速度勢函數和流函數

關于速度勢函數和流函數第1頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六2梯度：標量場的【梯度】()是一個矢量場。標量場中某一點上的梯度指向標量場增長最快的方向，梯度的長度是這個最大的變化率。上面兩個圖中，標量場是黑白的，黑色表示大的數值，而其相應的梯度用藍色箭頭表示。第2頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六3勢函數無旋運動時，其速度矢是可以由函數的梯度來表示的，這個函數

就稱為速度矢

的【（位）勢函數】?？梢?，用一個標量函數就把三維的速度矢都表示出來了，減少了未知量。第3頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六4等(位)勢面：取t為一固定時刻，若有此時的幾何圖像是一個空間曲面，稱為等勢函數面——【等位勢面】。當取大小不同的常數值時，上式就是等勢面族。可知：（1）速度矢與等勢面垂直。（2）流動（或說速度矢）是從高位勢流向低位勢。（3）等位勢面彼此緊密的地方，速度值大；等位勢面彼此疏松的地方，速度值小。第4頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六5散度：勢函數與速度分量：稱為三維拉普拉斯算符，則：是一個二階偏微分方程——泊松方程（Poisson），由此可得到【勢函數】與【速度矢】之間的互求關系。勢函數與散度：第5頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六6流函數與平面運動：【平面運動】需要滿足下列兩個條件：在所有平行于某個A面的平面上，流體質點的運動都是在該平面上進行的。在A面的垂線上，各物理量都相等。若取A面為XOY平面，z軸垂直向上，以上兩個條件就是：平面運動比一般的空間運動簡單，具體說來速度只有二個方向的分量u,v，所有物理量只是x,y的函數。第6頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六7在大氣中，常用XOY平面運動作為大氣運動的一種近似模型，前提條件是：研究的問題中XY方向的尺度>>Z方向的尺度，Z方向的速度分量及物理量沿Z方向的變化比起其它方向小的多，可以近似認為Z方向的速度分量為零，其它物理量沿Z方向的變化也為零。第7頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六8流函數：我們對流函數的討論是建立在二維運動XOY，且運動無輻散。即：由無輻散條件，可以找到一個函數與速度矢對應，我們把這個函數寫成ψ，ψ的全微分為：第8頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六9流函數：（1.77）中為二維矢量微商符上面的ψ就是流函數，（1.77）就是流函數與速度矢的關系。第9頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六10流函數與流線的關系根據流線方程的求法，（*）的流線方程為：（1.75）可積的充要條件是無輻散，與（1.76）對比，發(fā)現是一樣的。對（1.76）積分，得：上式時間取定，常數也取定時，就代表了某時刻的某一條流線，或等流函數線，此曲線上的切線處處跟流速矢方向一致。第10頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六11注意：流函數引入的條件是流體運動為二維，而流體是不可壓縮的，不論流體是有旋還是無旋，流函數都存在。如將流函數應用到一般的三維流體運動則會引起相當大的解析困難。）引入流函數的優(yōu)點：可以減少表征流體運動的變量。2個變1個。流函數還可以用來表示流體體積通量。第11頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六12流函數與體積通量：圖中自南向北的4條線是流線（等流函數線），任取AB曲線，在該線上任一點的速度矢是，法向單位矢是，曲線單位矢是上式表明，兩點的流函數值之差等于過這兩點的任何曲線的流體的體積通量（體積流量）值，跟曲線的形狀、長短無關。第12頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六13流函數與渦度的關系即流函數的二維拉普拉斯運算等于流體渦度的垂直分量第13頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六14一般的二維流動（1）速度矢的分解一般的二維流體運動，不一定無旋或無輻散，而是既有旋又有輻散，此時我們可以把一般的二維流體運動的速度矢分成兩部分，一部分是有旋無輻散，另一部分是無旋有輻散，即有：第14頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六15速度矢的分解稱為無輻散渦旋流(流函數對應)

稱為無旋輻散流(勢函數對應)第15頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六16速度矢的分解已知速度矢，如何得到速度的分解：1）根據速度求出渦度和散度，即：2）我們在前面已經給出了【勢函數與散度】的關系，【流函數與渦度】的關系，如下：這是兩個泊松方程，連立求解就得到勢函數和流函數第16頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六173）根據輻散流和勢函數的關系，渦旋流和流函數的關系，得到兩個風速分量，即：第17頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六18拉普拉斯流動滿足以下條件的為【拉普拉斯流動】：兩維平面運動（u,v不為零，w=0）理想流體（不考慮粘性，0=μ）無輻散流（D=0）；無旋流第