兩類平均速度的計算公式及應(yīng)用

兩類特殊平均速度的計算公式及應(yīng)用我們知道，速度是用來表示物體運動快慢的物理量。對于速度公式v=2，它t不僅適用于勻速直線運動，也適用于變速運動，只不過在變速運動中，它表示物體在通過路程s中的平．均．速．度．。在各類物理考試與競賽中，常常有兩類特殊的平均速度計算問題出現(xiàn)。然而由于學(xué)生對“平均速度”概念內(nèi)涵理解的不準(zhǔn)確，缺乏深入的認(rèn)識，往往導(dǎo)致一些“想當(dāng)然”的錯誤。為了加深對“平均速度”的理解與應(yīng)用，弄清知識的來龍去脈，下面就對這兩類問題采用“由一般到特殊”的思維方法進(jìn)行公式推導(dǎo)，并對公式作簡要數(shù)學(xué)分析，從中尋求規(guī)律性的結(jié)論，以便我們靈活應(yīng)用。第1類問題某物體以平均速度V]行駛路程S],緊接著又以平均速度v2行駛路程s2。求該物體全程的平均速度V。2全解：???st=h解：???st=h，1V1st-F2V2?一_ss+s??V = 1 2 -全 t t+t12s+s(s+s)VV12—1212sssV+sV—r-+—2-2112VV12*）若設(shè)m=si=——，n=—-—篤一，貝UOvm、nvl且m+n=l.于是公式（*）ss+ss+sI2ss+sI2變形為VV變形為I2nV+mVI特別地，當(dāng)s]=s2，即m=n=]時，公式①變形為V-2U ②2 全V+VI2至此，如果已知物體以不同的（平均）速度運動了兩段相等的路程，用公式②計算全程的平均速度就能簡化解題過程，提高解題效率。（見例1）第2類問題某物體在t1時間內(nèi)以平均速度v1行駛，緊接著又在t2時間內(nèi)以平均速度勺行駛。求該物體全程的平均速度V'。2全???_sv =全 ts+svt+vt tv+tv1122—1122t+t t+t121212—t+t12即一 tvv'=F+tv22（**）全 t+t12若設(shè)p=t_t1 1■，q=」二一J—，貝UOvp、q<1且p+q_1，于是公式（**）t t+ttt+t1212變形為v=pv+qv③全12特別地，當(dāng)t1=t2即p=q=1時，公式③變形為?'_n④2全2111222所以，當(dāng)已知物體以不同的（平均）速度在相等的時間內(nèi)運動了兩段不同的路程，可以用公式④迅速計算出全程的平均速度。（見例2）從公式①②③④可以看出，上述兩類平均速度的計算問題中，全程的平均速度均與全程s的具體數(shù)值無關(guān)。下面對公式①②③④作簡要數(shù)學(xué)分析：若假設(shè)0<v1<v2，利用數(shù)學(xué)知識，我們?nèi)菀鬃C明：TOC\o"1-5"\h\z（1）對于公式①②③④，均有V]Vvvv2；V]VV'vv2； ⑤1全21全2（2） 對于公式②④，有VvV'。 ⑥全全證明：（1）中的結(jié)論根據(jù)“平均”的概念可以很直觀地得到。2）… -—一=2vv—v+v=-（v-v）2<0Vv' 1~2-12 1 2全全v+v 2 2（v+v）1212?: v<v'全全公式⑤⑥對于解與兩類特殊平均速度有關(guān)的選擇題非常有用，應(yīng)用它們能對解答進(jìn)行范圍估計，從而可用篩選或排除法進(jìn)行選擇。（見例1）公式應(yīng)用舉例：例1、小紅騎車上學(xué)，當(dāng)她以4m/s的速度騎完前一半路程時發(fā)現(xiàn)時間緊張，為了不遲到，她改用6m/s的速度通過后一半路程，則她通過全程的平均速度是（）A、5m/s B、4.8m/s C、5.2m/s D、條件不足，無法判斷分析：此題屬于第1類問題，由公式②易算得v=4.8m/s，故選B；或由公式全③算出V'=5m/s，又由公式⑥可知；＜5m/s，而選項中只有B符合，故選B。全全例2、甲、乙兩處相距1500m，小李從甲地出發(fā)，前一半時間內(nèi)步行，速度為1.2m/s,后一半時間內(nèi)跑步，速度為2.4m/s，求全程的平均速度。