高等數學第一章函數極限

高等數學第一章函數極限第一頁，共四十一頁，2022年，8月28日一、自變量趨向無窮大時函數的極限播放第二頁，共四十一頁，2022年，8月28日通過上面演示實驗的觀察:問題:如何用精確的數學數學語言刻劃函數“無限接近”.第三頁，共四十一頁，2022年，8月28日第四頁，共四十一頁，2022年，8月28日2.另兩種情形:第五頁，共四十一頁，2022年，8月28日3.幾何解釋:第六頁，共四十一頁，2022年，8月28日例1證明證故不妨設|x|＞1，而當|x|＞1時第七頁，共四十一頁，2022年，8月28日第八頁，共四十一頁，2022年，8月28日二、自變量趨向有限值時函數的極限先看一個例子

這個函數雖在x=1處無定義，但從它的圖形上可見，當點從1的左側或右側無限地接近于1時，f(x)的值無限地接近于4，我們稱常數4為f(x)當x→1時f(x)的極限。1xyo4第九頁，共四十一頁，2022年，8月28日第十頁，共四十一頁，2022年，8月28日第十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日注①定義習慣上稱為極限的ε—δ定義其三個要素：10。正數ε，20。正數δ，30。不等式②定義中所以x→x0時，f(x)有無極限與f(x)在x0處的狀態(tài)并無關系，這是因為我們所關心的是f(x)在x0附近的變化趨勢，即x→x0時f(x)變化有無終極目標，而不是f(x)在x0這一孤立點的情況。約定x→x0但

x≠x0第十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日③δ＞0反映了x充分靠近x0的程度，它依賴于ε，對一固定的ε而言，合乎定義要求的δ并不是唯一的。δ由不等式|f(x)－A|＜ε來選定，一般地，ε越小，δ越小2.幾何解釋:第十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日例2證明證于是恒有例3設x0＞0證明第十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日證恒有例4證明證（不妨設ε＜1）第十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日第十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日例5證明證不妨設第十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日注

在利用定義來驗證函數極限時，也可考慮對|f(x)－A|進行放大，放大的原則與數列時的情形完全相同。此外還須注意此時是在x=x0的附近考察問題的，對于“附近”應如何理解，請揣摩一下。第十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日3.單側極限:例如,第十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日左極限右極限第二十頁，共四十一頁，2022年，8月28日例6證左右極限存在但不相等,第二十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日三、函數極限的性質1.局部有界性2.唯一性3.不等式性質（局部）定理(保序性)第二十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日推論定理(保號性)推論第二十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日4.子列收斂性(函數極限與數列極限的關系)定義定理第二十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日證第二十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日例如,函數極限與數列極限的關系函數極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.Heine定理，又稱歸并原則第二十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日即證明設即恒有再由則對上述有又故第二十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日設對都有要證用反證法若即但現取有滿足即但此與矛盾第二十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日例7證二者不相等,第二十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日四、小結函數極限的統(tǒng)一定義(見下表)第三十頁，共四十一頁，2022年，8月28日過程時刻從此時刻以后過程時刻從此時刻以后第三十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日思考題第三十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日思考題解答左極限存在,右極限存在,不存在.第三十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日練習題一、填空題:第三十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日第三十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日練習題答案第三十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日第三十七頁，共四