高考數(shù)學(xué)（文）一本培養(yǎng)專(zhuān)題突破講義第2部分專(zhuān)題5第9講圓錐曲線的定義方程及性質(zhì)

第9講圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì)高考統(tǒng)計(jì)·定方向熱點(diǎn)題型真題統(tǒng)計(jì)命題規(guī)律題型1：圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程2017全國(guó)卷ⅢT14；2017全國(guó)卷ⅡT12；2014全國(guó)卷ⅠT101.每年必考內(nèi)容，多以選擇、填空題的形式考查圓錐曲線的定義、方程、性質(zhì)，以解答題的形式考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題.2.小題一般出現(xiàn)在5～12或14～15題的位置，難度中等偏上，解答題出現(xiàn)在20題的位置上，難度較大.題型2：圓錐曲線的性質(zhì)及應(yīng)用2018全國(guó)卷ⅠT4；2018全國(guó)卷ⅡT6；2018全國(guó)卷ⅠT112018全國(guó)卷ⅢT10；2017全國(guó)卷ⅠT5；2017全國(guó)卷ⅡT52017全國(guó)卷ⅠT12；2016全國(guó)卷ⅡT5；2016全國(guó)卷ⅢT122015全國(guó)卷ⅠT5；2015全國(guó)卷ⅡT16；2015全國(guó)卷ⅡT152014全國(guó)卷ⅠT4題型3：直線、圓與圓錐曲線的交匯2017卷ⅢT11；2014卷ⅠT20題型1圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程■核心知識(shí)儲(chǔ)備·圓錐曲線的定義(1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；(2)雙曲線||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；(3)拋物線：|PF|＝|PM|，點(diǎn)F不在直線l上，PM⊥l于M(直線l是拋物線的準(zhǔn)線)．■高考考法示例·【例1】(1)(2018·哈爾濱模擬)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形(O為原點(diǎn))，則雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,3)＝1(2)(2017·全國(guó)卷Ⅱ)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|＝______.(1)D(2)6[(1)根據(jù)題意畫(huà)出草圖如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)A在漸近線y＝eq\f(b,a)x上．由△AOF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2.又點(diǎn)A在雙曲線的漸近線y＝eq\f(b,a)x上，∴eq\f(b,a)＝tan60°＝eq\r(3).又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝eq\r(3)，∴雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.故選D.(2)如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)P，∴PM∥OF.由題意知，F(xiàn)(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.∵點(diǎn)M為FN的中點(diǎn)，PM∥OF，∴|MP|＝eq\f(1,2)|FO|＝1.又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.由拋物線的定義知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.][方法歸納]求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是“先定型，后計(jì)算”?1?定型，就是指定類(lèi)型，也就是確定圓錐曲線的焦點(diǎn)位置，從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程.?2?計(jì)算，即利用待定系數(shù)法求出方程或方程組中的a2，b2或p.另外，當(dāng)焦點(diǎn)位置無(wú)法確定時(shí)，拋物線常設(shè)為y2＝2ax或x2＝2ay?a≠0?，橢圓常設(shè)為mx2＋ny2＝1?m＞0，n＞0，m≠n?，雙曲線常設(shè)為mx2－ny2＝1?mn＞0?.■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練·1．設(shè)雙曲線與橢圓eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1相交且有共同的焦點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq\r(15)，4)，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1 B.eq\f(y2,5)－eq\f(x2,4)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)D.eq D.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1A[法一：(定義法)橢圓eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,3)，(0，－3)．根據(jù)雙曲線的定義知，2a＝|eq\r(?\r(15)－0?2＋?4－3?2)－eq\r(?\r(15)－0?2＋[4－?－3?]2)|＝4，解得a＝2，又b2＝c2－a2＝5，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.故選A.法二：(待定系數(shù)法)橢圓eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,3)，(0，－3)．設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，則a2＋b2＝9.①又點(diǎn)(eq\r(15)，4)在雙曲線上，所以eq\f(16,a2)－eq\f(15,b2)＝1.②由①②解得a2＝4，b2＝5.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.故選A.]2．