抽象代數(shù)復(fù)習(xí)題及答案

“—word格式-可編輯-感謝下載支持.《抽象代數(shù)》試題及答案本科一、單項(xiàng)選擇題(在每小題的四個(gè)備選答案中，選出一個(gè)正確答案并將正確答案的序號(hào)填在題干的括號(hào)內(nèi)。每小題3分)設(shè)Q是有理數(shù)集，規(guī)定f(x)=x+2；g(x)=x2+1,則(fg)(x)等于(B)A.x2+2x+1B.x2+3C.x2+4x+5D.x2+x+32.設(shè)f是A到B的單射g是B到C的單射，則gf是A到C的(A)A.單射B.滿射C.雙射D.可逆映射3.設(shè)S3={(1)，(12)，13)，(23)，(123)(132)}，則S3中與元素(132)不能交換的元的個(gè)數(shù)是(C)。A.1B.2C.3D.44.在整數(shù)環(huán)Z中，可逆兀的個(gè)數(shù)是(B)。A.1個(gè)B.2個(gè)C.4個(gè)D.無(wú)限個(gè)5.剩余類環(huán)z10的子環(huán)有(B)。A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)6.設(shè)G是有限群，aeG,且a的階|a|=12,則G中兀素a8的階為(B)A．2B.3C.6D.97．設(shè)G是有限群，對(duì)任意;a,beG,以下結(jié)論正確的是(A)A.(ab)-1二b-1a-1B.b的階不一定整除G的階C.G的單位元不唯一D.G中消去律不成立&設(shè)G是循環(huán)群，則以下結(jié)論不正確的是(A)G的商群不是循環(huán)群B.G的任何子群都是正規(guī)子群C.G是交換群D.G的任何子群都是循環(huán)群設(shè)集合A={a,b,c},以下AxA的子集為等價(jià)關(guān)系的是(C)R1={(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)}R={(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)}2R={(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)}3R={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)}4設(shè)f是A到B的滿射，g是B到C的滿射，則gf是A到c的(B)A.單射B.滿射C.雙射D.可逆映射設(shè)S3={(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，則S3中與元素(12)能交換的元的個(gè)數(shù)是(B)。A.1B.2C.3D.412.在剩余類環(huán)Z8中，8其可逆元的個(gè)數(shù)是(D)。A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

word格式-可編輯-感謝下載支持13.設(shè)（R,+,?是環(huán)，則下面結(jié)論不正確的有（C）。A.R的零元惟一B.若x+a=0，則x=-aC.對(duì)aeR，a的負(fù)元不惟一D.若a+b=a+c,則b=c設(shè)G是群，aeG,且a的階|a|=12,則G中元素a32的階為（B）A．2B.3C.6D.9設(shè)G是有限群，對(duì)任意a,beG,以下結(jié)論正確的是（A）A.IaA.IaIIGIB.|b|二^C.G的單位元不唯一D.方程ax=b在G中無(wú)解設(shè)G是交換群，則以下結(jié)論正確的是（B）A.G的商群不是交換群B.G的任何子群都是正規(guī)子群C.G是循環(huán)群D.G的任何子群都是循環(huán)群設(shè)A={1,-1,i,-i},B={1,-1},P:A-B,aa2,Va^A,則P是從A到B的（A）。A.滿射而非單射B.單射而非滿射C.一一映射D.既非單射也非滿射設(shè)A=R（實(shí)數(shù)域），B=R+（正實(shí)數(shù)集），Y:a-10a,a￡A,則Y是從A到B的（C）。A.滿射而非單射B.單射而非滿射C.一一映射D.既非單射也非滿射設(shè)A={所有實(shí)數(shù)x},A的代數(shù)運(yùn)算是普通乘法，則以下映射作成A到A的一個(gè)子集的同態(tài)滿射的是（C）。A.x—lOxB.x—2xC.xf|x|D.xf-x數(shù)域P上的n階可逆上三角矩陣的集合關(guān)于矩陣的乘法（C）D.構(gòu)成一個(gè)交換A.