浙江專用高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)第9講函數(shù)模型及其應(yīng)用演練含解析

PAGEPAGE6第9講函數(shù)模型及其應(yīng)用[A級基礎(chǔ)練]1．某電視新產(chǎn)品投放市場后第一個(gè)月銷售100臺，第二個(gè)月銷售200臺，第三個(gè)月銷售400臺，第四個(gè)月銷售790臺，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數(shù)x之間關(guān)系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100解析：選C．根據(jù)函數(shù)模型的增長差異和題目中的數(shù)據(jù)可知，應(yīng)為指數(shù)型函數(shù)模型，代入數(shù)據(jù)驗(yàn)證即可得．故選C．2．已知正方形ABCD的邊長為4，動點(diǎn)P從B點(diǎn)開始沿折線BCDA向A點(diǎn)運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為x，△ABP的面積為S，則函數(shù)S＝f(x)的圖象是()解析：選D．依題意知當(dāng)0≤x≤4時(shí)，f(x)＝2x；當(dāng)4<x≤8時(shí)，f(x)＝8；當(dāng)8<x≤12時(shí)，f(x)＝24－2x，觀察四個(gè)選項(xiàng)知D項(xiàng)符合要求．3．“酒駕猛于虎”，所以交通法規(guī)規(guī)定：駕駛員在駕駛機(jī)動車時(shí)血液中酒精含量不得超過0.2mg/mL.假設(shè)某人喝了少量酒，血液中酒精含量迅速上升到0.8mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小時(shí)50%的速度減少，則他至少要經(jīng)過________小時(shí)后才可以駕駛機(jī)動車．()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B．設(shè)n個(gè)小時(shí)后才可以駕駛機(jī)動車，則0.8×(1－50%)n＝0.2.解得n＝log0.50.25＝2.即至少要經(jīng)過2個(gè)小時(shí)后才可以駕駛機(jī)動車．故選B．4．2020年3月，國內(nèi)新冠肺炎疫情得到有效控制，人們開始走出家門享受春光．某旅游景點(diǎn)為吸引游客，推出團(tuán)體購票優(yōu)惠方案如表：購票人數(shù)1～5051～100100以上門票價(jià)格13元/人11元/人9元/人兩個(gè)旅游團(tuán)隊(duì)計(jì)劃游覽該景點(diǎn)，若分別購票，則共需支付門票費(fèi)1290元；若合并成一個(gè)團(tuán)隊(duì)購票，則需支付門票費(fèi)990元，那么這兩個(gè)旅游團(tuán)隊(duì)的人數(shù)之差為()A．20 B．30C．35 D．40解析：選B．設(shè)兩個(gè)旅游團(tuán)隊(duì)的人數(shù)分別為a，b，且a，b∈N*，不妨令a≥b.因?yàn)?290不能被13整除，所以a＋b≥51.若51≤a＋b≤100，則11(a＋b)＝990，得a＋b＝90，①由共需支付門票費(fèi)為1290元可知，11a＋13b＝1290，②聯(lián)立①②解得b＝150，a＝－60，不符合題意；若a＋b>100，則9(a＋b)＝990，得a＋b＝110，③由共需支付門票費(fèi)為1290元可知，1≤b≤50，51≤a≤100，得11a＋13b＝1290，④聯(lián)立③④解得a＝70，b＝40.所以這兩個(gè)旅游團(tuán)隊(duì)的人數(shù)之差為70－40＝30.故選B．5．射線測厚技術(shù)原理公式為I＝I0e－ρμt，其中I0，I分別為射線穿過被測物前后的強(qiáng)度，e是自然對數(shù)的底數(shù)，t為被測物厚度，ρ為被測物的密度，μ是被測物對射線的吸收系數(shù)．工業(yè)上通常用镅241(241Am)低能γ射線測量鋼板的厚度．若這種射線對鋼板的半價(jià)層厚度為0.8，鋼的密度為7.6，則這種射線的吸收系數(shù)為(注：半價(jià)層厚度是指將已知射線強(qiáng)度減弱為一半的某種物質(zhì)厚度，ln2≈0.6931，結(jié)果精確到0.001)()A．0.110 B．0.112C．0.114 D．0.116解析：選C．由射線測厚技術(shù)原理公式得eq\f(I0,2)＝I0e－7.6×0.8μ，所以eq\f(1,2)＝e－6.08μ，－ln2＝－6.08μ，μ≈0.114，故選C．6．某購物網(wǎng)站在2020年11月開展“全部6折”促銷活動，在11日當(dāng)天購物還可以再享受“每張訂單金額(6折后)滿300元時(shí)可減免100元”．某人在11日當(dāng)天欲購入原價(jià)48元(單價(jià))的商品共42件，為使花錢總數(shù)最少，他最少需要下的訂單張數(shù)為________．解析：為使花錢總數(shù)最少，需使每張訂單滿足“每張訂單金額(6折后)滿300元時(shí)可減免100元”，即每張訂單打折前原金額不少于500元．由于每件原價(jià)48元，因此每張訂單至少11件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的訂單張數(shù)為3.答案：37．某市用37輛汽車往災(zāi)區(qū)運(yùn)送一批救災(zāi)物資，假設(shè)以vkm/h的速度直達(dá)災(zāi)區(qū)，已知某市到災(zāi)區(qū)公路線長400km，為了安全起見，兩輛汽車的間距不得小于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20)))eq\s\up12(2)km，那么這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)的最少時(shí)間是________h．