分析：此題屬于第2類問題，用公式③可以很快計算出V'=1.8m/s。全注：計算過程中，我們根本沒有使用數(shù)據(jù)“1500m”因為我們知道V'與全路全程s無關(guān)，可給可不給，屬多余條件或稱為干擾條件。（思考：練習(xí)題中哪些數(shù)據(jù)是多余條件？）例3、一人騎自行車從甲地到乙地，全程的平均速度為12km/h,在前2/3路程上的平均速度為10km/h，求后1/3路程上的平均速度是多少？（1998年四川省初二物理競賽復(fù)賽試題）分析：此題可用公式①來計算，其中V=12km/s，v1=10km/h，m=2/3，n=1/3,全1求v2求v2，即12=10v21 2x10+v3 32從而解得V2=20km/h。練習(xí)：1、汽車在平直的公路上從甲地開往乙地，它前一半時間內(nèi)速度是V］，后一半時間內(nèi)速度是v2,則在全程中的平均速度為（）A、VVI2V+V12A、VVI2V+V12B、V+V-1 2"2C、2vV1T~V+V12D、V+V-1 zVV122、甲、乙兩地相距s，小車以不變的速度v1由甲地駛往乙地，又以更大的速度v2駛回甲地，則小車往返甲、乙兩地之間的平均速度為（）A、V+V-1 2"A、V+V-1 2"B、VV12V+V12C、2vV1T~V+V12D、VV123、一輛汽車從甲地駛往乙地的過程中，前一半路程內(nèi)的平均速度是30km/h,后一半路程內(nèi)的平均速度是60km/h，則在全路程內(nèi)汽車的平均速度為（）A、35km/h B、40km/hC、45km/h D、50km/h4、 李明的家距學(xué)校600m，某天他上學(xué)時，在前3/4時間內(nèi)以1m/s的速度走完前一段路程，為了不遲到，在后1/4時間內(nèi)，他改用1.5m/s的速度走完后一段路程，他上學(xué)走路的平均速度是（）A、1.2m/sB、1.125m/sC、2m/s D、2.5m/s5、 某滑冰運動員，滑一段斜坡，前半段的平均速度是V，后半段的平均速度是前半段的一半，則他在全斜坡滑行的平均速度是（）

A1 b3 c2 d4v v v v34336甲乙兩同學(xué)從跑道一端前往另一端，甲在全程時間一半內(nèi)跑，另一半時間內(nèi)走；乙在全程的一半路程內(nèi)跑，另一半路程內(nèi)時間走，如果他們走和跑的速度分別都相等，則（）A甲先到終點B乙先到終點C同時到達(dá)終點D無法判斷7、一輛汽車在平直的公路上行駛500m，汽車通過前一半路程的平均速度為15m/s，通過后一半路程的平均速度為10m/s，則汽車在全程的平均速度是（）A12.5m/sB20m/sC15m/sD12m/s一艘船在兩地之間航行，順?biāo)畷r船以速度v1航行，逆水時船以速度v2航行，那么一個來回船的平均速度是不是v=vi+v2?如果不是，該為多少？2從火車上下來兩個旅客，他們沿同一路線走向與車站距離為S的同一地點，甲旅客一半時間行走的速度是v1，另一半時間行走的速度是v2。而乙旅客則用速度v1走完前半程，用速度v2走完后半程。若甲乙兩旅客從車站到達(dá)同一地點所用時間分別為t1和t2，則t1= ，t2= 。（1998年四川省初二物理競賽復(fù)賽試題）10、 作變速直線運動的物體，若前一半時間內(nèi)的平均速度為4m/s，后一半時間內(nèi)的平均速度為8m/s，則全程的平均速度是多少？11、 甲、乙兩輛汽車同時由成都開往重慶。甲車在前一半路程中的速度為v1，后一半路程中的速度為v2（v1#v2）；乙車在前一半時間內(nèi)的速度為U],后一半時間內(nèi)的速度為v2。問：哪輛車先到達(dá)重慶？請加以證明。（第十二屆全國初中物理知識競賽初賽試題）通過以上分析與練習(xí)，我們認(rèn)識到：無論是基本概念還是重、難、疑點，只要在平時的學(xué)習(xí)過程中，注意對概念或公式的內(nèi)涵進(jìn)行深入的理解，抓住概念內(nèi)在的規(guī)律性，我們就能舉一反三、觸類旁通，提高分析問題、解決問題的能力。Keysofexercises：1、B21、B2、C 3、B4、