2019年高考數(shù)學(xué)（理）考點(diǎn)一遍過考點(diǎn)32直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)含解析

考點(diǎn)32直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

旁擁展攵

(1)以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.

理解以下判定定理：

?如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.

?如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.

理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明：

?如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個(gè)平面垂直.

(2)能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.

知識(shí)整合,

一、直線與平面垂直

1.定義

如果直線,與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線/與平面a互相垂直.記作：71%圖形表示如

【注意】定義中的“任意一條直線”這一詞語(yǔ)與“所有直線”是同義語(yǔ)，與“無(wú)數(shù)條直線”不是同義語(yǔ).

2.直線與平面垂直的判定定理

一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.

文字語(yǔ)言

他記為：線線垂直=線面垂直

I

圖形語(yǔ)言V

符號(hào)語(yǔ)言7±a,J±b,aua,Zxza,ab=P01工a

作用判斷直線與平面垂直

【注意】在應(yīng)用該定理判斷一條直線和一個(gè)平面垂直時(shí)，一定要注意是這條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,

而不是任意的兩條直線.

3.直線與平面垂直的性質(zhì)定理

垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.

文字語(yǔ)言

簡(jiǎn)記為：線面垂直今線線平行

ab

圖形語(yǔ)言

勺1r.

a.La}=a//b

符號(hào)語(yǔ)言

h.La

①證明兩直線平行；

作用

②構(gòu)造平行線.

4.直線與平面所成的角

（1）定義：一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交

點(diǎn)叫做斜足.

過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影.

平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的里鎬，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.

（2）規(guī)定：一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角等于9（）；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說

7T

它們所成的角等于0.因此，直線與平面所成的角a的范圍是［0,巴］.

.......................2

5.常用結(jié)論（熟記）

（1）若兩條平行線中一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.

（2）若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)任何一條直線.

（3）過空間任一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.

（4）過空間任一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.

二、平面與平面垂直

1.定義

兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.平面。與平面￡垂直，記作

7.圖形表示如下：

2.平面與平面垂直的判定定理

一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.

文字語(yǔ)言

簡(jiǎn)記為：線面垂直=面面垂直

1

圖形語(yǔ)言7

符號(hào)語(yǔ)言7±o,lu°0。1B

作用判斷兩平面垂直

3.平面與平面垂直的性質(zhì)定理

兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.

文字語(yǔ)言

簡(jiǎn)記為：面面垂直=線線平行

a

a

圖形語(yǔ)言

J

a。=1

符號(hào)語(yǔ)言=Q_L￡

aua

a-LI

作用證明直線與平面垂直

4.二面角

（1）二面角的定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面.

從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做三面扁.

這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.

（2）二面角的平面角的定義：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射

線，則這兩條射線構(gòu)成的角叫做這個(gè)二面角的平面角.

（3）二面角的范圍：［0,兀］.

5.常用結(jié)論（熟記）

（1）兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直.

（2）兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.

（3）如果兩個(gè)平面互相垂直，那么過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)且垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi).

三、垂直問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系

平面幾何的定理

線線垂直

、'~7T~~ST

考向一線面垂直的判定與性質(zhì)

線面垂直問題的常見類型及解題策略：

(1)與命題真假判斷有關(guān)的問題.

解決此類問題的方法是結(jié)合圖形進(jìn)行推理，或者依據(jù)條件舉出反例否定.

(2)證明直線和平面垂直的常用方法：

①線面垂直的定義；

②判定定理；

③垂直于平面的傳遞性(a//h,a1a=>b1a^

④面面平行的性質(zhì)(。_Le,a〃/=a_L/?)；

⑤面面垂直的性質(zhì).

(3)線面垂直的證明.

證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理

轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.

(4)線面垂直的探索性問題.

①對(duì)命題條件的探索常采用以下三種方法：

a.先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；

b.先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明其充分性;

c.把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，探索命題成立的條件.

②對(duì)命題結(jié)論的探索常采用以下方法：

首先假設(shè)結(jié)論存在，然后在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行推理論證，如果通過推理得到了合乎情理的結(jié)論就肯定假設(shè)，如果得到

了矛盾的結(jié)果就否定假設(shè).

典例引領(lǐng)

典例1如圖所示，A/WB和A4DC都是以。為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且/B4C=60。，下列說法中錯(cuò)誤的是

A.4DJL平面BDCB.BD1平面4DC

C.DC_L平面4BDD.BCL平面力BD

【答案】D

【解析】易知幺。J-BD,ADLDC.所以AD坪面BDC：

又匕ABD與△4DC均為以。為直角頂點(diǎn)的等股直角三角形.所以AB=AC,BD=DC=^AB.

