新教材高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何3圓及其方程3直線與圓的位置關(guān)系學(xué)案新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

PAGEPAGE9直線與圓的位置關(guān)系課標(biāo)解讀課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.能根據(jù)給定的直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系.⒉能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題1.直觀想象——能借助圖形理解直線與圓的位置關(guān)系及切線、弦長(zhǎng)問題⒉數(shù)學(xué)運(yùn)算——能利用代數(shù)運(yùn)算解決直線和圓的方程問題自主學(xué)習(xí)·必備知識(shí)教材研習(xí)教材原句1.如圖（1）所示，直線與圓有①兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，稱直線與圓相交，且稱直線為圓的②割線；如圖（2）所示，直線與圓只有③一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，稱直線與圓相切，且稱直線為圓的④切線，稱公共點(diǎn)為切點(diǎn)；如圖（3）所示，直線與圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，稱直線與圓⑤相離.2.幾何法判斷直線和圓的位置關(guān)系如圖所示，如果⊙C的半徑為r，圓心C到直線l的距離為d，則：直線l與⊙C相交?⑥d＜r；直線l與⊙C相切?d=r；直線l與⊙C相離?⑦d＞r.自主思考1.若直線與圓有公共點(diǎn)，則直線與圓是什么位置關(guān)系？答案：提示相交或相切2.直線l:x=0與圓x2答案：提示相交名師點(diǎn)睛1.代數(shù)法判斷直線與圓的位置關(guān)系聯(lián)立直線的方程與圓的方程組成方程組Ax+By+C=0(x-a)2+(y-b)2=r2消去y①Δ=0?直線與圓相切；②Δ=0?直線與圓相交；③Δ=0?直線與圓相離.2.判斷直線與圓位置關(guān)系的注意點(diǎn)（1）利用代數(shù)法判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，不必求出方程組的解，只需將直線方程代入到圓的方程中，并消去一個(gè)變量，得到關(guān)于x或y的一元二次方程，由Δ判斷方程解的個(gè)數(shù)，利用解的個(gè)數(shù)判斷直線與圓的位置關(guān)系.（2）利用幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，必須求出圓心坐標(biāo)，圓的半徑r和圓心到直線的距離d，比較r與d的大小，進(jìn)而進(jìn)行判斷.（3）一般情況下，代數(shù)法運(yùn)算比較煩瑣，而幾何法較簡(jiǎn)捷，是判斷直線與圓位置關(guān)系的常用方法.互動(dòng)探究·關(guān)鍵能力探究點(diǎn)一直線與圓位置關(guān)系的判斷精講精練例（1）（2021山東聊城高二期末）直線x-2y-1=0與圓x2A.相切B.相交且直線過圓心C.相交但直線不過圓心D.相離（2）（多選）已知圓M:(x+cosθ)A.對(duì)任意實(shí)數(shù)k和θ，直線l和圓M有公共點(diǎn)B.對(duì)任意實(shí)數(shù)θ，必存在實(shí)數(shù)k，使得直線l與圓M相切C.對(duì)任意實(shí)數(shù)k，必存在實(shí)數(shù)θ，使得直線l與圓M相切D.存在實(shí)數(shù)k與θ，使得圓M上有一點(diǎn)到直線l的距離為3答案：（1）C（2）A;C解析：（1）圓x2+y2=1因?yàn)閳A心O(0,0)到直線x-2y-1=0的距離d=|0-0-1|所以直線與圓相交但直線不過圓心.（2）易知圓M:(x+cosθ)2+(y-設(shè)圓心M(-cosθ,sinθ)到直線l的距離為所以對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，直線l與圓相交或相切，所以C正確，B不正確；易知圓上的點(diǎn)到直線l的距離最大值為d+1≤2，所以D不正確.