(車身長度不計(jì))解析：設(shè)全部物資到達(dá)災(zāi)區(qū)所需時(shí)間為th，由題意可知，t相當(dāng)于最后一輛車行駛了eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(36×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20)))\s\up12(2)＋400))km所用的時(shí)間，因此，t＝eq\f(36×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20)))\s\up12(2)＋400,v)＝eq\f(36v,400)＋eq\f(400,v)≥2eq\r(\f(36v,400)×\f(400,v))＝12，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(36v,400)＝eq\f(400,v)，即v＝eq\f(200,3)時(shí)取等號．故這些汽車以eq\f(200,3)km/h的速度勻速行駛時(shí)，所需時(shí)間最少，最少時(shí)間為12h.答案：128．為了抗擊新型冠狀病毒肺炎，某醫(yī)藥公司研究出一種消毒劑，據(jù)實(shí)驗(yàn)表明，該藥物釋放量y(mg/m3)與時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系為y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kt，0<t<\f(1,2)，,\f(1,kt)，t≥\f(1,2)，))(如圖所示)實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)藥物釋放量y<0.75(mg/m3)時(shí)對人體無害．(1)k＝________；(2)為了不使人身體受到藥物傷害，若使用該消毒劑對房間進(jìn)行消毒，則在消毒后至少經(jīng)過________分鐘人方可進(jìn)入房間．解析：(1)由題圖可知，當(dāng)t＝eq\f(1,2)時(shí)，y＝1，所以eq\f(2,k)＝1，所以k＝2.(2)由(1)可知：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2t，0<t<\f(1,2),\f(1,2t)，t≥\f(1,2)，))當(dāng)t≥eq\f(1,2)時(shí)，y＝eq\f(1,2t)，令y<0.75，得t>eq\f(2,3)，所以在消毒后至少經(jīng)過eq\f(2,3)小時(shí)，即40分鐘人方可進(jìn)入房間．答案：(1)2(2)409．“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點(diǎn)．研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時(shí)，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v(單位：千克/年)是養(yǎng)殖密度x(單位：尾/立方米)的函數(shù)．當(dāng)x不超過4尾/立方米時(shí)，v的值為2千克/年；當(dāng)4<x≤20時(shí)，v是x的一次函數(shù)，當(dāng)x達(dá)到20尾/立方米時(shí)，因缺氧等原因，v的值為0千克/年．(1)當(dāng)0<x≤20時(shí)，求v關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)養(yǎng)殖密度x為多大時(shí)，魚的年生長量(單位：千克/立方米)可以達(dá)到最大？并求出最大值．解：(1)由題意得當(dāng)0<x≤4時(shí)，v＝2；當(dāng)4＜x≤20時(shí)，設(shè)v＝ax＋b，a≠0，顯然v＝ax＋b在(4，20]內(nèi)是減函數(shù)，由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20a＋b＝0，,4a＋b＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,8)，,b＝\f(5,2)，))所以v＝－eq\f(1,8)x＋eq\f(5,2)，故函數(shù)v＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，0<x≤4，x∈N＋,－\f(1,8)x＋\f(5,2)，4<x≤20，x∈N＋.))(2)設(shè)年生長量為f(x)千克/立方米，依題意并由(1)可得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，0<x≤4，,－\f(1,8)x2＋\f(5,2)x，4<x≤20.))當(dāng)0<x≤4時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；當(dāng)4<x≤20時(shí)，f(x)＝－eq\f(1,8)x2＋eq\f(5,2)x＝－eq\f(1,8)(x2－20x)＝－eq\f(1,8)(x－10)2＋eq\f(25,2)，f(x)max＝f(10)＝12.5.所以當(dāng)0<x≤20時(shí)，f(x)的最大值為12.5.即當(dāng)養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時(shí)，魚的年生長量可以達(dá)到最大，最大值為12.5千克/立方米．