02

又乙R4C=60。,所以△加C為等邊三角形:

故BC=AB=MBD,

所以zBDC=90：即BD±DC.

所以BD_L平面ADC,

同理。CJ_平面月BD.故選D.

變式拓展

1.如圖，在棱長(zhǎng)為I的正方體ABC。一A4GA中，點(diǎn)E、尸分別是棱BC、CG的中點(diǎn)，P是底面ABC。上（含

邊界）一動(dòng)點(diǎn)，且滿足42，石廣，則線段4P長(zhǎng)度的取值范圍是

A

A"

A.1,----

2

c.[1,6]

典例引領(lǐng)

典例2如圖，在三棱柱4BC-4B1G中，各個(gè)側(cè)面均是邊長(zhǎng)為2的正方形，。為線段4c的中點(diǎn).

(1)求證：平面"C/1；

(2)求證：直線.BiII平面BC/；

(3)設(shè)M為線段PG上任意一點(diǎn)，在△8G。內(nèi)的平面區(qū)域(包括邊界)是否存在點(diǎn)&使CE_LDM?請(qǐng)說明理由.

【解析】(1)?.?三棱柱“BO-"/]C】中，各個(gè)側(cè)面均是邊長(zhǎng)為2的正方形,

..CC\LBC,CCALAC

...西1,平面/Z?C,

又???BDu平面48C,

工BD,

又底面為等邊三龜形，防線段4C的中點(diǎn),

LAC,

又7tCnCCt=C,

：.BD呼面ACC/*.

<2）如圖，連接8,C交BC,于點(diǎn)0,連接。。,

則。為B.C的中點(diǎn)，

?10是AC的卬點(diǎn)，,?.。01小4，

又。Du平面8JD,佃砰面BCJ）,

?.?線AB.I平面8QD.

（3）在△3￡。內(nèi)的平面區(qū)域（包括邊界）存在點(diǎn)M使CELDM,此時(shí)E在線段加。上，證明如下:

如圖，過c作CE,G。，交線段CW于點(diǎn)E,

由（1）可知,BD_L平面

又CEu平面4CC/1,BD1CE,

由C/?_LC[/),BDr\C\D=D,得CE_L平面

?.?DMu平面BC1。,

?,.CE1DM,

變式拓展

2.如圖1所示，在Rt^ABC中，/e90°,D,〃分別為〃；46的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為線段⑺上的一點(diǎn)，將△ADE沿

理折起到的位置，使4月15，如圖2所示.

4

(1)求證：A.F1BE；

(2)線段A8上是否存在點(diǎn)0,使平面OE。？說明理由.

考向二面面垂直的判定與性質(zhì)

判定面面垂直的常見策略：

(1)利用定義(直二面角).

(2)判定定理：可以通過直線與平面垂直來(lái)證明平面與平面垂直.

(3)在運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，若沒有與交線垂直的直線，則一般需作輔助線，基本作法是過其中一個(gè)平面內(nèi)

一點(diǎn)作交線的垂線，這樣就把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直.

典例引領(lǐng)

11

,EF=EB=-FC=2EA=-FD

典例3已知在梯形/BC。中，AB〃CD,瓦F分別為底上的點(diǎn)，且EF14紇2,2,沿

EF將平面AEFD折起至平面4EFDL平面EBCF,如圖.

F

(1)求證：平面BCDl平面BDF；

(2)若AE=2,求多面體4BCDEF的體積.

【解析】(1)由平面4EFD，平面EBCF,且DF_LEF知DF，平面EBCF.

而DFU平面BDF,所以平面BDF，平面EBCF一

由BF=2a,BC=2&、FC=4,+BC1=FC1,即BCJ.BF,

又3CU平面EBCF,

所以BC1?平面8DF.

又BCU平面BCD,所以平面BCD_L平面BD廣.

(2)依題意知，多面體4BCDE廣是三棱臺(tái)力BE—D仃，

易得高為EF=2,

兩個(gè)底面面積分別是2和8,

故體積為:X(2+8+V25T8)=

典例4如圖,直三棱柱4BC中，C,E分別是的中點(diǎn),AB=BC

(1)證明:BG〃平面&CD；

(2)證明：平面”/Cl平面4CC/1

【解析】⑴連接A仔點(diǎn)。茂接DO.則。罡4c■的中點(diǎn).