構(gòu)成一個(gè)交換群B.構(gòu)成一個(gè)循環(huán)群C.構(gòu)成一個(gè)群D.構(gòu)成一個(gè)交換環(huán)21.在高斯整數(shù)環(huán)Z[i]中，可逆元的個(gè)數(shù)為（D）D.4個(gè)D.6個(gè)A.1個(gè)B.D.4個(gè)D.6個(gè)22.剩余類加群Z8的子群有（B）。A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)下列含有零因子的環(huán)是（B）A.高斯整數(shù)環(huán)Z[i]A.高斯整數(shù)環(huán)Z[i]B.數(shù)域P上的n階全矩陣環(huán)C.偶數(shù)環(huán)2ZD.剩余類環(huán)Z5設(shè)（R,+,?）是一個(gè)環(huán)，則下列結(jié)論正確的是（D）A.R中的每個(gè)元素都可逆B.R的子環(huán)一定是理想C.R—定含有單位元D.R的理想一定是子環(huán)設(shè)群G是6階循環(huán)群，則群G的子群個(gè)數(shù)為（A）A．4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)26.設(shè)A={a,b,c},B={1,2,3},則從集合A到集合B的滿射的個(gè)數(shù)為（D）。D.6A.1B.2C.D.6設(shè)集合A={a,b,c},則以下集合是集合A的分類的是（C）A.P1={{a,b},{a,c}}B.P2={{a},{b,c},{b,a}}C.P3={{a},{b,c}}C.P3={{a},{b,c}}wordword格式-可編輯-感謝下載支持wordword格式-可編輯-感謝下載支持33（a0）TOC\o"1-5"\h\z設(shè)R=\八了a,beZ\，那么R關(guān)于矩陣的加法和乘法構(gòu)成環(huán)，則這個(gè)矩陣環(huán)是（A）。[I0b）JA.有單位元的交換環(huán)B.無(wú)單位元的交換環(huán)C.無(wú)單位元的非交換環(huán)D.有單位元的非交換環(huán)設(shè)S3={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，則S3的子群的個(gè)數(shù)是（D）。A.1B.2C.3D.6在高斯整數(shù)環(huán)Z[i]中，單位元是（B）。A.0B.1C.iD.-i31..設(shè)G是運(yùn)算寫(xiě)作乘法的群，則下列關(guān)于群G的子群的結(jié)論正確的是（B）。A.任意兩個(gè)子群的乘積還是子群B.任意兩個(gè)子群的交還是子群C.任意兩個(gè)子群的并還是子群D.任意子群一定是正規(guī)子群7階循環(huán)群的生成元個(gè)數(shù)是（C）。A.1B.2C.6D.7設(shè)A={a,b,c},B={1,2,3},則從集合A到集合B的映射有（D）。A.1B.6C.18D.2734.設(shè)G,。）為群，其中G是實(shí)數(shù)集，而乘法。：a。b=a+b+k，這里k為G中固定的常數(shù)。那么群（G,。）中的單位元e和元x的逆元分別是（D）A.0和—x；B.1和0；C.k和x—2k；D.—k和—（x+2k）}35.設(shè)a,b,c和x都是群G中的元素，且x2a二bxc-1,acx=xac，那么x二（A）A.bc-1a-1；B.c-1a-1；C.a-1bc-1；D.b-1ca。下列正確的命題是（A，A.歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán)；B.主理想環(huán)必是歐氏環(huán)；C.唯一分解環(huán)必是主理想環(huán)；D.唯一分解環(huán)必是歐氏環(huán)。設(shè)H是群G的子群，且G有左陪集分類（H,aH,bH,cH如果|H|=6,那么G的階|G|=（B）A.6；B.24；C.10；D.12。設(shè)G是有限群，則以下結(jié)論正確的是（A）A.G的子群的階整除G的階B.G的任何子群都是正規(guī)子群C.G是交換群D.G的任何子群都是循環(huán)群設(shè)f:GTG是一個(gè)群同態(tài)映射，那么下列錯(cuò)誤的命題是（D）12A.f的同態(tài)核是勺的正規(guī)子群；B.纟的正規(guī)子群的原象是纟的正規(guī)子群;C?C?G1的子群的象是G2的子群;D.G1的正規(guī)子群的象是G2的正規(guī)子群。B.B.半群一定有一個(gè)右單位元D.