平面向量的應(yīng)用學(xué)習(xí)學(xué)案-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

高一下數(shù)學(xué)學(xué)案第9課時(shí)平面向量的應(yīng)用高一下數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指南第9課時(shí)第9課時(shí)平面向量的應(yīng)用【學(xué)習(xí)內(nèi)容分析】向量具有明確的幾何背景，向量的加法、減法的幾何意義是平行四邊形和三角形法則，向量的數(shù)乘的幾何意義是平行（或共線），由此可以自然而然的利用向量來(lái)解決有關(guān)三角形、平行四邊形、平面內(nèi)兩條直線平行或垂直關(guān)系及夾角的幾何問(wèn)題.向量有豐富的物理背景，即力、速度、加速度和位移，自然而然可以利用向量解決物理力學(xué)現(xiàn)象，最短航程或最短時(shí)間等問(wèn)題.通過(guò)解決平面幾何和物理中的問(wèn)題，最終歸結(jié)為平面幾何問(wèn)題.向量在平面幾何和物理中應(yīng)用，可以體會(huì)到向量是工具，蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合、類比、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的極好載體.平面向量的概念平面向量的運(yùn)算平面向量基本定理及坐標(biāo)表示平面向量的應(yīng)用平面向量的概念平面向量的運(yùn)算平面向量基本定理及坐標(biāo)表示平面向量的應(yīng)用解決物理問(wèn)題解決幾何問(wèn)題解決物理問(wèn)題解決幾何問(wèn)題【學(xué)習(xí)目標(biāo)】⑴經(jīng)歷幾何元素轉(zhuǎn)化的過(guò)程，能應(yīng)用向量解決平面幾何中的位置關(guān)系、長(zhǎng)度和夾角等問(wèn)題，納出方法和步驟，體會(huì)化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；⑵通過(guò)對(duì)實(shí)例的轉(zhuǎn)化與建模，會(huì)應(yīng)用向量解釋物理現(xiàn)象或解決物理最優(yōu)問(wèn)題，歸納向量法解決物理問(wèn)題的方法和步驟，提升數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【學(xué)習(xí)重、難點(diǎn)】⑴重點(diǎn)：用向量法解決平面幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題的方法和步驟.⑵難點(diǎn)：如何把平面幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題.【知識(shí)準(zhǔn)備】認(rèn)知準(zhǔn)備：平面向量的概念、向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示、余弦曲線.前測(cè)：⑴如圖，是的中位線，,,,取為基底.①用，表示及;②求,;⑵用“五點(diǎn)法”畫(huà)出一周期內(nèi)的圖象.【概念的形成】【問(wèn)題1】將幾何元素用向量表示幾何特性幾何元素及其表示向量元素及運(yùn)算表示平行垂直長(zhǎng)度角度【問(wèn)題2】已知平行四邊形，對(duì)角線和的長(zhǎng)度與兩條鄰邊和的長(zhǎng)度之間的關(guān)系______________________________.【追問(wèn)1】如何證明這個(gè)結(jié)論？【追問(wèn)2】上述問(wèn)題從矩形推廣到平行四邊形，這個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立，結(jié)論如何證明？取為基底，_________________,_________________,_________________________,_________________________,__________________【問(wèn)題3】向量方法解決平面幾何問(wèn)題的步驟有哪些？⑴_(tái)___________________________________________________________；⑵____________________________________________________________；⑶____________________________________________________________.【追問(wèn)1】可否用其他的“恰當(dāng)?shù)南蛄窟\(yùn)算”解決該問(wèn)題？【概念的理解】【問(wèn)題1】?jī)晌煌瑢W(xué)共提一桶水，兩人拉力夾角越大越費(fèi)力，還是越小越費(fèi)力？為什么？你能從數(shù)學(xué)的角度解釋嗎？該物理問(wèn)題是力的______問(wèn)題，可以用向量______的______________法則解決.設(shè)作用在水桶上的兩個(gè)拉力分別為、，其夾角為??，不妨設(shè)，水桶所受的重力為.由向量的平行四邊形法則、力的平衡以及直角三角形的知識(shí)知.因?yàn)椋蓤D象可知，當(dāng)由逐漸變小到0，的值由____逐漸變____，此時(shí)由____逐漸變____，這就說(shuō)明，、之間的夾角越_____越費(fèi)力.【問(wèn)題2】向量方法解決物理問(wèn)題的步驟有哪些？⑴_(tái)___________________________________________________________；⑵____________________________________________________________；⑶____________________________________________________________；⑷____________________________________________________________.【概念的應(yīng)用】例1如圖，在中，，，點(diǎn)在線段上，且,求：⑴的長(zhǎng)；⑵的大小.例2一條河兩岸平行，河的寬度，一艘船從河岸邊的地出發(fā)，向河對(duì)岸航行.已知船的速度的大小為，水流速度的大小為，那么當(dāng)航程最短時(shí)，這艘船行駛完全程需要多長(zhǎng)時(shí)間？練習(xí)⑴如圖所示，在正方形中，，分別是，的中點(diǎn)，①求證：；②若為中點(diǎn)，判斷直線是否與直線平行，并證明你的結(jié)論.⑵已知質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，兩恒力，作用于該質(zhì)點(diǎn).①求力，分別對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功；②求力，的合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功.拓展提升用向量法證明下列結(jié)論成立.①為的重心(中線交點(diǎn))；②為的垂心(高線交點(diǎn))；③為的外心(中垂線交點(diǎn))（或）；④為的內(nèi)心(角分線交點(diǎn)).【反思與小結(jié)】⑴向量法解決平面幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題的步驟是什么？⑵向量法解決問(wèn)題的過(guò)程中用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？【課后作業(yè)】A組⑴人騎自行車的速度為，風(fēng)速為，則逆風(fēng)行駛的速度為（

）A． B． C． D．⑵一質(zhì)點(diǎn)受到同一平面上的三個(gè)力，，（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)，已知，成120°角，且，的大小都為牛頓，則的大小為_(kāi)_____牛頓.⑶雨滴在下落一定時(shí)間后的運(yùn)動(dòng)是勻速的，無(wú)風(fēng)時(shí)雨滴下落的速度是4，現(xiàn)在有風(fēng)，風(fēng)使雨滴以的速度水平向東移動(dòng)，求雨滴著地時(shí)的速度和方向.⑷試用向量法證明勾股定理.⑸求證：直徑所對(duì)的圓周角為直角.B組⑹如