因?yàn)轷?時(shí)卬點(diǎn)用以。0〃8口.

因?yàn)镺DU平面4CD.8Q《平面人約,

所以BCW平面41s.

(2)取AC的中點(diǎn)F,逢柒E0.OF,F3,

瞅。是AC,的中也

眥、OF/AL4.且。F=；44,.

顯然B￡"A4,且BE=；AA,,

瞅"〃8E目OF=BE,

則四邊形BEOF是平行四邊形.

所以EO〃BF,

因?yàn)?B=BC,所以BFJ.4C.

又BF1cq

所以直線BF1平面47cl勺.

因?yàn)镋O〃BF,所以直線E。，平面4CC']

因?yàn)镋Ou平面4/C,

所以平面4/C'平面"CC/r

變式拓展

3.如圖所示，M,N,夕分別是正方體ABC。-A4G。的棱16,BC,上的點(diǎn).

(1)若空="，求證:無(wú)論點(diǎn)P在D仄上如何移動(dòng)，總有BPJLMN;

MANC

(2)棱如上是否存在這樣的點(diǎn)只使得平面A尸G，平面AACG?證明你的結(jié)論.

考向三線面角與二面角

求直線與平面所成的角的方法：

(1)求直線和平面所成角的步驟：

①尋找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；

②連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；

③把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過解三角形，求出該角.

(2)求線面角的技巧：

在上述步驟中，其中作角是關(guān)鍵，而確定斜線在平面內(nèi)的射影是作角的關(guān)鍵，幾何圖形的特征是找射影的依據(jù)，射

影一般都是一些特殊的點(diǎn)，比如中心、垂心、重心等.

求二面角大小的步驟：

簡(jiǎn)稱為“一作二證三求”.作平面角時(shí)，一定要注意頂點(diǎn)的選擇.

典例引領(lǐng)

典例5正三棱柱ABC—a4G的所有棱長(zhǎng)都相等，。是AG的中點(diǎn)，則直線力。與平面4。。所成角的正弦值為

C

-I-5

【答案】B

【解析】解法一：由正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，依據(jù)題設(shè)條件，可知為DJ■平面4CD,.?.用DJ_DC,

故為直角三角形.設(shè)棱長(zhǎng)為1,則有㈤=乎=乎：DC=當(dāng)，

=gx與x*

///8

設(shè)A到平面BXDC的距離為h,則有匕t0c=%皿,

.1,?1?.1,V151731.2

??WXAXSA”￡C=§x3DinDxS△皿，?.§xAx-y-,..h=~i=.

h4

設(shè)直線AD與平面BXDC所成的角為仇則sin8===J

AD5

解法二：在正三棱柱中，由D為4G中點(diǎn)可證4D1平面400，如圖，作團(tuán)JLCD，，4DJL49?

又B、DCZ)=￡>,...々/"L平面4。。，.../AOH為所求的線面角.

設(shè)棱長(zhǎng)為2,在“。力中由等面積法得A"=*,

5

4.

c4

AsinZADH=-^=-9故選B.

V55

典例6如圖，直三棱柱ABC-A旦G的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E,尸分別是BC,CG的中點(diǎn).

(1)證明：平面平面48CC1；

(2)若直線AC與平面AA8與所成的角為45°,求三棱錐F-AEC的體積.

【解析】(1)因?yàn)槿庵鵄BC-44G是直三棱柱,

所以AE工BB],

又E是正三角形A8C的邊BC的中點(diǎn)，

所以AEJ.8C,因此AEL平面qBCC，

而AEu平面4E/L

所以平面AEF1平面BMC「

(2)如圖，設(shè)A8的中點(diǎn)為。，連接A。。。，

硒ZUfC是正三角附，

f^XCDlAB,

又三畏柱ABC-4AG是鹿三慢柱，

所以CD，/4,因此CD，平面4.M因，于是/JD罡*線4c與平面4H14所成的角.

的遺颯/。。?45二W4D-a>-gw,6.

在RtA<4D中,伏.(3一心,

瞅FV=：幺邛，

虻接錯(cuò)尸-皿mf?『=，$3■??=]XX.

332112

變式拓展

4.如圖，四邊形4BCD為矩形，四邊形BCEF為直角梯形，BF//CE.BF1BC.BF<CE.BF=2.AB=l^D=75.

(1)求證:BC1AF-

(2)求證:力尸〃平面OCE；

(3)若二面角E-BC-4的大小為120°,求直線DF與平面4BCD所成的角.

