教學(xué)資源 課本中一道例題的變式練習(xí)探究

課本中一道例題的變式練習(xí)探究課本是最重要的教學(xué)資料，課本中的例題是經(jīng)過作者們精心選擇的問題，它們具有典型性、示范性、系統(tǒng)性。我們把課本中的例題“吃透”，可以實(shí)現(xiàn)“以少勝多”，達(dá)到事半功倍的效果。對例題進(jìn)行適切的變式，可以幫助學(xué)生更好地理解例題，拓展學(xué)生考慮問題的思路，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。本文試圖從課本中的例題出發(fā)，就夯實(shí)基礎(chǔ)內(nèi)容、滲透數(shù)學(xué)思想、提升思維能力、培養(yǎng)探究精神等視角，對例題的變式練習(xí)作些探索。CBAHDEFGP圖1課本中的原題是這樣的：如圖1，正方形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，頂點(diǎn)D、G分別在AB、AC上。已知△ABC的邊BCCBAHDEFGP圖1這一例題是相似三角形性質(zhì)的第三節(jié)課，課本上的解題思路是相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，即，進(jìn)而得到，從而解決問題。下面對這道題目作變式拓展。1通過變式練習(xí)夯實(shí)基礎(chǔ)內(nèi)容1.1以一題多解促基礎(chǔ)知識的鞏固變式1：你還能用什么方法求出正方形邊長？在這一變式練習(xí)中，學(xué)生可通過平行線分線段成比例，即，得出，再求解；也可以，，由得出，再求解等。學(xué)生在思考問題、解決問題的過程中發(fā)現(xiàn)殊途同歸，是對所學(xué)基礎(chǔ)知識的加深和鞏固。1.2以多圖一解促基本圖形的鞏固實(shí)質(zhì)上很多千變?nèi)f化的幾何圖形都具有相同的本質(zhì)，只有掌握本質(zhì)，才有解決問題的“鑰匙”。HCFEBPGDA變式2：如圖2，將條件“正方形DEFG”改為“HCFEBPGDAEGEG(P)BDAC(H、F)PHCGFEBDA圖2圖3圖4變式3：如果改變△ABC的形狀，但保持邊BC與高AH的長不變，矩形DEFG的邊EF在直線BC上，頂點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC上，矩形DEFG的邊長會變化嗎？為什么？（參見圖3、圖4）變式4：上題中，若BC長為l，AH長為h，DG長為a，DE長為b。寫出l、h、a、b之間的等量關(guān)系式。這一過程中，雖然圖形發(fā)生了變化，但同樣可以得出本質(zhì)相同的關(guān)系式。這樣在使學(xué)生熟悉基本圖形的同時(shí)，揭示了這類基本圖形中始終存在的比例關(guān)系，即：。更是幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)“變”中的“不變”，體會數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。在具體教學(xué)時(shí)也可以通過幾何畫板的演示讓學(xué)生有更深切的感受。2通過變式練習(xí)滲透數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的精髓。課本中往往將數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識中，教師要站在更高的層次上理解課本、挖掘課本，將靈活多樣的變式練習(xí)作為一個(gè)有效載體，將數(shù)學(xué)的思想方法滲透在教學(xué)全過程中。通過不斷積累，逐漸內(nèi)化為學(xué)生自己的經(jīng)驗(yàn)和自覺的意識。2.1滲透分類的思想方法PHCGFEBDA圖5變式5：銳角△ABC中，BC=12，高AH為8，四邊形DEFG是△PHCGFEBDA圖52.2滲透函數(shù)與方程的思想方法變式6：如圖5，在上題中，若設(shè)DE=x，矩形DEFG的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域。變式7：上題中，當(dāng)矩形面積為18時(shí)，求FG的長。2.3滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法數(shù)形結(jié)合的思想是研究數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法，根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想。變式8：銳角△ABC中，BC=12，高AH為8，四邊形DEFG是△ABC的內(nèi)接矩形，一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上。求矩形的最大面積及此時(shí)矩形的長和寬。2.4滲透化歸思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中，化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略。它把待解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化過程歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題。CGKBDAPH圖7EF變式9：如圖6，銳角△ABC中，BC=12，高AH為CGKBDAPH圖7EFCCGKBDAPH圖6本題中雖然出現(xiàn)的是一個(gè)與前面圖形有所不同的等邊三角形，但是學(xué)生通過探索可以發(fā)現(xiàn)，只要添設(shè)輔助線可以將問題轉(zhuǎn)化出與原題相同的基本圖形（如圖7），在待解決的問題和已解決問題之間架起一個(gè)聯(lián)系的橋梁，從而解決問題。（本題也可以過點(diǎn)K作DG的垂線進(jìn)行求解。）3通過變式練習(xí)提升學(xué)生思維能力CGKBDCGKBDAPH圖8變式10：如圖8，在直角△ABC中，斜邊BC=12，如果△DGK是△ABC的內(nèi)接等邊三角形，且DG∥BC,DG=4,求這個(gè)直角三角形兩條直角邊長。BDCGBDCGA圖9變式11：如圖9，已知△ABC中,AB=5,BC=3,AC=,DG∥BC,D點(diǎn)在邊AB上（與A、B不重合），G在AC上。試問:在線段BC上是否存在一點(diǎn)M,使得△DGM為等腰直角三角形,若不存在,請說明理由；若存在,請求出DG的長。本題融合了化歸、分類等數(shù)學(xué)思想和方法，改編成了一道存在性問題。學(xué)生進(jìn)行分類的分析、討論，探究出問題的結(jié)果，思維獲得了提升。4通過變式練習(xí)增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)探究精神4.1創(chuàng)設(shè)實(shí)際問題情境，激發(fā)學(xué)生興趣變式12：△ABC是一塊銳角三角形材料，邊BC長60厘米，高AH為40厘米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、變式13：有一塊直角三角形木板，斜邊長為5米，其中一條直角邊長為3米實(shí)際生活中的問題是最貼近學(xué)生生活的，因此給學(xué)生一個(gè)實(shí)際背景的問題，不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)情趣，而且還能讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)是來源于生活，服務(wù)于生活的。4.2適當(dāng)拓展，激發(fā)學(xué)生探究變式14：已知銳角△ABC的三邊長分別為a，b，c，其中a＜b＜c,那么這個(gè)三角形的內(nèi)接正方形的面積哪個(gè)最大？這樣，適當(dāng)加深難度進(jìn)行拓展，使一些學(xué)有余力的學(xué)生面對適度的困難，開展嘗試和探究，激發(fā)