得出,所以為二面角的平面角,.在中,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定和性質(zhì)及二面角的平面角的定義;把語(yǔ)言文字轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題;考查學(xué)生的空間想象能力.8．【答案】【解析】根據(jù)題意及線面垂直的判定定理可得平面，即可分析得點(diǎn)在底面的射影在上，即可找到線面角，結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】連接,因?yàn)槿龡l側(cè)棱，，兩兩垂直且相等，是中點(diǎn)，所以為正三角形，所以,所以平面,過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則,平面，所以即為與平面所成的角，不妨設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為2，則,在中，由余弦定理可得，,所以與平面所成的角為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查線面角的求法，屬于基礎(chǔ)題.9．【答案】【解析】畫(huà)出示意圖，利用體積最大時(shí)所處的位置，計(jì)算出球的半徑從而算出球的體積.【詳解】如圖所示：設(shè)球心為，所在圓面的圓心為，則平面；因?yàn)椋?，所以是等腰直角三角形，所以是中點(diǎn)；所以當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，為射線與球的交點(diǎn)，所以；因?yàn)?，設(shè)球的半徑為，所以，所以，解得：，所以球的體積為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球的相關(guān)計(jì)算，難度較難.處理球的有關(guān)問(wèn)題時(shí)要充分考慮到球本身的性質(zhì)，例如：球心與小圓面圓心的連線垂直于小圓面.10．【答案】【解析】取的中點(diǎn)，證明面，即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連結(jié)，又，面，又，，異面直線AB與CD所成角的大小為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，可通過(guò)證明線面垂直得到，是基礎(chǔ)題．11．【答案】【解析】用極限法思考.當(dāng)直線平面時(shí),有最小值,當(dāng)直線平面時(shí),有最大值,這樣就可以求出函數(shù)的取值范圍.【詳解】取的中點(diǎn),連接,,,于是有平面,所以,，其余的棱長(zhǎng)均為1,所以,到的距離為,當(dāng)直線平面時(shí),有最小值,最小值為：；當(dāng)直線平面時(shí),有最大值,最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐的幾何性質(zhì),考查了線面垂直的判定與應(yīng)用,考查了空間想象能力.12．【答案】【解析】由△PAB為等邊三角形，且平面可知，，即可找到球心所在的位置，列出等量關(guān)系即可求出半徑.【詳解】∵，，∴平面．設(shè)是外接球球心，是的中心，平面，則，，則，故四面體外接球的表面積是．【點(diǎn)睛】“切”“接”問(wèn)題處理的注意事項(xiàng)(1)“切”的處理解決與球的內(nèi)切問(wèn)題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作截面來(lái)解決．如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過(guò)球心的對(duì)角面來(lái)作．(2)“接”的處理把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的外接問(wèn)題．解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑．13．【答案】【解析】先由線面垂直判定定理，得到平面，推出為與平面所成角，再由題中數(shù)據(jù)，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槠矫?，所以；又四面體四個(gè)面均為直角三角形，，所以，又，平面，平面；所以平面，所以，因此為與平面所成角，又，所以，因此與平面所成角大小為【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面所成的角，根據(jù)線面角的定義找出線面角，即可求解，屬于?？碱}型.14．【答案】1【解析】由正方體的性質(zhì)得AB為平面和平面的距離【詳解】因?yàn)檎襟w的對(duì)面互相平行，AB均于平面和平面垂直，故AB為平面和平面的距離，即為1故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查正方體的基本性質(zhì)，考查空間中線線．線面．面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，是基礎(chǔ)題．15．【答案】【解析】折疊為空間立體圖象，得出四棱錐的外接球的球心，求得四棱錐的外接球的半徑，則，由此能求出四棱錐的體積的最大時(shí)，點(diǎn)到平面距離的最大值．【詳解】由題意得，取