2022-2023學年北京市西城區(qū)某學校九年級上學期期中考試數(shù)學試卷含詳解

北京市西城外國語學校2022-2023學年度第一學期

初三數(shù)學期中試卷

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）

1.拋物線'="一2『+i的頂點坐標是（）

A.（2,1）B.（-2,1）C.（-2,-1）D.（1,

2）

2.下列各曲線是在平面直角坐標系X。），中根據(jù)不同的方程繪制而成的，其中是中心對稱圖

形的是（）

窄,

1,

3.將拋物線丁=耳一向下平移1個單位長度,得到的拋物線是（）

A.y-—x2-1B.y=-x2+1C.y=1）D.

2-2

y=*+i）2

4如圖,將△ABC繞點A逆時針旋轉100°,得到若點。在線段8C的延長線

上，則NB的大小為（）

A

BCD

A.30°B.40°C.50°D.60°

5.用配方法解方程V+2x—3=0，下列變形正確是()

A.(X+1)2=-2B.(X+1)2=2C.(x+1)2=-4D.

（x+1）-=4

6.方程*2一3%+1=0的根的情況是（）

A.有兩個相等實數(shù)根B.有兩個不相等實數(shù)根C.沒有實數(shù)根D.無法判

斷

7.生活垃圾無害化處理可以降低垃圾及其衍生物對環(huán)境的影響.據(jù)統(tǒng)計，2017年全國生活

垃圾無害化處理能力約為2.5億噸，隨著設施的增加和技術的發(fā)展，2019年提升到約3.2

億噸.如果設這兩年全國生活垃圾無害化處理能力的年平均增長率為x,那么根據(jù)題意可

以列方程為（）

A.2.5（l+x）=3.2B,2.5（l+2x）=3.2

C2.5（1+x）2=3.2D.2.5（1-Jr）?=3.2

8.拋物線y=o?+"+c的頂點為A（2,m）,且經(jīng)過點3（5,0）,其部分圖象如圖所示.對

于此拋物線有如下四個結論：①ac<0；②a—Z?+c>0；③機+9a=0；④若此拋物線

經(jīng)過點。（，,〃），則r+4一定是方程辦版+c=〃的一個根.其中所有正確結論的序號

是（）

A.①②B.①③C.③④D.①④

二、填空題（本題共16分，每小題2分.）

9.寫出一個二次函數(shù)，使得它有最小值，這個二次函數(shù)的解析式可以是.

10.在平面直角坐標系xOy中，點（3,—7）關于原點的對稱點坐標為.

11.已知-1是關于X的一元二次方程f+"一3=0的一個根，則％=

12.若點A（—l,y）,8（2,必）在拋物線>=2/上，則M，力的大小關系為：X

%（填，"=”或）.

13.如圖，在平面直角坐標系xOy中，△AOB可以看作是將AOCE繞某個點旋轉而得到,

則這個點的坐標是.

14.二次函數(shù)y=<2?+"+c與一次函數(shù)％=如+〃的圖象如圖所示，則滿足

ax2+bx+c>mx+n的x的取值范圍是.

15.商店銷售一種進價為20元/個的帽子，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該種帽子每天的銷售量印（個）

與銷售單價x（元）滿足vv=-2x+80（20WxW40）,設銷售這種帽子每天的利潤為V

（元），則y與x之間的函數(shù)關系式為；當銷售單價定為元時，每天的利潤最

大.

16.如圖1,在AABC中，AB>AC,。是邊8c上的動點.設8,。兩點之間的距離為x,

A,。兩點之間的距離為y,表示y與x的函數(shù)關系的圖象如圖2所示.線段AC的長為

,線段AB的長為.

三、解答題（本題共68分）

17.解方程：2_?一9*+10=0.

18.已知%2+2%-3=0，求代數(shù)式x(x+2)+(x+iy的值.

19.已知二次函數(shù)yn—f+bx+c的圖象如圖所示，解決下列問題:

(1)關于x的一元二次方程一/+法+c=0的解為；

(2)求此拋物線的解析式.

(3)若直線y=Z與拋物線沒有交點，直接寫出人的取值范圍.

20.如圖，。是等邊三角形A8C內(nèi)一點，將線段繞點A順時針旋轉60。，得到線段

AE，連接CO，BE.

(1)求證：NA￡B=NADC；

(2)連接DE,若/4Z)C=110。，求NBED的度數(shù).

21.如圖，在平面直角坐標系xOy中，AABC三個頂點的坐標分別為4(-2,-1),8(T,1),

。(一3,3),AA3C關于原點。對稱的圖形是M4cL

(1)畫出A44G；

(2)BC與的位置關系是；

(3)若點P(“,3是AABC一邊上的任意一點，則點P經(jīng)過上述變換后的對應點耳的坐標

可表示為.

