從數(shù)據(jù)到結(jié)論(人民大學(xué)吳喜之教授)11對應(yīng)分析

從數(shù)據(jù)到結(jié)論(人民大學(xué)吳喜之教授)11對應(yīng)分析第一頁，共25頁。行和列變量的相關(guān)問題

在因子分析中，或者對變量（列中的變量）進行分析，或者對樣品（觀測值或行中的變量）進行分析；而且常常把每一種分析結(jié)果畫出載荷圖來看各個變量之間的接近程度。典型相關(guān)分析也只研究列中兩組變量之間的關(guān)系。然而，在很多情況下，所關(guān)心的不僅僅是行或列本身變量之間的關(guān)系，而是行變量和列變量的相互關(guān)系；這就是因子分析等方法所沒有說明的了。先看一個例子。第二頁，共25頁。例子（數(shù)據(jù)ChMath.sav)在研究讀寫漢字能力與數(shù)學(xué)的關(guān)系的研究時，人們?nèi)〉昧?32個美國亞裔學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和漢字讀寫能力的數(shù)據(jù)。關(guān)于漢字讀寫能力的變量有三個水平：“純漢字”意味著可以完全自由使用純漢字讀寫，“半漢字”意味著讀寫中只有部分漢字（比如日文），而“純英文”意味著只能夠讀寫英文而不會漢字。而數(shù)學(xué)成績有4個水平（A、B、C、D）。這項研究是為了考察漢字具有的抽象圖形符號的特性能否會促進兒童空間和抽象思維能力。該數(shù)據(jù)以列聯(lián)表形式展示在表中：

第三頁，共25頁。人們可以對這個列聯(lián)表進行前面所說的c2檢驗來考察行變量和列變量是否獨立。結(jié)果在下面表中（通過Analyze－DescriptiveStatistics－Crosstabs）

第四頁，共25頁。例子（數(shù)據(jù)ChMath.sav)

由于所有的檢驗都很顯著，看來兩個變量的確不獨立。但是如何用象因子分析的載荷圖那樣的直觀方法來展示這兩個變量各個水平之間的關(guān)系呢？這就是本章要介紹的對應(yīng)分析（correspondenceanalysis）方法。對應(yīng)分析方法被普遍認為是探索性數(shù)據(jù)分析的內(nèi)容，因此，讀者只要能夠會用數(shù)據(jù)畫出描述性的點圖，并能夠理解圖中包含的信息即可。

第五頁，共25頁。對應(yīng)分析

處理列聯(lián)表的問題僅僅是對應(yīng)分析的一個特例。一般地，對應(yīng)分析常規(guī)地處理連續(xù)變量的數(shù)據(jù)矩陣；這些數(shù)據(jù)具有如在主成分分析、因子分析、聚類分析等時所處理的數(shù)據(jù)形式。在因子分析中，根據(jù)各行變量的因子載荷和各列變量的因子載荷之間的關(guān)系，行因子載荷和列因子載荷之間可以兩兩配對。第六頁，共25頁。對應(yīng)分析

如果對每組變量選擇前兩列因子載荷，那么兩組變量就可以畫出兩個因子載荷的散點圖。由于這兩個圖所表示的載荷可以配對，于是就可以把這兩個因子載荷的兩個散點圖畫到同一張圖中，并以此來直觀地顯示各行變量和各列變量之間的關(guān)系。由于列聯(lián)表數(shù)據(jù)形式和一般的連續(xù)變量的數(shù)據(jù)形式類似，所以也可以用對應(yīng)分析的數(shù)學(xué)方法來研究行變量各個水平和列變量各個水平之間的關(guān)系；雖然對不同數(shù)據(jù)類型所產(chǎn)生結(jié)果的解釋有所不同，數(shù)學(xué)的原理是一樣的。下面通過對ChMath.sav數(shù)據(jù)的計算和結(jié)果分析來介紹對應(yīng)分析。

第七頁，共25頁。首先看對應(yīng)分析結(jié)果的一個主要SPSS展示，然后再解釋該圖的來源和解釋。

運用純漢字的點和最好的數(shù)學(xué)成績A最接近，而不會漢字只會英文的點與最差的數(shù)學(xué)成績F（或者D，雖然在縱坐標(biāo)稍有差距）最接近，而用部分漢字的和數(shù)學(xué)成績B接近。第八頁，共25頁。對應(yīng)分析的數(shù)學(xué)原理是什么？第九頁，共25頁。結(jié)果解釋根據(jù)SPSS對數(shù)據(jù)ChMath.sav的計算，得到一些表格。其中第一個就是下面的各維的匯總表。這里所涉及的是行與列因子載荷之間的關(guān)系；選擇行和列變量的顯著的因子載荷的標(biāo)準(zhǔn)是一樣的。選擇多少就涉及幾維。為了畫出散點圖，就至少要選擇兩維了。