設(shè)橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，且滿足eq\o(PF1,\s\up12(→))·eq\o(PF2,\s\up12(→))＝9，則|eq\o(PF1,\s\up12(→))|·|eq\o(PF2,\s\up12(→))|的值為()A．8B．10C．12D．15D[因?yàn)镻是橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，所以|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝4.因?yàn)閑q\o(PF1,\s\up12(→))·eq\o(PF2,\s\up12(→))＝9，所以|eq\o(PF1,\s\up12(→))|·|eq\o(PF2,\s\up12(→))|cos∠F1PF2＝9，因?yàn)閨eq\o(F1F2,\s\up12(→))|2＝|eq\o(PF1,\s\up12(→))|2＋|eq\o(PF2,\s\up12(→))|2－2|eq\o(PF1,\s\up12(→))|·|eq\o(PF2,\s\up12(→))|·cos∠F1PF2＝(|eq\o(PF1,\s\up12(→))|＋|eq\o(PF2,\s\up12(→))|)2－2|eq\o(PF1,\s\up12(→))|·|eq\o(PF2,\s\up12(→))|－2|eq\o(PF1,\s\up12(→))|·|eq\o(PF2,\s\up12(→))|cos∠F1PF2，所以64－2|eq\o(PF1,\s\up12(→))|·|eq\o(PF2,\s\up12(→))|－18＝16.所以|eq\o(PF1,\s\up12(→))|·|eq\o(PF2,\s\up12(→))|＝15，故選D.]

題型2圓錐曲線的性質(zhì)及應(yīng)用■核心知識(shí)儲(chǔ)備·1．橢圓、雙曲線中，a，b，c，e之間的關(guān)系(1)在橢圓中：a2＝b2＋c2，離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)；(2)在雙曲線中：c2＝a2＋b2，離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2).2．雙曲線的漸近線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)(1)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x；焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)；(2)雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(a,b)x，焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)．注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系．■高考考法示例·【例2】(1)(2018·全國(guó)卷Ⅲ)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(2)，則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為()A.eq\r(2)C.eq．2C.eq\f(3\r(2),2)D．2eq\r(2)(2)(2018·沈陽(yáng)模擬)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為eq\r(2).若經(jīng)過(guò)F和P(0,4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)B.eq B.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)D.eq D.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1(3)已知雙曲線的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)分別是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)與頂點(diǎn)，若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點(diǎn)構(gòu)成的四邊形恰為正方形，則橢圓的離心率為()A.eq\f(1,3)B.eqB.q\f(1,2)C.eqC.q\f(\r(2),2)D.eqD.q\f(\r(3),3)(1)D(2)B(3)C[(1)法一：由離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，得c＝eq\r(2)a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±x.由點(diǎn)到直線的距離公式，得點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為eq\f(4,\r(1＋1))＝2eq\r(2).故選D.法二：離心率e＝eq\r(2)的雙曲線是等軸雙曲線，其漸近線方程是y＝±x，由點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為eq\f(4,\r(1＋1))＝2eq\r(2).故選D.(2)由離心率為eq\r(2)可知a＝b，c＝eq\r(2)a，所以F(－eq\r(2)a,0)，由題意可知kPF＝eq\f(4－0,0－?－\r(2)a?)＝eq\f(4,\r(2)a)＝1，所以eq\r(2)a＝4，解得a＝2eq\r(2)，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1，故選B.(3)設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，則由題意可知雙曲線的方程為eq\f(x2,c2)－eq\f(y2,b2)＝1，其漸近線方程為y＝±eq\f(b,c)x.因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線與橢圓的交點(diǎn)構(gòu)成的四邊形恰為正方形，所以由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，漸近線的方程為y＝±x，即b＝c，所以a＝eq\r(b2＋c2)＝eq\r(2)c，故橢圓的離心率e＝eq\f(\r(2),2)，故選C.][方法歸納]1．求橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的方法求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求eq\f(c,a)的值．2．雙曲線的漸近線的求法及用法(1)求法：把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號(hào)右邊的1改為零，分解因式可得．