典例引領(lǐng)

典例7已知四(力是正方形，6是四的中點(diǎn)，將△D4E和△C8E分別沿應(yīng)'、〃折起，使四與跖重合，4、B

兩點(diǎn)重合后記為點(diǎn)只那么二面角尸-CO-E的大小為^

【答案】30

【解析】如圖，取8中點(diǎn)尸，連接及、EF.

'：EP]_PD,EPVPC,「.EPl平面PCD,：.EP1CD.

;PC=PD,：.PF]_CD,

又抄TB￡=P,，CD1平面PSF,

又Mz平面2￡F,：.CD]_EFf

二.乙PFE為二面角P-CD-E的平面角.

設(shè)正方形力靦的邊長(zhǎng)為2,

在RtZ\EFP中，峪1,EF=2,快30°.

【名師點(diǎn)睛】（1）二面角的平面角的頂點(diǎn)是二面角棱上任意一點(diǎn).為了解題方便，可以把其放在某一特殊位置，這

要具體問題具體分析.

（2）求二面角的關(guān)鍵是找出（或作出）平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂線法來(lái)作平面角，即過

二面角的一個(gè)半平面內(nèi)且不在棱上的一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面

角的平面角或其補(bǔ)角.

典例8在A4BC中，4B=4,4C=4&/B4C=45°,以4c的中線BD為折痕，將A4BD沿BD折起，如圖所示，構(gòu)成二

面角A_BD_C,在平面BCD內(nèi)作CE1CD,且CE=@

(1)求證：CE〃平面4BC；

(2)如果二面角A-ED-C的大小為90°,求二面角B-4C-E的余弦值.

【解析】(1)由48=4/0=4蜴/840=45°得80=4,

所以A4BC為等腰直角三角形，

由“為4c的中點(diǎn)得BDJ.4C,

以4c的中線BD為折痕翻折后仍有BDJ.C。

因?yàn)镃EJ.O),所以CE〃BD,

又CEU平面4BC,8。＜=平面48。，

所以CE〃平面4BD.

(2)因?yàn)槎娼?-8。-。的大小為90°,所以平面4BD1平面BDC,

又平面"8。n平面8DC=BD,A'D1BD,

所以4D，平面5DC,因此父D1CE,

又C￡LCD,A*DOCD=D,

所以CE工平面A'CD,從而C￡LAX,

由題意矛。，DC?2V2,

所以在RWTDC沖，4y=4.

如圖，設(shè)*ap點(diǎn)為F,遁接萬(wàn)尸，

因?yàn)榇?■bC■4,所以5F1AX,且5萬(wàn)■2火，

如圖，設(shè)*￡的中點(diǎn)為明連接FG,BG,則FG〃CE,

由口？1A'C^FGXA'C,

所以的G為二曲角8-4七-E的平面角，

如圖，連接6M在ABCE中，因力欣：=4.C￡=〃"C￡=13S?，所以8￡=g.

在RtADCE中，DI:=J(2/)2+(?2=/Q

于是在RtA/TDE中,A'E=J(2#)2+(g)2=3姆

在A/TBE中，BG1=-A'B2+-BE2--A'E2=—

2242

12+]__33

所以在AEFG中，cosNBFG=----?-%=

2x2A/3x—

2

因此二面角B-4C-E的余弦值為一邁.

3

變式拓展

5.如圖，在長(zhǎng)方體A8CD—中，AD=AAi=l,AB=2,點(diǎn)￡是線段的中點(diǎn).

(1)求證：DQCE；

(2)求二面角2-EC-。的正切值.

、聲點(diǎn)沖關(guān)聲

1.下列命題中不正確的是

A.如果平面平面J3,且直線/〃平面a,則直線平面￡

B.如果平面。，平面￡,那么平面a內(nèi)一定存在直線平行于平面￡

C.如果平面a不垂直于平面B,那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面B

D.如果平面aJL平面y,平面￡1.平面y,aD8=1,那么7±y

2.設(shè)a,b,c表示三條直線，a,￡表示兩個(gè)平面，則下列命題中不正確的是

aLb

c±a

A.nc10B.bu。

a//p

c是a在￡內(nèi)的射影

b//c

a//a

C.Aua}=c//aD.>=>bA.a

bLa

c<za

3.如圖，在三棱錐P-ABC中，PAj_底面ABC,PA=ACf則直線PC與平面4BC所成角的大小為

A.30°

C.60°D.90

4.如圖，三條相交于點(diǎn)〃的線段為，PB,尸C兩兩垂直，〃在平面48。外，PH上平面ABC于H,則垂足，是△四C的

A.外心

C.垂心D.重心

5.如圖，4B,以〃為空間四點(diǎn)，在AABC中，AF2,AUBO業(yè),等邊三角形力施以四為軸旋轉(zhuǎn)，當(dāng)平面力〃從L平面ABC