半群一定至少有一個(gè)左單位元關(guān)于半群，下列說(shuō)法正確的是：（A，A.半群可以有無(wú)窮多個(gè)右單位元C.半群如果有右單位元?jiǎng)t一定有左單位元二、填空題（每空3分）TOC\o"1-5"\h\z1.設(shè)A是m元集，B是n元集，那么A到B的映射共有(nm)個(gè).2.n次對(duì)稱群S的階是(n!).n一個(gè)有限非交換群至少含有(6)個(gè)元素.4?設(shè)G是p階群，(p是素?cái)?shù))，則G的生成元有(p-1)個(gè).5.除環(huán)的理想共有(2)個(gè).6?剩余類環(huán)Z的子環(huán)S={[0],[2],[4]}，則S的單位元是([4]).67?在_i+3,兀2,e-3中，(i+3)是有理數(shù)域Q上的代數(shù)元.<2在有理數(shù)域Q上的極小多項(xiàng)式是(X2-2).設(shè)集合A={a,b}，B={1,2,3},貝yAxB=({(a,l),(b,l),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)}.)設(shè)R是交換環(huán)，則主理想⑷=(Ra={ra+malreR,meZ}.)設(shè)兀=(5431),則—1二(1345).12.設(shè)F是9階有限域，則F的特征是(3).13.設(shè)兀=(351),兀=(2154)是兩個(gè)循環(huán)置換，則兀兀=((1342))122114.設(shè)F是125階有限整環(huán)，則F的特征是(5).設(shè)集合A含有3個(gè)元素，則AxA的元素共有(9)個(gè).設(shè)群G的階是2n,子群H是G的正規(guī)子群，其階是n,則G關(guān)于H的商群所含元素的個(gè)數(shù)是(2).設(shè)a、b是群G的兩個(gè)元，則(ab)-1=(b-1a-1).環(huán)Z]0的可逆元是([1],⑶，⑺,[9]).歐式環(huán)與主理想環(huán)的關(guān)系是(主理想環(huán)不一定是歐式環(huán)，但歐式環(huán)一定是主理想環(huán)).如果f是A與A間的映射，a是A的一個(gè)元，則f-1f(a)l二(a)。設(shè)群G中元素a的階為m，如果an=e,那么m與n存在整除關(guān)系為(m整除n)。設(shè)兀=(31425)是一個(gè)5-循環(huán)置換，那么兀-1=((52413)).。23?有限群G的階是素?cái)?shù)p,則G是(循環(huán))群。若I是有單位元的環(huán)R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表達(dá)為({有限和Yxay|x,yeR})iiiiiTOC\o"1-5"\h\z群(Z，十)的子群有(6)個(gè)。12由凱萊定理，任一個(gè)抽象群G都同一個(gè)(群G的變換群)同構(gòu)。設(shè)A、B分別是m、n個(gè)元組成的集合，則|AxB|=(mn)設(shè)A={a,b,c}，則可定義A的(5)個(gè)不同的等價(jià)關(guān)系。A的分類M={{a,c},}確定的等價(jià)關(guān)系是R=({(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a)})設(shè)G是6階循環(huán)群，則G的生成元有(2)個(gè)。非零復(fù)數(shù)乘群C*中由-i生成的子群是({i,-i,1,-1})。剩余類環(huán)Z7的零因子個(gè)數(shù)等于(0)。素?cái)?shù)階有限群G的子群個(gè)數(shù)等于(2)。剩余類環(huán)Z6的子環(huán)S={[0],[3]},則S的單位元是(⑶)群b：G??G，e是G的單位元，則b(e)是(G的單位元)。復(fù)數(shù)域的特征是(0).在剩余類環(huán)(Z,+,?)中，[6]?[7]=([6]).12在3-次對(duì)稱群S中，元素(123)的階為：(3).wordword格式-可編輯-感謝下載支持wordword格式-可編輯-感謝下載支持6.6.設(shè)a是群G的任一元素，若a的階lal=2,求證:a=a-1.(6分)xx)38.設(shè)Z和Z分別表示整數(shù)環(huán)和模m剩余類環(huán)，則環(huán)同態(tài)f：ZTZ,nT[n]的同態(tài)核為mm(mZ={mrIreZ})39.邁在有理數(shù)域上的極小多項(xiàng)式為(39.邁在有理數(shù)域上的極小多項(xiàng)式為(X3—2)9.