解題感悟直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法：（1）幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷.（2）代數(shù)法：根據(jù)直線方程與圓的方程組成的方程組的解的個(gè)數(shù)來判斷.（3）直線系法：若直線恒過定點(diǎn)，可通過判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系.但有一定的局限性，必須是過定點(diǎn)的直線系.遷移應(yīng)用1.（2020寧夏青銅峽高級(jí)中學(xué)高二期中）直線3x+4y-13=0與圓(x-2)A.相交B.相離C.相切D.無法判定答案：A解析：圓(x-2)2+(y-3)2=4的圓心是(2,3)，半徑2.（2020山東濟(jì)南高二月考）直線y-x=0與圓(x-a)A.相交B.相切C.相離D.與a的取值有關(guān)答案：C解析：由(x-a)2+y2=14a探究點(diǎn)二直線與圓相切問題精講精練例（1）（2021山東聊城高二期中）已知圓C與直線x+y+3=0相切，直線mx+y+1=0始終平分圓C的面積，則圓C的方程為()A.x2+C.x2+（2）過點(diǎn)A(4,-3)作圓(x-3)答案：（1）D解析：（1）在mx+y+1=0中，令x=0，則y=-1，則直線mx+y+1=0過定點(diǎn)(0,-1).由于直線mx+y+1=0始終平分圓C的面積，則點(diǎn)(0,-1)是圓C的圓心，因?yàn)閳AC與直線x+y+3=0相切，所以圓C的半徑r=所以圓C的方程為x2+(y+1)答案：（2）因?yàn)?4-3)2+(-3-1①若所求直線的斜率存在，設(shè)切線斜率為k，則切線方程為y+3=k(x-4)，即kx-y-4k-3=0.設(shè)圓的圓心為C，則C(3,1)，因?yàn)閳A心到切線的距離等于半徑1，所以|3k-1-3-4k|k2+1所以k2+8k+16=k所以切線方程為-158x-y+②若直線斜率不存在，圓心C(3,1)到直線x=4的距離為1，這時(shí)直線x=4與圓相切，切線方程為x=4.綜上，所求切線的方程為15x+8y-36=0或x=4.變式若本例（2）的條件不變，求其切線長(zhǎng).答案：設(shè)圓的圓心為C，則C(3,1)，設(shè)切點(diǎn)為B，則△ABC為直角三角形，|AC|=(3-4)2則|AB|=|AC解題感悟1.求過一點(diǎn)P(x0,y2.一般地，圓的切線問題，若已知切點(diǎn)，則用k1?k2=-1（k1,遷移應(yīng)用1.（2020山東濰坊高二月考）若圓x2+y2-2x+4y=3-2k-A.3或-1B.-3或1C.2或-1D.-2或1答案：B解析：易知圓的圓心坐標(biāo)為(1,-2)，半徑為8-2k-k因?yàn)閳Ax2+y所以|2-2+5|5=8-2k-k2，可得3-2k-2.（2021山西懷仁一中高二月考）過直線y=x上一點(diǎn)P引圓x2A.22B.322C.102D.2答案：C解析：圓x2+y若切線長(zhǎng)最小，則直線y=x上的點(diǎn)P與圓心的連線與該直線垂直，易知圓心到直線y=x的距離d=3所以切線長(zhǎng)的最小值為d2探究點(diǎn)三直線和圓相交精講精練例（1）求直線l:3x+y-6=0被圓C:x2+（2）（2021山東濱州高二期中）在①圓經(jīng)過C(3,4)；②圓心在直線x+y-2=0上；③圓截y軸所得弦長(zhǎng)為8且圓心E的坐標(biāo)為整數(shù)這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，進(jìn)行求解.已知圓E經(jīng)過點(diǎn)A(-1,2),B(6,3)，且.（i）求圓E的方程；（ii）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)(-2,2)，直線l與圓E相交所得的弦長(zhǎng)為8，求直線l的方程.答案：（1）解法一：由3x+y-6=0x2+y2∴弦AB的長(zhǎng)為|AB|=(2-1解法二：由3x+y-6=0x2+y2設(shè)兩交點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,則由根與系數(shù)的關(guān)系得x1∴|AB|=====10×(即弦AB解法三：圓C:x2+y2點(diǎn)(0,1)到直線l的距離d=|3×0+1-6|32+1（2）選條件①，（i）選條件①，設(shè)圓的方程為x2+解得D=-6,E=2,F=-15，所以圓的方程為x2即圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)選條件②，（i）設(shè)圓的方程為x2因?yàn)閳AE經(jīng)過點(diǎn)A(-1,2),B(6,3)，且圓心在直線x+y-2=0上，所以5-D+2E+F=045+6D+3E+F=0-D所以圓E的方程為(x-3)2+(y+1)2=25.