時(shí)，CD-

A.y/3B.2

C.在D.1

6.如圖，已知六棱錐人力8。％尸的底面是正六邊形，為1.平面力比，PA=2AB,則下列結(jié)論正確的是

A*

A.PBLADB.平面月1員L平面月%1

C.直線及7〃平面為￡D.直線如與平面4%所成的角為45°

7.《九章算術(shù)》卷五《商功》中有如下問題：今有芻薨，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無(wú)廣，高一丈，問積幾

何？問題中“芻薨”指的是底面為矩形的屋脊?fàn)畹膸缀误w，如圖1,該幾何體可由圖2中的八邊形4BCDEFGH沿

BG,CF向上折起，使得4H與DE重合而成，設(shè)網(wǎng)格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,則此“芻蔑”中EF與平面BCFG

所成角的正弦值為

ai

A.5

yio

C.5

8.如圖,在矩形ABCD中,4廬2,AIA3,點(diǎn)E為4〃的中點(diǎn),現(xiàn)分別沿BE,CE'將叢ABE,△〃應(yīng)翻折,使得點(diǎn)4。重合于點(diǎn)

F,此時(shí)二面角6的余弦值為

3

A.-

4

C.2D.亞

33

9.已知。，￡是平面，m、〃是直線，給出下列命題：

①若必，a,見6,則a，￡；

②若ma.a,no.a,m//B,n//B,則a〃￡；

③如果mea,rAa,m,〃是異面直線，那么〃與。相交；

④若aD8=m,n//m,且Ma,加￡,則n//a且n//￡.

其中命題正確的是.

10.如圖,三棱錐P-ABC,平面P4BJ.平面PBC,若PB1BC則△4BC的形狀為,

11.在四面體AB。。中，DAL^ABC,ABLAC,4B=4,4c=3,4D=1,E為棱BC上一點(diǎn)，且平面4DEJL平面BCD,

貝ijCE=

12.如圖，在三棱錐產(chǎn)一486'中，為，底面48GZBAC=90°,尸是/C的中點(diǎn)，￡是％上的點(diǎn)，且加上6G則

PE

~EC

13.如圖所示，在四棱錐P-A3c。中，為，底面4以力，且底面各邊都相等，"是用上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)〃憶

時(shí)，平面期初，平面/HZ

14.四棱錐4-BCDE中，EB//DC,且EB_L平面4BC,EB=1,DC=BC=4B=4C=2尸是棱4D的中點(diǎn).

(1)證明：EFl平面4CD；

(2)求三棱錐D-ACE的體積.

15.如圖，已知四邊形力BCD是正方形，PCJ_平面力BCD,CD=PD=2EA,PD//EA,F,G,"分別為PB,BE,PC的

中點(diǎn).

(1)求證:GH〃平面血E；

(2)求證：平面FGHJ.平面PCD.

16.如圖，在正方體ABCD—44G。中，￡1為棱G2的中點(diǎn)，尸為棱比1的中點(diǎn).

(1)求證：直線/氏L直線ZH；

(2)在線段44上求一點(diǎn)G,使得直線4￡二平面"&?并說明理由.

17.如圖，已知三棱錐產(chǎn)一/8c中，//8=90°,CB=4,4廬20,。為川?的中點(diǎn)，且△PDB是正三角形，PALPC.

(1)求證：平面為C_L平面ABC；

(2)求二面角萬(wàn)力戶一C的正弦值;

(3)若"為外的中點(diǎn)，求三棱錐,“一及力的體積.

18.如圖，已知多面體P48CDE的底面4BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,PA_L底面48CD,E￡?//P4且P4=2ED=2.

(1)證明：平面P4CJ■平面PCE;

(2)若直線PC與平面4BCD所成的角為45。,求直線CD與平面PCE所成角的正弦值.

直通高考

1.(2017浙江)如圖，已知正四面體D-A3C(所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐)，P,Q,〃分別為力氏BC,O上的點(diǎn),

BQCR_

AP=PB,2,分別記二面角〃-掰-0,D-PQ-R,薪-尸的平面角為0以/,則

~QC~~RA~

A.y<a<pB.a<y<0

C.a</3<yD.0<y<a

2.（2018江蘇）在平行六面體ABCD-AgG"中，A4,=AB,Ag_L4G.