1,3

22.對于拋物線^二//一X-/.

(1)它與工軸交點的坐標為,與y軸交點的坐標為,頂點坐標為：

(2)在坐標系中利用描點法畫出此拋物線.

X

y

(3)當0<x<4時，結合函數(shù)圖像，直接寫出y的取值范圍.

23.如圖，ZxABC內(nèi)接于。0,高經(jīng)過圓心0.

（1）求證：AB=AC；

（2）若BC=8,。。的半徑為5,求AABC的面積.

24.已知關于x的一元二次方程公―（左+5卜+6+2左=0.

（1）求證：此方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若此方程恰有一個根小于T,求攵的取值范圍.

25.小明進行鉛球訓練，他嘗試利用數(shù)學模型來研究鉛球的運動情況.他以水平方向為x

軸方向，1m為單位長度，建立了如圖所示的平面直角坐標系，鉛球從y軸上的A點出手,

運動路徑可看作拋物線，在8點處達到最高位置，落在x軸上的點。處.小明某次試投時

的數(shù)據(jù)如圖所示.

(1)在圖中畫出鉛球運動路徑的示意圖；

(2)根據(jù)圖中信息，求出鉛球路徑所在拋物線的表達式；

(3)若鉛球投擲距離(鉛球落地點。與出手點A的水平距離。。的長度)不小于10m,

成績?yōu)閮?yōu)秀.請通過計算，判斷小明此次試投的成績是否能達到優(yōu)秀.

26.在平面直角坐標系X0V中，拋物線>="2-2依+2(?<0)與y軸交于點A.

(1)求點A的坐標及拋物線的對稱軸；

(2)當0WXW3時，，的最大值是3,求當0<xW3時，的最小值；

⑶拋物線上兩點尸(玉,凹)，。(々,必)，若對于，<石<r+l，r+2<w<f+3,都

有yw%，直接寫出f的取值的范圍.

27.點C為線段上一點，以AC為斜邊作等腰RWLDC,連接BD，在八鉆。外

側，以8。為斜邊作等腰RtABEZ),連接EC.

(1)如圖，當N￡>84=30°時，求證：AC=BD；

(2)如圖，當0°</￡>區(qū)4<45°時，判斷線段EC與￡?的數(shù)量關系，并說明理由.

28.在平面直角坐標系xOy中，旋轉角a滿足0。4。<180°,對圖形M與圖形N給出如

下定義：將圖形M繞原點逆時針旋轉a得到圖形AT.P為圖形M'上任意一點，。為圖

形N上的任意一點，稱PQ長度的最小值為圖形M與圖形N的“轉后距”.已知點

點5(4,0),點C(2,0).

(1)當a=90°時，記線段04圖形M.

①畫出圖形"'；

②若點C為圖形N,則“轉后距”為；

③若線段AC為圖形N,求“轉后距”；

(2)已知點P。,。)，點。t9,記線段A8為圖形M,線段PQ為圖形M對

22J

任意旋轉角a,“轉后距”大于1,直接寫出f的取值范圍.

北京市西城外國語學校2022-2023學年度第一學期

初三數(shù)學期中試卷

一、選擇題(本題共16分，每小題2分)

1.拋物線'=*一2『+i的頂點坐標是()

A.(2,1)B.(-2,1)C.(-2,-1)D.(1,

2)

【答案】A

【分析】根據(jù)拋物線的頂點式，即可得到拋物線的頂點坐標.

【詳解】解：???拋物線的解析式為y=(x-2)2+l,

.?.頂點坐標是(2,1),

故選：A.

【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)的頂點式為y=。(》-62+4,則拋物

線的對稱軸為直線％=攵，頂點坐標為(左，h).

2.下列各曲線是在平面直角坐標系xOy中根據(jù)不同的方程繪制而成的，其中是中心對稱圖

【分析】中心對稱圖形的定義：如果把一個圖形繞著一個定點旋轉180。后，與初始圖形重

合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心；根據(jù)定義對四個選項進行判斷

即可.

【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

B、是旋轉對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

C、是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

D、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意.

故選c.

【點睛】此題考查了中心對稱圖形的概念，熟練掌握中心對稱圖形的概念是解決此題的關

鍵.

3.將拋物線丁=上％2向下平移1個單位長度，得到的拋物線是（）

1112

A.y=——1B.y=—x2+1C.y=—（%—1）D.

222

y=g（x+i『

【答案】A

【分析】根據(jù)平移的規(guī)律：左加右減，上加下減，求出得到的拋物線的解析式即可.