(2)用法：①可得eq\f(b,a)或eq\f(a,b)的值．②利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程．③利用e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))求離心率．■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練·1．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)(－2,0)且斜率為eq\f(2,3)的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則eq\o(FM,\s\up12(→))·eq\o(FN,\s\up12(→))＝()A．5 B．6 C．7 D．8D[法一：過(guò)點(diǎn)(－2,0)且斜率為eq\f(2,3)的直線的方程為y＝eq\f(2,3)(x＋2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,3)?x＋2?，,y2＝4x，))得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4，))不妨設(shè)M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以eq\o(FM,\s\up12(→))＝(0,2)，eq\o(FN,\s\up12(→))＝(3,4)，所以eq\o(FM,\s\up12(→))·eq\o(FN,\s\up12(→))＝8.故選D.法二：過(guò)點(diǎn)(－2,0)且斜率為eq\f(2,3)的直線的方程為y＝eq\f(2,3)(x＋2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,3)?x＋2?，,y2＝4x，))得x2－5x＋4＝0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1＞0，y2＞0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1,0)，所以eq\o(FM,\s\up12(→))＝(x1－1，y1)，eq\o(FN,\s\up12(→))＝(x2－1，y2)，所以eq\o(FM,\s\up12(→))·eq\o(FN,\s\up12(→))＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4eq\r(x1x2)＝4－5＋1＋8＝8.故選D.]2．(2016·全國(guó)卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)，則E的離心率為()A.eq\r(2)B.eqB.q\f(3,2)C.eqC.q\r(3) D．2A[法一：如圖，因?yàn)镸F1與x軸垂直，所以|MF1|＝eq\f(b2,a).又sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)，所以eq\f(|MF1|,|MF2|)＝eq\f(1,3)，即|MF2|＝3|MF1|.由雙曲線的定義得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝eq\f(2b2,a)，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2).法二：如圖，因?yàn)镸F1⊥x軸，所以|MF1|＝eq\f(b2,a).在Rt△MF1F2中，由sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)得tan∠MF2F1＝eq\f(\r(2),4).所以eq\f(|MF1|,2c)＝eq\f(\r(2),4)，即eq\f(b2,2ac)＝eq\f(\r(2),4)，即eq\f(c2－a2,2ac)＝eq\f(\r(2),4)，整理得c2－eq\f(\r(2),2)ac－a2＝0，兩邊同除以a2得e2－eq\f(\r(2),2)e－1＝0.解得e＝eq\r(2)(負(fù)值舍去)．]題型3直線、圓與圓錐曲線的交匯全國(guó)卷考查圓與圓錐曲線的交匯問(wèn)題是近幾年高考考查的熱點(diǎn)，在小題和大題中均有可能出現(xiàn)．■高考考法示例·【例3】(1)(2016·全國(guó)卷Ⅰ)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)．已知|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A．2B．4C．6D．8B[設(shè)出拋物線和圓的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，聯(lián)立方程組求解．設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，圓的方程為x2＋y2＝r2.∵|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)，∴不妨設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,p)，2\r(2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5))).∵點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,p)，2\r(2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5)))在圓x2＋y2＝r2上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(16,p2)＋8＝r2，,\f(p2,4)＋5＝r2，))∴eq\f(16,p2)＋8＝eq\f(p2,4)＋5，∴p＝4(負(fù)值舍去)．∴C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.](2)(2018·鄭州模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為直徑的圓與直線ax＋2by－eq\r(3)ab＝0相切．圖2-5-2①求橢圓C的離心率；②如圖2-5-2，過(guò)F1作直線l與橢圓分別交于兩點(diǎn)P，Q，若△PQF2的周長(zhǎng)為4eq\r(2)，求eq\o(F2P,\s\up12(→))·eq\o(F2Q,\s\up12(→))的最大值．[思路點(diǎn)撥]①eq\x(直線與圓相切)→eq\x(關(guān)于a，b，c的關(guān)系式)→eq\x(a2＝2b2)→eq\x(離心率e)[解]①由題意eq\f(|－\r(3)ab|,\r(a2＋4b2))＝c，即3a2b2＝c2(a2＋4b2)＝(a2－b2)(a2＋4b2)．