（ii）選條件①，設(shè)圓心到直線l的距離為d，則弦長(zhǎng)L=2r當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，d=5≠3，所以直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y-2=k(x+2)，即kx-y+2k+2=0，則d=|3k+1+2k+2|k2+1=3所以所求直線的方程為y=2或15x+8y+14=0.選條件②，（ii）解析同條件①.選條件③，（i）設(shè)圓E的方程為x2由圓E經(jīng)過點(diǎn)A(-1,2),B(6,3)，得5-D+2E+F=0,因?yàn)閳A截y軸所得弦長(zhǎng)為8，故方程y2+Ey+F=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根所以|y1-解方程組5-D+2E+F=045+6D+3E+F=0E2D=-206由于圓心E的坐標(biāo)為整數(shù)，故圓E的方程為(x-3)（ii）解析同條件①.解題感悟求直線與圓相交所得弦長(zhǎng)的兩種常用方法：（1）幾何法：直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)弦心距為d，圓的半徑為r，弦長(zhǎng)為|AB|，則|AB|=2r（2）代數(shù)法：設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)分別是A(x則|BA|=(x1遷移應(yīng)用1.若直線l:x-y+m=0被圓C:(x-1)2+(y-2A.5B.5或-3C.3D.3或-5答案：B解析：由題可知圓C的圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑r=23則圓心到直線的距離d=|m-1|2，∴d2=r2-22.（2021山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二月考）已知圓C:(x-1)2+y2A.911B.921C.10答案：C解析：圓C:(x-1)2+y2=25的圓心∴最短弦的長(zhǎng)為2r故所求四邊形的面積S=1評(píng)價(jià)檢測(cè)·素養(yǎng)提升課堂檢測(cè)1.（2021遼寧撫順第十二中學(xué)高二期中）直線ax-y+2a=0與圓x2A.相離B.相交C.相切D.不確定答案：B2.（2020山東青州一中高二期中）若圓心坐標(biāo)為(2,-1)的圓被直線x-y-1=0截得的弦長(zhǎng)為22A.(x-2)2C.(x-2)2答案：B3.過點(diǎn)(-3,-1)的直線l與圓x2+yA.433B.答案：D4.直線l:3x-4y+5=0截圓C:x答案：8素養(yǎng)演練1.數(shù)學(xué)建?！本€與圓的實(shí)際應(yīng)用（2020江蘇南通啟東中學(xué)高二開學(xué)考試）樹林的邊界是直線l（如圖CD所在的直線），一只兔子在河邊喝水時(shí)發(fā)現(xiàn)了一只狼，兔子和狼分別位于l的垂線AC上的A點(diǎn)和B點(diǎn)處，AB=BC=a（a為正常數(shù)），若兔子沿AD方向以速度2μ向樹林逃跑，同時(shí)狼沿線段BM(M∈AD)方向以速度μ進(jìn)行追擊（μ為正常數(shù)），若狼到達(dá)M處的時(shí)間不超過兔子到達(dá)M處的時(shí)間，狼就會(huì)吃掉兔子.（1）求兔子的所有不幸點(diǎn)（即可能被狼吃掉的點(diǎn)）的區(qū)域面積S(a)；（2）若兔子要想不被狼吃掉，求θ(θ=∠DAC)的取值范圍.解析：審：本題的解題關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的基礎(chǔ)知識(shí)和點(diǎn)到直線的距離公式，及其圓在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查了分析能力和計(jì)算能力.聯(lián)：（1）兔子的不幸點(diǎn)滿足BMμ≤AM2μ，即2BM≤AM，建立平面直角坐標(biāo)系可求得（2）兔子要想不被狼吃掉，則兔子行進(jìn)的路線與狼所在的區(qū)域不能有重疊，所以