【詳解】解：拋物線丁=；/向下平移1個單位長度后得到新拋物線的解析式為：

y--x2-1.

2

故選A.

【點睛】此題主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下

減.并用規(guī)律求函數(shù)解析式.

4.如圖，將△4BC繞點A逆時針旋轉100°,得到△4DE.若點。在線段BC的延長線

上，則的大小為（）

【答案】B

【詳解】解：???△AOE是由△4BC繞點4旋轉100。得到的,

AZBAD=\00°,AD=AB,

?.?點。在8c的延長線上,

./B_/A/)8」80°T00°-4()。

??Z.D—/\UD---------------------------.

2

故選：B.

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質和等腰三角形的性質，解題中只要抓住旋轉角

ZBAD=\00°,對應邊A8=A。及點。在2c的延長線上這些條件，就可利用等腰三角形

中：兩底角相等求得NB的度數(shù)了.

5.用配方法解方程丁+2彳一3=0,下列變形正確的是()

A.(x+l)2=-2B.(X+1)2=2C.(X+1)2=-4D.

(x+1)--4

【答案】D

【分析】把常數(shù)項移到等號的右邊，兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，再依據(jù)完全平

方公式將左邊寫成完全平方式即可.

【詳解】解：；X2+2X-3=0，

?"+2%=3，

x2+2x+l=3+1,

B|J(X+1)2=4.

故選D.

【點睛】本題考查了解一元二次方程一一配方法.熟練掌握用配方法解一元二次方程是解

題的關鍵.

6.方程產(chǎn)—3%+1=0的根的情況是()

A.有兩個相等實數(shù)根B.有兩個不相等實數(shù)根C.沒有實數(shù)根D.無法判

斷

【答案】B

【分析】把。=1,b=-3,c=l代入進行計算，然后根據(jù)計算結果判斷方程根的情

況.

【詳解】解：；a=l,b=-3,c=l,

△=按-4a=(-3)2-4xlxl=5>0,

所以方程有兩個不相等的實數(shù)根.

故選：B.

【點睛】本題考查了一元二次方程，*+6x+c=0(存0,a,b,c為常數(shù))的根的判別式

△?2_4時.當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=()時，方程有兩個相等的實數(shù)

根；當時，方程沒有實數(shù)根.

7.生活垃圾無害化處理可以降低垃圾及其衍生物對環(huán)境的影響.據(jù)統(tǒng)計，2017年全國生活

垃圾無害化處理能力約為2.5億噸，隨著設施的增加和技術的發(fā)展，2019年提升到約3.2

億噸.如果設這兩年全國生活垃圾無害化處理能力的年平均增長率為x,那么根據(jù)題意可

以列方程為()

A.2.5(1+x)=3.2B.2.5(l+2x)=3.2

C.2.5(l+x)2=3.2D.2.5(1-x)2=3.2

【答案】c

【分析】設這兩年全國生活垃圾無害化處理能力的年平均增長率為X,根據(jù)等量關系，列

出方程即可.

【詳解】解：設這兩年全國生活垃圾無害化處理能力的年平均增長率為x,

由題意得：2.5（l+x『=3.2,

故選C.

【點睛】本題主要考查一元二次方程的實際應用，掌握增長率模型。（1±%）2=8，是解題

的關鍵.

8.拋物線,=辦2+辰+0的頂點為4（2,m），且經(jīng)過點3（5,0）,其部分圖象如圖所示.對

于此拋物線有如下四個結論：①ac<0；②a-Z?+c>0；③機+9a=0；④若此拋物線

經(jīng)過點C（r,〃），則r+4一定是方程?2+灰+c=〃的一個根.其中所有正確結論的序號

A.①②B.①③C.③④D.①④

【答案】B

【分析】利由拋物線的開口方向和位置可對①進行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線

與x軸的一個交點坐標為（-1,0）,代入解析式則可對②進行判斷；由拋物線的頂點坐標

以及對稱軸可對③進行判斷；拋物線的對稱性得出點的對稱點是C（4T,〃），則

可對④進行判斷.

【詳解】解：???拋物線開口向下，

???拋物線與y軸交于正半軸，

Ac>0,

ac<0,故①正確；

???拋物線y=以？+云+c的頂點為A（2,m）,且經(jīng)過點B（5,0）,

工拋物線y=以2+笈+。與不軸的另一個交點坐標為（-1,o）,

a-b+c=O^故②錯誤；

,:拋物線的對稱軸為直線42,

bc口。

=

----=2,即：b-4a9

2a

：Q-〃+C=O,

/.c=h-a=-5a,

???頂點A（2,〃z）,

.4ac-b24a?（-5w）-（-4a\

??--------=m,即Hn：\\m,

4a4a

.,.m--9a,即：m+9a=0,故③正確；

?.?若此拋物線經(jīng)過點C（r,/i）,拋物線的對稱軸為直線x=2,

.?.此拋物線經(jīng)過點C（4T,〃），

ci（4—/）-+人（4—f）+c=〃，

4-f一定是方程or2+力x+c=〃的一個根，故④錯誤.