∴a2＝2b2，∴e＝eq\f(\r(2),2).②因?yàn)槿切巍鱌QF2的周長(zhǎng)為4eq\r(2).所以4a＝4eq\r(2)，∴a＝eq\r(2)，∴b2＝1，∴橢圓方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1，且焦點(diǎn)F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，(ⅰ)若直線l斜率不存在，則可得l⊥x軸，方程為x＝－1，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,\f(x2,2)＋y2＝1))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝\f(\r(2),2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝－\f(\r(2),2)))，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(\r(2),2)))，∴eq\o(F2P,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(\r(2),2)))，eq\o(F2Q,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(\r(2),2)))，故eq\o(F2P,\s\up12(→))·eq\o(F2Q,\s\up12(→))＝eq\f(7,2).(ⅱ)若直線l斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k?x＋1?，,x2＋2y2＝2))消去y整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝－eq\f(4k2,2k2＋1)，x1x2＝eq\f(2k2－2,2k2＋1).∴eq\o(F2P,\s\up12(→))·eq\o(F2Q,\s\up12(→))＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2.＝(k2＋1)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1.＝(k2＋1)eq\f(2k2－2,2k2＋1)＋(k2－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4k2,2k2＋1)))＋k2＋1＝eq\f(7k2－1,2k2＋1)＝eq\f(7,2)－eq\f(9,2?2k2＋1?).∵k2＞0，∴可得－1＜eq\o(F2P,\s\up12(→))·eq\o(F2Q,\s\up12(→))＜eq\f(7,2)，綜上可得－1＜eq\o(F2P,\s\up12(→))·eq\o(F2Q,\s\up12(→))≤eq\f(7,2).所以eq\o(F2P,\s\up12(→))·eq\o(F2Q,\s\up12(→))最大值是eq\f(7,2).[方法歸納]處理圓錐曲線與圓相結(jié)合問(wèn)題的注意點(diǎn)?1?注意圓心、半徑和平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，如直徑所對(duì)的圓周角為直角，構(gòu)成了垂直關(guān)系；弦心距、半徑、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形等.?2?注意圓與特殊線的位置關(guān)系，如圓的直徑與橢圓長(zhǎng)軸?短軸?，與雙曲線的實(shí)軸?虛軸?的關(guān)系；圓與過(guò)定點(diǎn)的直線、雙曲線的漸近線、拋物線的準(zhǔn)線的位置關(guān)系等.(教師備選)(2016·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)圓x2＋y2＋2x－15＝0的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.(1)證明|EA|＋|EB|為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍．[解](1)因?yàn)閨AD|＝|AC|，EB∥AC，所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋y2＝16，從而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.由題設(shè)得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(y≠0)．(2)當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k?x－1?，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1))得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，則x1＋x2＝eq\f(8k2,4k2＋3)，x1x2＝eq\f(4k2－12,4k2＋3).所以|MN|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\f(12?k2＋1?,4k2＋3).過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與l垂直的直線m：y＝－eq\f(1,k)(x－1)，點(diǎn)A到直線m的距離為eq\f(2,\r(k2＋1))，所以|PQ|＝2eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(k2＋1))))2)＝4eq\r(\f(4k2＋3,k2＋1)).故四邊形MPNQ的面積S＝eq\f(1,2)|MN||PQ|＝12eq\r(1＋\f(1,4k2＋3)).可得當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,8eq\r(3))．當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，其方程為x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，故四邊形MPNQ的面積為12.綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12,8eq\r(3))．■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練·1．