域的特征可以為任何自然數(shù).9.域的特征可以為任何自然數(shù).(x)(V)(x)(V)(x)(V)(V)(V)40.無(wú)限循環(huán)群一定和(整數(shù)加群(Z,+))同構(gòu).三、判斷題(判斷下列說(shuō)法是否正確，正確的請(qǐng)打“"”錯(cuò)誤的請(qǐng)打“x”，每小題3分)1.設(shè)G是群，則群G的任意兩個(gè)子群的并仍是群G的子群。(x)群的有限子集(非空)構(gòu)成子群，當(dāng)且僅當(dāng)該非空子集的任何兩個(gè)元素在G的運(yùn)算之下，仍在該非空子集之中。(』)3.設(shè)G是非零實(shí)數(shù)在數(shù)的乘法運(yùn)算之下構(gòu)成的群。f:G-G是一個(gè)映射，且f(x)=7x,xeG.則f是G到G的同態(tài)映射。(x)一個(gè)環(huán)如果有單位元，則它的子環(huán)也一定有單位元。(x)設(shè)G是群，則群G的任意兩個(gè)正規(guī)子群的交仍是群G的正規(guī)子群。(")設(shè)G是n階有限循環(huán)群，則G同構(gòu)于模n剩余類加群Z。(V)n設(shè)9:GTG是群同態(tài)，則9將G的單位元不一定映射為G的單位元。(x)8.設(shè)R是環(huán)，A，B是R的任意兩個(gè)理想，則A+B也是環(huán)R的理想。(V)群的任何兩個(gè)正規(guī)子群的乘積仍然是正規(guī)子群.4次交錯(cuò)群A在4次對(duì)稱群S中的指數(shù)為4.44復(fù)數(shù)域是實(shí)數(shù)域的單代數(shù)擴(kuò)張。除環(huán)一定是域.14.3-次對(duì)稱群S的中心是(1).3整數(shù)環(huán)的商域是有理數(shù)域.無(wú)限循環(huán)群和整數(shù)加群同構(gòu).多項(xiàng)式x2-3在有理數(shù)域上可約。18.在特征為p的域F中始終有(a+b)p二ap+bp,Va,beF.(V)

TOC\o"1-5"\h\z高斯整數(shù)環(huán)Z[i]是唯一分解環(huán).（V）有限集合到有限集合的單射不一定是滿射。（x）有限群的任何子群的階一定整除這個(gè)群的階。（V）22.設(shè)22.設(shè)5:GiTG2是群q到群乞的同態(tài),則同態(tài)核Ker（5）是Gi的正規(guī)子群.V）x）23.x）24.設(shè)（Z,+,?）為整數(shù)環(huán)，p為素?cái)?shù)，則（pZ,+,?）是（Z,+,?）的極大理想。（V）四、證明題設(shè)Q為有理數(shù)域，設(shè)T二{a+b<2Ia,b&Q}，則T按數(shù)的乘法和加法構(gòu)成一個(gè)域.（6分）證明：T非空，且T是實(shí)數(shù)域的一個(gè)子集。T關(guān)于數(shù)的加法、乘法封閉是顯然的，而且V0豐a+b邁gT,（a+b邁）-1eT,這樣我們就得T關(guān)于加法、乘法構(gòu)成實(shí)數(shù)域的一個(gè)子域.，因此T按數(shù)的乘法和加法構(gòu)成一個(gè)域.。設(shè)E是F的擴(kuò)域，且（E：F）=1，則E=F.（6分）證明：用反證法：若E豐F，則存在xeE,x電F，這樣（E:F）>2，矛盾!證明：交換群的商群是交換群.（8分）證明：設(shè)G為交換群，且H<G，則GHg關(guān)于正規(guī)子群H的商群，且對(duì)任意aH,bHeGh,有,(aH)(bH)=(ab)H=(ba)H=(bH)(aH)故GH是交換群.4.設(shè)A={1,-1,i,-i},B={1,-1}，“?”是數(shù)的乘法，證明：（A,?）?（B,?）。（這里“?”表示（A,?）與（B,?是滿同態(tài)）（8分）證明：構(gòu)造映射：f：ATB,1—1,-1—1,i——1,-i——1，則容易驗(yàn)證f是（A,，）到（B,?）的同態(tài)映射.[仏0)則G關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成（R2x2,.則G關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成（R2x2,.）的子半群.（6分）(a0)(a0)/b0)'a0、'b0)'ab0、證明：對(duì)任意的,eG,—<00丿<00丿<00丿<00丿丿<00丿丿于矩陣乘法構(gòu)成（R2x2,.）