Dy

求證：（i）4?〃平面AAC；

(2)平面_L平面ABC.

a

3.(2018浙江)如圖，已知多面體4?。山G,448歷,GC均垂直于平面ZABC=12Q,AtA=4,Cx(=\,AB=BC=B,B=2.

（I）證明：4旦，平面484；

（ID求直線與平面｛防所成的角的正弦值.

4.（2018新課標(biāo)全國(guó)I理科）如圖，四邊形A8CO為正方形，E,尸分別為AD,BC的中點(diǎn)，以?？跒檎酆郯选鱋R7

折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且

(1)證明：平面PE77_1_平面A8FD；

(2)求。P與平面A8FO所成角的正弦值.

5.(2017新課標(biāo)全國(guó)m理科節(jié)選)如圖，四面體4靦中，△48。是正三角形，①是直角三角形,

/AB2NCBD,AB=BD.

(1)證明：平面平面45c

6.(2016新課標(biāo)全國(guó)H理科節(jié)選)如圖，菱形力用力的對(duì)角線〃1與被交于點(diǎn)0,4片5,JO6,點(diǎn)￡,廠分別在AD,

CD上,A^CF--,0交劭于點(diǎn)〃將△兩沿"折到△D'EF的位置，。。'=廂.

4

(1)證明：O'"_L平面/應(yīng)。

If

7.（2017江蘇）如圖，在三棱錐中，ABLAD,BCVBD,平面4?J_平面8微點(diǎn)區(qū)F（E與A,〃不重合）

分別在棱/〃，BD上,且￡7」/〃.

求證：（1）&,〃平面46。

（2）AD1.AC.

8.（2017山東理科）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形A8CD（及其內(nèi)部）以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸

旋轉(zhuǎn)120。得到的，G是。F的中點(diǎn).

（1）設(shè)P是CE上的一點(diǎn)，且求NCBP的大??；

（2）當(dāng)AB=3,AD=2時(shí)，求二面角E-AG-C的大小.

般參考答案.

變式拓展

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1.【答案】D

【解析】因?yàn)镃DJ■平面AS。。，EFu平面ABiGC,所以CDJ.即,

又因?yàn)镋FNBGWq_L與C，即，與C所以可得即_L平面4與CD,

當(dāng)點(diǎn)尸在線段CD上時(shí)，總有4尸，即，

所以4P的最大值為4。=/,最小值為40=/,

則線段4P長(zhǎng)度的取值范圍是［JI故選D.

2.【解析】（1）由已知得ICLZT且應(yīng)1〃比；

所以DELAC.

所以r>E，Anz)￡，cr).

又A。。＞=。，4。（=平面4。0，8匚平面4。。，

所以應(yīng)_L平面AtDC.

因?yàn)?/t平面AiDC,

所以應(yīng)_L4之

又因?yàn)锳F,CD,CDDE=D,CDu平面BCDE,DEu平面BCDE,

所以4/U平面BCDE,

又BEu平面BCDE,

所以4EL班：

（2）線段AB上存在點(diǎn)0,使平面龐2

理由如下：

如圖所示，分別取4C,48的中點(diǎn)月Q,連接圾QE,PQ,則閭〃6C

又因?yàn)镈E//BC,

所以施〃做

所以平面DEQ即為平面DEP.

由（D知，OE1平面4DC,

所以D&1由C.

又因?yàn)镻是等腰三角形上）4c底邊出C的中點(diǎn)，

所以4C1DR

又DP（\DE=Df1*u平面DEP,DEu平面DEP,

所以4cl平面。耳P從而由Cl平面DEQ.

故線段幺田上存在點(diǎn)Q,使出C1平面DEQ.

3.【解析】⑴連接則皿山C

..BMBN

"MA~NC

：.MN//AC,

:.BD1MN,

平面46s.物化平面力6"，

:.D隊(duì)LMN,

:.渺小平面8MlB\.

'：無(wú)論P(yáng)在D仄上如何移動(dòng)，總有B空平面BDD,B\,

總有MNVBP.

(2)存在點(diǎn)只且一為㈤的中點(diǎn)，使得平面40GJ_平面/MCG.

證明如下：

由題意可得BD\_CC\,

XBDVAC,ACHCC^C,

二位比平面AxACQ.

連接Bq,與4cl的交點(diǎn)為其連接PE,則PE//BD,

陽(yáng)"平面AJCG.

又止平面aG,

平面加&，平面AM.