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)若雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長(zhǎng)為2，則C的離心率為()B.eqB.eq\r(3)C.eqC.eq\r(2)D.eqD.eq\f(2\r(3),3)A[設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，圓的圓心為(2,0)，半徑為2，由弦長(zhǎng)為2得出圓心到漸近線的距離為eq\r(22－12)＝eq\r(3).根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得eq\f(|2b|,\r(a2＋b2))＝eq\r(3)，解得b2＝3a2.所以C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝2.故選A.]2．(2018·中山七校聯(lián)考)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的上、下、左、右四個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B，C，D，x軸正半軸上的某點(diǎn)G滿足|GD|＝2，|GA|＝3，|GC|＝4.圖2-5-3(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)M在圓x2＋y2＝b2上，且M在第一象限，過(guò)M作圓x2＋y2＝b2的切線交橢圓于P，Q，求證：△PF2Q的周長(zhǎng)是定值．[解](1)設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(x0,0)(x0＞0)，可知2a＝2＋4，a＝3，x0＝4－a＝1，b＝eq\r(32－x\o\al(2,0))＝2eq\r(2).因此橢圓的方程是eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.(2)法一：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則eq\f(x\o\al(2,1),9)＋eq\f(y\o\al(2,1),8)＝1，|PF2|＝eq\r(?x1－1?2＋y\o\al(2,1))＝eq\r(?x1－1?2＋8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,1),9))))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,3)－3))2)，∵0＜x1＜3，∴|PF2|＝3－eq\f(x1,3)，在圓中，M是切點(diǎn)，∴|PM|＝eq\r(|OP|2－|OM|2)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)－8)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,1),9)))－8)＝eq\f(1,3)x1，∴|PF2|＋|PM|＝3－eq\f(1,3)x1＋eq\f(1,3)x1＝3，同理|QF2|＋|QM|＝3，∴|F2P|＋|F2Q|＋|PQ|＝3＋3＝6，因此△PF2Q的周長(zhǎng)是定值6.法二：設(shè)PQ的方程為y＝kx＋m(k<0，m>0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,\f(x2,9)＋\f(y2,8)＝1))，得(8＋9k2)x2＋18kmx＋9m2－72＝0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(－18km,8＋9k2)，x1x2＝eq\f(9m2－72,8＋9k2)，∴|PQ|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(?x1＋x2?2－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－18km,8＋9k2)))2－4×\f(9m2－72,8＋9k2))＝eq\r(1＋k2)eq\r(\f(4×9×8×?9k2－m2＋8?,?8＋9k2?2))，∵PQ與圓x2＋y2＝8相切，∴eq\f(m,\r(1＋k2))＝2eq\r(2)，即m＝2eq\r(2)eq\r(1＋k2)，∴|PQ|＝－eq\f(6km,8＋9k2)，∵|PF2|＝eq\r(?x1－1?2＋y\o\al(2,1))＝eq\r(?x1－1?2＋8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,1),9))))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,3)－3))2)，∵0＜x1＜3，∴|PF2|＝3－eq\f(x1,3)，同理可得|QF2|＝eq\f(1,3)(9－x2)＝3－eq\f(x2,3)，∵|F2P|＋|F2Q|＋|PQ|＝6－eq\f(x1＋x2,3)－eq\f(6km,8＋9k2)＝6＋eq\f(6km,8＋9k2)－eq\f(6km,8＋9k2)＝6，因此△PQF2的周長(zhǎng)是定值6.1．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(3)，則其漸近線方程為()A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\f(\r(3),2)xA[因?yàn)殡p曲線的離心率為eq\r(3)，所以eq\f(c,a)＝eq\r(3)，即c＝eq\r(3)a.又c2＝a2＋b2，所以(eq\r(3)a)2＝a2＋b2，化簡(jiǎn)得2a2＝b2，所以eq\f(b,a)＝eq\r(2).因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，所以y＝±eq\r(2)x.故選A]2．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，則C的離心率為()A．1－eq\f(\r(3),2) B．2－eq\r(3)C.eq\f(\r(3)－1,2)D.eqD.q\r(3)－1D[由題設(shè)知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝eq\r(3)c.由橢圓的定義得|PF1|＋|PF2|＝2a，即eq\r(3)c＋c＝2a，所以(eq\r(3)＋1)c＝2a，故橢圓C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1.故選D.]3．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知F是雙曲線C：x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3)，則△APF的面積為()A.eq\f(1,3)B.eqB.q\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eqD.q\f(3,2)D[因?yàn)镕是雙曲線C：x2－eq\f(y2,3