《線(xiàn)性代數(shù)》第四章 矩陣的特征值與特征向量

線(xiàn)性代數(shù)矩陣的特征值與特征向量第四章本章主要討論方陣的特征值與特征向量、方陣的相似對(duì)角化等問(wèn)題，然后介紹向量空間、基與維數(shù)，以及向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交等知識(shí)．第四章4.1方陣的特征值與特征向量一、特征值與特征向量定義１設(shè)是階矩陣，如果存在數(shù)和維非零列向量，使得（1）成立，則稱(chēng)數(shù)是方陣的特征值，稱(chēng)非零向量為的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量．（１）式也可以寫(xiě)為．（2）定義２設(shè)是階矩陣，則含有的矩陣稱(chēng)為的特征矩陣．行列式是的次多項(xiàng)式，記作，稱(chēng)為方陣的特征多項(xiàng)式．方程稱(chēng)為方陣的特征方程．顯然，特征方程的根（特征根）就是的特征值．第四章4.1方陣的特征值與特征向量二、特征值和特征向量的簡(jiǎn)單性質(zhì)定理１階矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣有相同的特征值．定理２階矩陣可逆的充分必要條件是其任一特征值不等于零．定理３設(shè)是方陣的個(gè)特征值，依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量，如果各不相等，則線(xiàn)性無(wú)關(guān)．即的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)．第四章4.2

n維向量空間一、向量空間與子空間第四章4.2

n維向量空間一、向量空間與子空間定義２設(shè)有向量空間，若，則稱(chēng)是維向量空間的子空間．任何由維向量空間所組成的向量空間，都是的子空間．例１本身是維向量空間的子空間；只有一個(gè)零向量構(gòu)成的空間也是維向量空間的子空間．定義３設(shè)為向量空間，如果向量組滿(mǎn)足：（i）線(xiàn)性無(wú)關(guān)；（ii）中任一向量都可由線(xiàn)性表出．則稱(chēng)向量組為向量空間的一個(gè)基（或一組基），一個(gè)基中向量的個(gè)數(shù)稱(chēng)為向量空間的維數(shù)，并稱(chēng)為維向量空間．第四章4.2

n維向量空間二、向量的內(nèi)積定義４設(shè)有維向量

，稱(chēng)為向量與的內(nèi)積．定義５設(shè)維向量，則稱(chēng)為維向量的長(zhǎng)度．第四章4.2

n維向量空間二、向量的內(nèi)積定義６設(shè)，是兩個(gè)非零的維向量，則定義，之間夾角的余弦為

．因此夾角為．第四章4.2

n維向量空間三、向量正交定義７若中兩個(gè)非零向量，之間的夾角等于90°(即)，則稱(chēng)與正交（或垂直），記作．零向量與任何向量都正交．定理１中兩個(gè)非零向量，正交的充分必要條件是它們的內(nèi)積等于零．定理２設(shè)是一組兩兩正交的維非零向量，則線(xiàn)性無(wú)關(guān)．定義８設(shè)維向量是向量空間的一個(gè)基，如果兩兩相交，且都是單位矩陣，則稱(chēng)是的一個(gè)規(guī)范正交基．第四章4.2

n維向量空間四、正交矩陣定義９如果階矩陣滿(mǎn)足，則稱(chēng)為正交矩陣，簡(jiǎn)稱(chēng)正交陣．第四章4.3

相似矩陣與矩陣的對(duì)角化一、相似矩陣定義１設(shè)，都是階矩陣，若有可逆矩陣，使，則稱(chēng)矩陣與相似，記作，或稱(chēng)是的相似矩陣．對(duì)進(jìn)行運(yùn)算，稱(chēng)為對(duì)進(jìn)行相似變換，可逆矩陣稱(chēng)為把變成的相似變換矩陣．定理１若階矩陣與相似，則與的特征多項(xiàng)式相同，從而與的特征值亦相同．推論若階矩陣與對(duì)角陣相似，則是的個(gè)特征值．第四章4.3

相似矩陣與矩陣的對(duì)角化一、相似矩陣定理２階矩陣相似于對(duì)角陣（即矩陣可對(duì)角化）的充分必要條件是矩陣有個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量．推論若階矩陣有個(gè)不同的特征值，則矩陣與對(duì)角陣相似．證設(shè)有個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量．根據(jù)§4.1定理3，向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以由定理2可知，與對(duì)角陣相似，其中第四章4.3

相似矩陣與矩陣的對(duì)角化二、對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化定理３對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)數(shù)．定理４設(shè)，是對(duì)稱(chēng)矩陣的兩個(gè)特征值，，是對(duì)應(yīng)的特征向量，若，則與正交．定理５設(shè)為階對(duì)稱(chēng)矩陣，則必有正交矩陣，使