4.【解析】⑴?.?四邊形4ECD為矩形，.?/BJ.BC,

又,「BFL8cMs.8F是平面ABF內(nèi)的兩條相交直線

.二8c1?平面A8F.

"：AFu平面A8F/.6C1AF

(2)在CE上取一點(diǎn)M使CM=BF,連接尸M,

二四邊形BCMF為平行四邊影，

*AD,

，四邊形4D“F為平1亍四邊形，

.?.加7/DM.

?：DMu平面OCE.4F丈平面DCE,

.二"〃平面DCE.

(3)\BC1AB.BCL加二乙46下就是二面角七-BC-A的平面角.

,\AABF=120°,

?/BF=2^46=1,40=&,.?.”=^AB2+BF2-2AB-BFCOSLABF=j,

在直角A4。尸中，°F="加+獷=2平，

過F作FN與4B的延長(zhǎng)線垂直,N是垂足,連接ND,

.?.在RtAFNb中，F(xiàn)N=小,

?：BC_L平面48F,BCu平面4BCD,.?.平面4BFJ.平面4BCD,

...FN_L平面4BCD,

.?."DN是直線DF與平面4BC。所成的角，

在RtAFDN中，sin/FDN=——=-=

DF2G2

，4FDN=30".

則直線OF與平面4BCD所成的角為30°.

5.【解析】（1）因?yàn)椤?，平面45Q9,CEu平面A8CO,

所以DD】J_C￡\

11

在RtZ\D空中，AD=lAE=l,DE=ylAD+AE

同理，得CE=&,又8=2,則CD2=CE2+DE\即DE，.，

又DDJCE,DEC\DDi=D,

故CE_L平面DQE.

又D]Eu平面DQE,

故DiE工CE-

（2）由（1）可知/口即是所求二面角口1一項(xiàng)7-。的平面角一

在RtZkA匹中，DD1=LDE=^l2,

故tanZ^ED=+=孝即二面角EC-D的正切值為當(dāng).

考點(diǎn)沖關(guān)

--------

1.【答案】A

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,/〃平面a,/可能在平面B內(nèi)，/可能與平面月平行，/可能與平面萬(wàn)相交.故本題

選A.

2.【答案】D

【解析】對(duì)于選項(xiàng)D,可能還有6〃。，或者6在。內(nèi)，所以D不正確.

3.【答案】B

【解析】由題意可知，P4,底面4BC,所以nPS為直線PC與平面ABC所成的角，因?yàn)镻4=4C,所以△PCA為

等腰直角三角形，所以/PS=45°,故選B.

4.【答案】C

【解析】連接4H并延長(zhǎng)交BC于〃，連接P。，■■PAl.PB.PAl.PC,PBnPC=P，尸/!_L平面PBC,則P4J.BC,又

PH1平面4BC,則PH±BC,又P4fiPH=P,.?.BC_L平面P4D,則BCUD,同理4B1CH,故垂足〃是△/）比1的

垂心,選C.

5.【答案】B

【解析】取四的中點(diǎn)￡連接〃笫因?yàn)椤?!如是等邊三角形，所以氏當(dāng)平面力用L平面四。時(shí)，因?yàn)槠?/p>

面C平面ABOAB,所以〃反1平面ABC,可知DEVCE.由已知可得D斤平,EO\,在RSDEC

中，丘切產(chǎn)+哈

6.【答案】D

【解析】在A中，因?yàn)榧优c陽(yáng)在平面內(nèi)的射影不垂直,所以不成立；

在B中，因?yàn)槠矫嬉?,平面PAE,所以平面處6J_平面PBC也不成立,所以不正確；

在C中，因?yàn)锽C//AD,比1不在平面必〃內(nèi)，力〃在平面必〃所以8。/平面PAD,所以直線應(yīng)■〃平面必￡也不成立,所

以C不成立.

在D中，在直角三角形為〃中，PA=AD^AB,所以直線勿與平面/以所成的角為45°,所以是正確的，故選D.

7.【答案】A

【解析】如圖，取FG中點(diǎn)M,連接EM,過點(diǎn)E作E01.平面BCFG,連接F。，0M,則“F。為直線EF與平面BCFG所

OEJ15

成的角，易知尸M=l,0M=1,EF=EG=?所以EM=2,0E=，5,則EF^/55.

8.【答案】B

【解析】如圖所示,取6c的中點(diǎn)P,連接EP,FP,由題意得B2c打2,所以PFX.BC.