故選B.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：對于二次函數(shù)）=以2+法+c（4翔），二次

項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小：當a>0時，拋物線向上開口；當a<0時:拋物

線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與人同號時（即

曲>0）,對稱軸在y軸左；當〃與6異號時（即4<0）,對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定

拋物線與y軸交點位置.

二、填空題（本題共16分，每小題2分.）

9.寫出一個二次函數(shù)，使得它有最小值，這個二次函數(shù)的解析式可以是.

【答案】y=f+2（答案不唯一）

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質即可得.

【詳解】由題意，二次函數(shù)有最小值，說明函數(shù)開口向上，這個二次函數(shù)的解析式可以是

y-X2+2,

故答案為：y=x2+2（答案不唯一）.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題關鍵.

10.在平面直角坐標系xQy中，點（3,-7）關于原點的對稱點坐標為.

【答案】（-3,7）

【分析】根據(jù)原點對稱的兩個點其對應的橫坐標，縱坐標分別互為相反數(shù)，列式計算即

可.

【詳解】解：因為點(3,-7)關于原點的對稱點坐標為(-3,7),

故答案為：(一3,7).

【點睛】本題考查了關于原點對稱的點的坐標計算，熟練掌握原點對稱的兩個點其對應的

橫坐標，縱坐標分別互為相反數(shù)，是解題的關鍵.

11.已知-1是關于x的一元二次方程3=0的一個根，則/=

【答案】—2

【分析】把x=-l代入方程x2+kx-3=0得l-k-3=0,然后解關于k的方程.

【詳解】解：把x=-l代入方程x2+kx-3=0得l-k-3=0,解得k=-2.

故答案為-2.

【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是

一元二次方程的解.

12.若點8(2,%)在拋物線y=2/上，則,，力的大小關系為：M

當(填，“=”或).

【答案】<

分析】利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出"，"的值，比較后即可得出結論.

【詳解】解：?.?若點A(T,?),8(2,”)在拋物線產(chǎn)標2上，

yi=2x(-])2=2,”=2x4=8,

V2<8,

.,.ji<y2.

故答案為：<.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求

出)力了2的值是解題的關鍵.

13.如圖，在平面直角坐標系xOy中，AAOB可以看作是將AOCE繞某個點旋轉而得到，

則這個點的坐標是.

【分析】根據(jù)旋轉的性質可得：旋轉中心到對應點的距離相等，則旋轉中心在對應點所連

線段的垂直平分線上，由此即可作圖求得答案.

【詳解】解：如圖，連接AE,分別作線段AE、線段0C的垂直平分線，相交于點F(2,

2),

【點睛】本題考查了旋轉的性質，熟練掌握旋轉中心到對應點的距離相等以及垂直平分線

的性質是解決本題的關鍵.

14.二次函數(shù)弘=G？+法+。,與一次函數(shù)必=如+〃的圖象如圖所示，則滿足

ax2+bx+c>nvc+n的x的取值范圍是.

y.

彳3『

【答案】—3<x<0

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可得，以2+法+0小+〃的X的取值范圍就是二次函數(shù)圖象在

一次函數(shù)圖象上方部分的X的取值范圍即可.

【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖象可得，32+版+0巾+”的》的取值范圍就是二次函數(shù)圖

象在一次函數(shù)圖象上方部分的X的取值范圍

由圖像可知，-3<x<0時二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方.

故答案為一3<x<0

【點睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式，此類題目，數(shù)形結合準確識圖是解題的關鍵.

15.商店銷售一種進價為20元/個的帽子，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該種帽子每天的銷售量卬(個)

與銷售單價x(元)滿足卬=—2x+80(20VxW40),設銷售這種帽子每天的利潤為>

(元)，則y與x之間的函數(shù)關系式為；當銷售單價定為元時，每天的利潤最

大.

【答案】①.y=-2x2+120x-1600(20<x<40)30

【分析】根據(jù)利潤=每件帽子的利潤x銷售量，即可得所求函數(shù)關系式；然后利用配方法求

二次函數(shù)的最大值，從而可得每天最大的利潤.