的子半群，得證.eG，故由子半群的判定知，G關(guān)wordword格式-可編輯-感謝下載支持證明：由題設(shè)我們知道：a2二e,對(duì)這個(gè)式子的兩邊同時(shí)乘以a-i得a-ia2=a-ie,n(a-1a)a=a-1利用群G中逆元和單位元的性質(zhì)，即得,7.設(shè)即￡7.設(shè)即￡3=1=1，證明：有如下的群同構(gòu)：(Z3,十)9(G,?)，這里。([0])=1,。([1])=&,。([2])=￡2。(8分)證明：容易驗(yàn)證下述映射O:ZTG,[0]—1,[1]—￡,[2]—￡23是雙射，且Q保持運(yùn)算，即:◎([i][j])=◎(UM([j]),Wi],[j]gZ.3由同構(gòu)映射的定義，即得(Z，十)9(G,?.3設(shè)G是R2>2中所有可逆矩陣組成的集合，.證明G關(guān)于矩陣的乘法成群。(6分)(01).[o的階是多少？(4分)<-10丿(11).0的階是多少？(4分)k01丿.證明G不是交換群.(6分)解G)注意到由線性代數(shù)知識(shí)有：方陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)它的行列式不為零，而且兩個(gè)方陣的乘積的行列式等于它們行列式的乘積，由此VA,BgG,A-1gG,ABgG,故G關(guān)于矩陣的乘法成群.(ii).注意到此時(shí)群G的單位元是:(1(ii).注意到此時(shí)群G的單位元是:(1

k00)1丿，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算，我們可知(0

k-11)0的階是3.0丿(11)(iii).0的階是s.01(iv).通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算，得(01)(10(iv).通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算，得(01)(10丄01)豐1丿(1

k01)(01人-11)0丿故G是非交換群。解答題:1.設(shè)Q是有理數(shù)集，“+”是數(shù)的加法，找(Q,+)的所有不同的自同構(gòu)映射。(8分)ax,ax,對(duì)VawQ,貝y集合｛fIxwQ,但x豐0｝為(Q,+)解：對(duì)任意xwQ,定義f:QTQ,a的所有自同構(gòu)映射.Ia,A，…,A｝128q0、,A=J0、,A=J0、,01,2,0-1>3,01丿x仃0\(i0\(-i0\(i0\0、A=4,0,學(xué),0i>,0"丿A=7,0"丿,A8=,0i丿列出G的乘法（矩陣乘法）運(yùn)算表。解：運(yùn)算表如下?A1A2A3A4A5A6A7A8AiA1A2A3A4A5A6A7A8A2A2A1A4A3A6A5A8A7A3A3A4A2A8A7A6A6A5A4A4A3A2A1A7A8A5A6A5A5A6A8A7A2A1A3A4A6A6A5A7A8A1A2A4A3A7A7A8A6A5A3A4A2A1A8A8A7A5A6A4A3A1A23-（1）寫(xiě)出3—次對(duì)稱群S3的所有元素；（4分）（2）求出S3中所有元素的階；（6分）（3）求出S3中所有元素的逆元.（6分）‘123、‘123',b=，b=4丿,321,5<312丿31（1）S的全部元素為：31（1）S的全部元素為：b30‘123、‘123、‘123、(,b=，b=,b=J23丿1J32‘2<213丿3,223（2）各元素的階為：I◎1=1◎1=1◎1=2,1c1=1cI二3,IcI二1.124350（3）c,c,c,c,c,c的逆元分別為：c,c,c,c,c,c.0123450125434.找出Z中的所有零因子.（6分）12解：[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10]為所有的零因子．5.在有理數(shù)域的擴(kuò)域Q（32）中，求1+^2的逆。（10分）解：由于a=3迂在Q上的最小多項(xiàng)式是p（x）=x3-2，因此由定理，得到Q（V2）={a+a\-2+a2：4la,a,aeQ}0121012由于1+3邁在Q（3運(yùn)）的逆元仍然是Q（V2）中的元素，故可設(shè)1+^'2在Q（3：'2）的逆元為a+aA2+a，則012（1+3：2）（a+a3；2+a3：4）=1012將p（^'2）=（32）3-2=0代于上式，并經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算，得到（1+3'2）-1=-34—-3'2+-333設(shè)H={[0],⑶，⑹,[9]}WZ，寫(xiě)出Z關(guān)于H陪集分解式。（8分）12