,

又EB=EC=“|尸+2“=|,所以EP1BC,

所以/即尸為二面角耳3C-尸的平面角，

而FP=^FB2-(^BC)2=^22-(1)24，

.79_

EP1+FP1-EF24+4~4忑

在AEPF中，cosZ￡P(guān)F=---------------------=告=——

伍八"十'2EPFP…幣4n

2x2xX_

2

所以二面角比3CF的余弦值為￥.

9.【答案】①④

【解析】①是平面與平面垂直的判定定理，所以①正確；

②中，m,〃不一定是相交直線，不符合兩個(gè)平面平行的判定定理，所以②不正確；

③中，還可能"〃。，所以③不正確；

④中，由于〃〃卬，rda,z?ca,則〃〃a,同理〃〃￡,所以④正確.

故填①④.

10.【答案】直角三角形

【解析】；平面P4BJ.平面PBC,平面P4BC平面PBC=PB,PBJ.B&BCU平面PBC,

.?.BCJ.平面P4B,BC1AB,

.?.△4BC為直角三角形，故答案為直角三角形.

13

11.【答案】至

【解析】過力作4HLDE,因?yàn)槠矫?DE_L平面BCD,且平面/IDEr＞平面BCD=DE,

.,?4H1平面BCD,.-.AH±BC

又4D18C,???BC_L平面ADE,BCLAE,

3x413

-AE=-------,AD=lDE=—

5f5,

12.【答案】1

【解析】在三棱錐尸一國(guó)。中，因?yàn)橛?底面45GN&JU90。，所以平面⑷Y*.

因?yàn)榘鄒平面PAC,所以EFLAB,

因?yàn)镋F1BC,BCnAB=B,

所以第1底面3:,所以尸，

因?yàn)槭晴跜的中點(diǎn)，￡是PC上的點(diǎn)，

所以后是PC的中點(diǎn)，所以會(huì)=L

EC

13.【答案】PC

【解析】由相關(guān)定理可知，見LPC.當(dāng)"ILLPC時(shí),則有PCL平面劭切.

而止平面闈9,所以平面,監(jiān)牝L平面故Z所以應(yīng)填尸C

14.【解析】⑴如圖，取4C中點(diǎn)M,連接

FM=-DC=l

?”是4。中點(diǎn)，.?JM〃DC,且2

又因?yàn)镋B〃DC,.?.尸M〃EB.

又=1,.?.FM=E2,

四邊形FMBE是平行四邊形，

又BC=4B=4C,.?.△4BC是等邊三角形，

：.BMLACt

?:EB1平面/，?.C。_L平面/BC,...CDJLBM,

；.BM，平面4C。，./P，平面4C0.

(2)三楂錐。一A際R-DCE.

取BC的中點(diǎn)NJ1接所加圖，

:△血是正三角形二?出VLBC.AN^^BC■6

?：EB?L平面iWC,，￡61AN,：.ANJ?平面6CDE,朋是三棱錐A-"E的高

三樓推A—DC￡^H^枳5'——'AN'—G^'SC^^5x—*2x2■—^5

3，J

15.【解析】(1)如圖，分別取PD的中點(diǎn)M,E力的中點(diǎn)N.連接MH,NG,MN,

MH//-CDNG幺LAB

因?yàn)镚,H分別為BE,PC的中點(diǎn)，所以2,2,

因?yàn)锳B與CD平行且相等，所以M"平行且等于NG,

故四邊形G〃MN是平行四邊形.所以GH〃MN.

又因?yàn)镚H<t平面PD4E,”/70：平面。。4后，

所以GH〃平面PZME.

(2)因?yàn)镻。，平面4BCD,BCu平面4BCD,所以PDJ.8C.

因?yàn)锽C1.C。，PDcCD=D,所以BC1平面PC。

因?yàn)槭?分別為PB、PC的中點(diǎn)，所以F?/〃BC.

所以FH_L平面PCD.

因?yàn)槭琀u平面FGH,所以平面FGH1平面PCD.

16?【解析】(1)如圖，連接的，BG，由正方體的性質(zhì)可知，DA,±ADVDA,±AB,

又ABADt=A,

...DA,，平面A8G2,

又AEu平面A8C12,

/.D\±AE.

(2)所求G點(diǎn)即為4點(diǎn)，證明如下：

由(1)可知AE_LD4],取切的中點(diǎn)〃，連接///,EH,如圖，

由OF，AH,力/_LEH,AHEH=H,可證加工平面

?.3所平面4班；

J.DFLAE.

又DF4。=。，

平面DFA^,即4瓦1_平面DFG.

17?【解析】（1）?