【詳解】解：???帽子的進價為20元/個，銷售單價x(元)，

...每件帽子的利潤為(X-20)元；

???銷售這種帽子每天的利潤為：y=(x-20)(-2x+80),(20<x<40),

y=-2x2+120x-l600(20<x<40)；

配方，得：y=-2(x-30)2+200,

47=-2<0,

??.當x=30時,函數(shù)y有最大值200；

故答案為：y=-2x2+120x-1600(20<x<40)；30.

【點睛】此題考查了二次函數(shù)的應用，準確理解題意找到等量關系并熟練運用配方法求二

次函數(shù)的最值是解此題的關鍵.

16.如圖1,在AABC中，AB>AC,。是邊上的動點.設8,C兩點之間的距離為x,

A,。兩點之間的距離為y,表示y與x的函數(shù)關系的圖象如圖2所示.線段AC的長為

_________________,線段4B的長為

【分析】從圖象看，當X=1時，y=y/13>即B￡>=1時，A￡>=V13>當X=7時，y=JT5,即

8D=7時，C、。重合，此時y=A￡>=AC=屈，則C￡>=6,即當30=1時，MOC為以點A

為頂點腰長為的等腰三角形，進而求解.

【詳解】解：從圖象看，當x=l時，y=屈,

即BD=\時，AD=V13.

當戶7時，>=713>即BO=7時，C、。重合，

此時y=AD=AC-y/l3>則CD=6,

即當8。=1時，AAOC為以點A為頂點腰長為行的等腰三角形，如下圖：

過點A作AHLBC于點H,

在Rtt^ACH中，AC—>/13,CH=DH--CD-3,

2

則AH=[AC2-CH2=J13-9=2，

在Rt^ABH中，AB=yjAH2+BH2=7（l+3）2+22=275，

故答案為：V13-275.

【點睛】本題考查的是動點問題的函數(shù)圖象，解題的關鍵是：弄清楚不同時間段，圖象和

圖形的對應關系，進而求解.

三、解答題（本題共68分）

17.解方程：2X2-9X+10=0.

【答案】玉=—或用=2

22

【分析】利用十字相乘因式分解，進而即可求解.

【詳解】2/一9x+10=0，

(2x-5)(x-2)=0,

2x-5=0或x-2=0，

解得：玉=|■或樂=2.

2.

【點睛】本題主要考查解一元二次方程，熟練掌握“十字相乘法”是解題的關鍵.

18.已知V+2X—3=0,求代數(shù)式x(x+2)+(x+l『的值.

【答案】7

【分析】由已知可得V+2x=3,然后利用整式的混合運算將代數(shù)式化成含有(f+2x)的

形式，然后整體代入即可得到答案.

【詳解】解：,.,尤2+2%—3=0，

/.X2+2x=3,

?.?x(x+2)+(x+l)-

=x2+2x+x2+2x+l

=2(+2x)+1,

.,.x(x+2)+(尤+1)2

=2x3+1

=7.

故代數(shù)式X(X+2)+(X+1)2的值為7.

【點睛】此題考查了代數(shù)式的求值，熟練運用整式的混合運算化簡代數(shù)式和整體思想方法

是解此題的關鍵.

19.已知二次函數(shù)y=—/+。尤+，的圖象如圖所示，解決下列問題：

(1)關于X的一元二次方程一V+灰+c=0的解為；

(2)求此拋物線的解析式.

(3)若直線y=Z與拋物線沒有交點，直接寫出k的取值范圍.

【答案】(1)X]=-1,々=3；(2)y=—x2+2x+3；(3)k>4

【分析】(1)先由二次函數(shù)的對稱性求出二次函數(shù)與x軸的另一個交點坐標，二次函數(shù)與

X軸的交點坐標的橫坐標即為一元二次方程的解；

(2)利用(1)求出二次函數(shù)與x軸的兩個交點坐標，利用交點式即可得到答案；

y——X2+2x+3

(3)聯(lián)立廣得/一2犬一3+左=0,二次函數(shù)y=-』+2x+3與直線

J=k

y=人沒有交點，即一元二次方程V—2x—3+左=0沒有實數(shù)根，然后利用一元二次方程

根的判別式求解即可.

【詳解】解：(1)由函數(shù)圖像可得，二次函數(shù)丁=-/+法+。的對稱軸為直線x=l,與

x軸的一個交點坐標為(3,0),

，二次函數(shù)y=-》2+bx+c與x軸的另一個交點坐標為(-1,0),

，一元二次方程-x2+fex+c=0的解為X]=-1,工2=3，

故答案為：玉=T,X,=3；

(2)?.?拋物線丁=一/+區(qū)+。的對稱軸為直線》=1,與x軸的交點坐標為(3,0),(-

1,0),

.??拋物線的解析式為y=—(x+l)(x-3)=-d+2x+3；

y——爐+2x+3

⑶聯(lián)立',得V—2%-3+左=0，

、y=k

:二次函數(shù)y=-x2+2x+3與直線y=Z沒有交點，

一元二次方程/一2%一3+攵=0沒有實數(shù)根，

A=廿-4ac=(-2)2-4伏-3)<0

.,.k>4.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程，求二次函數(shù)解析式，一元二次方程根

的判別式，解題的關鍵在于能夠熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程之間的關系.