[B級綜合練]10．(2020·高考全國卷Ⅲ)Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：I(t)＝eq\f(K,1＋e－0.23(t－53))，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I(t*)＝0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則t*約為(ln19≈3)()A．60 B．63C．66 D．69解析：選C．由題意可知，當(dāng)I(t*)＝0.95K時(shí)，eq\f(K,1＋eeq\s\up6(－0.23(t*－53)))＝0.95K，即eq\f(1,0.95)＝1＋eeq\s\up6(－0.23(t*－53))，eeq\s\up6(－0.23(t*－53))＝eq\f(1,19)，eeq\s\up6(0.23(t*－53))＝19，所以0.23(t*－53)＝ln19≈3，所以t*≈66.故選C．11．5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：C＝Wlog2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(S,N))).它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中eq\f(S,N)叫做信噪比．按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W，而將信噪比eq\f(S,N)從1000提升至2000，則C大約增加了()A．10% B．30%C．50% D．100%解析：選A．將信噪比eq\f(S,N)從1000提升至2000，C大約增加了eq\f(Wlog2(1＋2000)－Wlog2(1＋1000),Wlog2(1＋1000))＝eq\f(log22001－log21001,log21001)≈eq\f(10.967－9.967,9.967)≈10%，故選A．12．某公司計(jì)劃投資開發(fā)一種新能源產(chǎn)品，預(yù)計(jì)能獲得10萬元～1000萬元的收益．現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對開發(fā)科研小組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：資金y(單位：萬元)隨收益x(單位：萬元)的增加而增加，且獎(jiǎng)金總數(shù)不超過9萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金總數(shù)不超過收益的20%.(1)若建立獎(jiǎng)勵(lì)方案函數(shù)模型y＝f(x)，試確定這個(gè)函數(shù)的定義域、值域和eq\f(y,x)的范圍；(2)現(xiàn)有兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型：①y＝eq\f(x,150)＋2；②y＝4lgx－3.試分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公司的要求？請說明理由．解：(1)y＝f(x)的定義域是[10，1000]，值域是(0，9]，eq\f(y,x)∈(0，0.2]．(2)當(dāng)y＝eq\f(x,150)＋2時(shí)，eq\f(y,x)＝eq\f(1,150)＋eq\f(2,x)的最大值是eq\f(31,150)>0.2，不符合公司的要求．當(dāng)y＝4lgx－3時(shí)，函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，最大值為9.由eq\f(y,x)≤0.2可知y－0.2x≤0.令g(x)＝4lgx－3－0.2x，x∈[10，1000]，則g′(x)＝eq\f(20－xln10,5xln10)<0，所以g(x)在[10，1000]上單調(diào)遞減，所以g(x)≤g(10)＝－1<0，即eq\f(y,x)≤0.2.故函數(shù)y＝4lgx－3符合公司的要求．[C級提升練]13．某旅游景點(diǎn)預(yù)計(jì)2021年1月份起前x個(gè)月的旅游人數(shù)的和p(x)(單位：萬人)與x的關(guān)系近似為p(x)＝eq\f(1,2)x·(x＋1)·(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x個(gè)月的人均消費(fèi)額q(x)(單位：元)與x的近似關(guān)系是q(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(35－2x，x∈N*，且1≤x≤6，,\f(160,x)，x∈N*且7≤x≤12.))(1)寫出2021年第x個(gè)月的旅游人數(shù)f(x)(單位：萬人)與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)試問2021年第幾個(gè)月的旅游消費(fèi)總額最大？最大月旅游消費(fèi)總額為多少元？解：(1)當(dāng)x＝1時(shí)，f(1)＝p(1)＝37，當(dāng)2≤x≤12，且x∈N*時(shí)，f(x)＝p(x)－p(x－1)＝eq\f(1,2)x(x＋1)(39－2x)－eq\f(1,2)x(x－1)(41－2x)＝－3x2＋40x，經(jīng)驗(yàn)證x＝1時(shí)也滿足此式．所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．(2)第x(x∈N*)個(gè)月的旅游消費(fèi)總額為g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\c