20.如圖，。是等邊三角形ABC內(nèi)一點，將線段繞點A順時針旋轉60。，得到線段

AE，連接CO，BE.

（I）求證：ZAEB=ZADC；

（2）連接若NA0C=1K）。，求的度數(shù).

【答案】（1）見解析（2）50°

【分析】⑴證明八位）。四八4￡3即可.

（2）證明4NED是等邊三角形，計算ABED=ZAEB-ZAED=110-60。=50。即可.

【小問1詳解】

因為等邊三角形ABC,線段AD繞點A順時針旋轉60。，得到線段AE,

所以AD=A￡，AC=AB,NE4O=Na4C=60，

所以ZEAD-/BAD=ZBAC-ZBAD,

所以NEAB=NDAC,

所以八位）。四△ABB,

所以NA￡3=NAZ）C.

【小問2詳解】

因為線段AO繞點A順時針旋轉60°,得到線段AE,

所以NE4D=6（X，

所以V4DE是等邊三角形,

所以NAED=60°;

因為△ADC且△AE3,Z4DC=110°,

所以NAEB=NADC=110.

所以ABED=ZAEB-ZAED=110°-60°=501

【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質，三角形全等的判定和性質，旋轉的性質，

熟練掌握等邊三角形的判定和性質，準確進行三角形全等證明是解題的關鍵.

21.如圖，在平面直角坐標系xOy中，AWC三個頂點的坐標分別為A（-2,-l）,B（-4,l）,

C（—3,3）,ZVLBC關于原點。對稱的圖形是A44G.

（1）畫出M4G；

（2）8C與4G的位置關系是；

（3）若點P（。/）是AA6C一邊上的任意一點，則點尸經(jīng)過上述變換后的對應點々的坐標

可表示為.

【答案】（1）答案見詳解：

（2）平行；（3）（一。,一方）.

【分析】（1）如圖所示，分別畫出關于原點。對稱的點A，4，G,即可得MBCi；

（2）根據(jù)中心對稱的性質，可知BBt過點。且被點O平分，CC,過點0且被點。平分，

于是得四邊形BC4G是平行四邊形，得BC//B￡；

（3）根據(jù)中心對稱的性質可得耳（一。,一力.

【小問1詳解】

解：如圖所示，A4gG為所求；

T

【小問2詳解】

解：如圖，；AA3C與AAgG關于原點成中心對稱，

84,CG分別被點。平分，

即：BO=0B[,CO=OC],

四邊形BCBJ是平行四邊形，

BC//B,C,；

故答案為：平行；

【小問3詳解】

解：???AABC與A&gG關于原點成中心對稱，

，點P與點耳關于原點對稱，

???P(a,b),

故答案為：(一a,—》).

【點睛】此題考查了中心對稱的概念與平行四邊形的判定與性質，熟練掌握中心對稱的概

念與性質、平行四邊形的判定與性質是解此題的關鍵.

1,3

22.對于拋物線y=/X"—x—/.

(1)它與x軸交點的坐標為,與＞軸交點的坐標為,頂點坐標為；

(2)在坐標系中利用描點法畫出此拋物線.

x

y

(3)當0vxv4時，結合函數(shù)圖像，直接寫出》的取值范圍.

>

X

3

【答案】(1)(3,0),(-1,0)；(0,-)；(1,-2)

2

(2)見解析(3)—24y<|

I3I

【分析】(1)將拋物線>=—/配方為)分別令x=0,y=0計算

交點坐標即可，用頂點式寫出頂點坐標即可.

(2)利用對稱性，以頂點坐標為中心，左右各取兩個點即可，依據(jù)畫圖像的基本步驟求解

即可.

(3)分別計算x=0,x=4的函數(shù)值，比較大小，接著驗證對稱軸是否落在該取值范圍，

若落在指定范圍內(nèi)，其函數(shù)值要不小于或不大于符號表示出來.

小問1詳解】

…123

因為y=-x――

22

=1(X-1)2-2,

當y=0時，

得％_1)2_2=0,

2

解得玉=-1,尤2=3，

所以拋物線與X軸交點的坐標為(3,0),(—1,0),

當x=0時，

得尸萬1_2=-,3

3

所以拋物線與y軸交點的坐標為(0,--),

因為y=；(x_i)2—2,

所以拋物線頂點坐標為(1,-2),

故答案為：(3,0),(—1,0),,(1,-2)；

【小問2詳解】

列表如下：

X-10123

y0-20

畫圖像如下:

【小問3詳解】

1,31,

因為因為y——=—(x-1)2-2,

222

315

所以當x=()時，y=—；當x=4時，y=-x(4-l)2-2=—；

222

因為0vlv4,

所以對稱軸落在該取值范圍，

所以y能取到函數(shù)的最小值，

所以y的取值范圍是—2Wy<|.

【點睛】本題考查了拋物線與坐標軸的交點問題，頂點坐標，畫函數(shù)圖像，指定自變量范

圍計算函數(shù)值的取值范圍，熟練掌握拋物線的性質，頂點坐標的計算，驗證對稱軸是否落

在指定取值范圍是解題的關鍵.

23.如圖，ZVIBC內(nèi)接于。0,高經(jīng)過圓心0.

（1）求證：4?=AC；

（2）若BC=8,。。的半徑為5,求AABC的面積.

【答案】（1）見解析；（2）SAABC=32

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可得A。垂直平分BC,即可證明結論；

（2）連接02,根據(jù)勾股定理可得?！辏?3,得出A￡）=AO+8=8,利用三角形面積

公式求解即可.

【詳解】證明：（1）在。。中，

,?0DLBC于D,

：.BD=CD,

：.垂直平分BC,

：.AB=AC；

（2）連接。8,如圖所示：

；BC=8,由（1）得BD=C￡）,

BD=-BC=4,

2

*.*OA=OB=5，

OD=JOB?_Bb1=3，

AD=AO+OD-S.

/XABC的面積：5i4flC=BC-AD=32,

ZVIBC的面積為32.

【點睛】題目主要考查垂徑定理的應用，垂直平分線的性質，勾股定理等，理解題意，綜

合運用各個定理性質是解題關鍵.

24.已知關于x的一元二次方程好一（左+5卜+6+2左=0.

（1）求證：此方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若此方程恰有一個根小于T,求攵的取值范圍.

【答案】（1）見詳解；（2）k<-4

【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式，可得AK）,由此可證出方程總有兩個實數(shù)

根；

（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出》=2、刈=%+3,根據(jù)方程有一根小于-1,即

可得出關于k的一元一次不等式，解之即可得出左的取值范圍.

【詳解】（1）證明：?.,在方程》2-（女+5卜+6+24=0中，△=[-（Z+5）]2-4xlx（6+2左）

=/+24+1=（H1）2>0,

方程總有兩個實數(shù)根.

（2）解：—（攵+5）x+6+2左=[x—（3+女）][x—2]=0,

.".xi=2,X2=k+3.

???此方程恰有一個根小于-1,

：.k+3<-\,解得：k<-4,

的取值范圍為％<-4.

【點睛】本題考查了根的判別式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解

題的關鍵是：（1）牢記“當AM時，方程有兩個實數(shù)根“；（2）利用因式分解法解一元二次

方程結合方程一根小于-1,找出關于k的一元一次不等式.

25.小明進行鉛球訓練，他嘗試利用數(shù)學模型來研究鉛球的運動情況.他以水平方向為x

軸方向，1m為單位長度，建立了如圖所示的平面直角坐標系，鉛球從y軸上的A點出手，

運動路徑可看作拋物線，在8點處達到最高位置，落在x軸上的點C處.小明某次試投時

的數(shù)據(jù)如圖所示.

y

(i)在圖中畫出鉛球運動路徑的示意圖；

(2)根據(jù)圖中信息，求出鉛球路徑所在拋物線的表達式；

(3)若鉛球投擲距離(鉛球落地點。與出手點A的水平距離0C的長度)不小于10m,

成績?yōu)閮?yōu)秀.請通過計算，判斷小明此次試投的成績是否能達到優(yōu)秀.

17

【答案】(1)見解析；(2)y=-—(x-4)-+3；(3)達到優(yōu)秀

【分析】(1)根據(jù)題意可直接畫出圖象；

(2)由圖中信息可設拋物線解析式為y=a(x—41+3,然后把點4(0,2)代入求解即

可；

10

(3)當產(chǎn)0時，則有-微%-4)2+3=0,求解即可得到點C的坐標，進而問題可求解.

【詳解】解：(1)如圖所示.

(2)解：依題意，拋物線的頂點B的坐標為(4,3),點A的坐標為(0,2),

設該拋物線表達式為y=a(x—4)?+3,

由拋物線過點A,有18+3=2,

解得a=---,

16

1

該拋物線的表達式為y=-±(x-4)9-+3；

16

I,o

(3)解：令y=。，得-記(x-4)+3=0,

解得占=4+46,x2=4-4>/3(C在x正半軸，故舍去)，

???點C的坐標為(4+4百，0),

?*-OC=4+4G，

由可得OC>4+4x?=10,

22

小明此次試投的成績達到優(yōu)秀.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是由題中信息得出拋物線的解析式.

26.在平面直角坐標系中，拋物線丁=4￥2_2々￥+2(。<0)與37軸交于點4.

(1)求點A的坐標及拋物線的對稱軸；

(2)當0WxW3時，>的最大值是3,求當0WxW3時，>的最小值；

(3)拋物線上的兩點尸Q(%,%)，若對于f<X1<f+l,1+2<毛<，+3,都

有X*%,直接寫出［的取值的范圍.

【答案】(1)(0,2)；直線x=l；

(2)-1；

(3)f<-l或，>0.

【分析】(1)令x=0可得點A坐標，直接用對稱軸的公式寫出拋物線的對稱軸；

(2)由當0WXW3時，y的最大值是3,可知拋物線開口向下，可知最大值是頂點縱坐標，

最小值是在離對稱軸比較遠的X=3時取到；

(3)分兩種情況進行討論：①當r+1<1時，需滿足：x=/+l時的函數(shù)值小于x=f+3

時的函數(shù)值，②￡+1>1時，需滿足：x=，時的函數(shù)值大于x=，+2時的函數(shù)值；分別列

出不等式即可得到答案.

【小問1詳解】

解：令x=0得y=2,

A(0,2)；

—2。

拋物線的對稱軸為直線X=-----=1;

2a

故點A(0,2)；拋物線的對稱軸為直線x=l.

【小問2詳解】

解：a<0,

拋物線的開口向下，

??,對稱軸是直線x=l,在0WxW3時，>的最大值是3

.1.當x=l時，a—2a+2=3,

/,a=-l,

??y———+2x+2——(x—1)~+3,

"/0<x<3.

.?.當x=3時，)，取最小值，

y=—(3—I)2+3=—1>

故當時，y的最小值為-i.

【小問3詳解】

解：對于「<與</+1,t+2<x2<t+3,都有x*%，分兩種情況討論：

①當/+1<1時，需滿足：x=f+l時的函數(shù)值小于x=f+3時的函數(shù)值，

一(f+1—1)~+3<—(Z+3—1)"+3，

解得：t<-l,

t<—1；

②r+l>l時，需滿足：x=，時的函數(shù)值大于x=r+2時的函數(shù)值，

—(f—1)~+3>—(t+2—1)"+3,

解得:t>0,

綜上所述，若對于，<占<r+l,，+2<々<，+3,都有>尸必，則/的取值的范圍是

z<-1或t>0.

【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質，熟練地運用數(shù)形結

合的思想方法與根據(jù)二次函數(shù)的性質列出不等式是解此題的關鍵.

27.點C為線段A8上一點，以AC為斜邊作等腰RtAAOC,連接BD，在AABZ)外

側，以BO為斜邊作等腰RtAfiEZ),連接EC.

(1)如圖，當〃班=30°時，求證：AC=BD；

(2)如圖，當0。</。84<45°時，判斷線段EC與項的數(shù)量關系，并說明理由.

E

D

【答案】(1)證明見詳解；

(2)EC=EB；理由見詳解.

【分析】(1)過點。作DF1AC于F,由直角三角形的性質得=AC=2OF,

即得證；

(2)過點。作OGD5交3E的延長線于G,連接CG,先證NC0G=NAOB,再證

A4DB0△CDG(SAS),得NBCG=90。，再根據(jù)直角三角形的性質可得出結論.

【小問1詳解】

證明：過點。作。/工AC于凡如圖1所示，

則“尸。=90°,

???ZDBA=30。,

：.BD=2DF，

???A4DC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，DF1AC,

AC=2DF,

AC—BD；

【小問2詳解】

圖1

解：EC=EB,證明如下：

過點。作DG_L3￡＞交3E的延長線于G,連接CG,如圖2所示,

則ZBDG=90°=ZADC,

ZBDG+NBDC=ZADC+ZBDC

即Z.CDG=AADB,

:ABFD是以BO為斜邊的等腰直角三角形，

ABED=90°,ZDBE=45°,

:.NDGB=45o=NDBE,

：.DB=DG,

又,.?AD=CD,

\ADB咨ACDG(SAS),

..ZDAB=ZDCG=45°,

ZACG=ZACD+ZDCG=90°,

NBCG=90。,

-,-ZBED=90°,

.-.DEIBE

又\BD=DG，

：.BE=EG，

:.CE=>BG=BE.

2

【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質