第十頁，共25頁。表中的術(shù)語

Inertia－慣量,為每一維到其重心的加權(quán)距離的平方。它度量行列關(guān)系的強度。SingularValue－奇異值（是慣量的平方根），反映了是行與列各水平在二維圖中分量的相關(guān)程度，是對行與列進行因子分析產(chǎn)生的新的綜合變量的典型相關(guān)系數(shù)。ChiSquare－就是關(guān)于列聯(lián)表行列獨立性c2檢驗的c2統(tǒng)計量的值，和前面表中的相同。其后面的Sig為在行列獨立的零假設(shè)下的p-值，注釋表明自由度為(4-1)×(3-1)=6，Sig.值很小說明列聯(lián)表的行與列之間有較強的相關(guān)性。ProportionofInertia－慣量比例，是各維度（公因子）分別解釋總慣量的比例及累計百分比，類似于因子分析中公因子解釋能力的說明。

第十一頁，共25頁。解釋

從該表可以看出，由于第一維的慣量比例占了總比例的93.9%，因此，其他維的重要性可以忽略（雖然畫圖時需要兩維，但主要看第一維－橫坐標(biāo)）。在SPSS的輸出中還有另外兩個表分別給出了畫圖中兩套散點圖所需要的兩套坐標(biāo)。第十二頁，共25頁。第十三頁，共25頁。解釋

該表給出了圖中三個漢字使用點的坐標(biāo)：純漢字(-.897,-.240)，半漢字(.102,.491)，純英文(.970,-.338)，以及四個數(shù)學(xué)成績點的坐標(biāo)：數(shù)學(xué)A(-.693,-.345)，數(shù)學(xué)B(-.340,.438)，數(shù)學(xué)C(.928,.203)，數(shù)學(xué)C(1.140,-.479)。兩表中的概念不必記；其中Mass為行與列的邊緣概率；ScoreinDimension是各維度的分值(二維圖中的坐標(biāo))；Inertia:就是前面所提到的慣量，為每一行/列到其重心的加權(quán)距離的平方。

第十四頁，共25頁。SPSS的實現(xiàn)打開ChMath.sav數(shù)據(jù)，其形式和本章開始的列聯(lián)表有些不同。其中ch列代表漢字使用的三個水平；而math列代表數(shù)學(xué)成績的四個水平；第一列count實際上是ch和math兩個變量各個水平組合的出現(xiàn)數(shù)目，也就是列聯(lián)表中間的數(shù)目。由于count把很大的本應(yīng)有232行的原始數(shù)據(jù)簡化成只有12行的匯總數(shù)據(jù)，在進行計算之前必須進行加權(quán)。也就是點擊圖標(biāo)中的小天平，再按照count加權(quán)即可。第十五頁，共25頁。SPSS的實現(xiàn)加權(quán)之后，選擇Analyze－DataReduction－CorrespondenceAnalysis，然后把“漢字使用”選入Row（行），再點擊DefineRange來定義其范圍為1(Minimumvalue)到3(Maximumvalue)，之后點擊Update。類似地，點擊Continue之后，把“數(shù)學(xué)成績”選入Column(列)，并以同樣方式定義其范圍為1到4。由于其他選項可以用默認值，就可以直接點擊OK來運行了。這樣就得到上述表格和點圖。

第十六頁，共25頁。對應(yīng)分析的數(shù)學(xué)

(CorrespondenceAnalysis)

(SPSSDataReduction)

第十七頁，共25頁。因子分析對變量和對樣品要分別對待.對應(yīng)分析把變量和樣本同時反映到相同坐標(biāo)軸(因子軸)的一張圖形上.數(shù)學(xué)上,令A(yù)=[aij]為n×p矩陣,x=[xi]為n-(列)向量,y=[yj]為p-(列)向量.那么(r,x,y)稱為對應(yīng)分析問題C0(A)的解,如果第十八頁，共25頁。行記分(rowscore)xi和列記分yj的加權(quán)均值成比例,而列記分yj和行記分xi的加權(quán)均值成比例.數(shù)值r為行列記分的相關(guān)(在典型相關(guān)的意義上).第十九頁，共25頁。記R=diag(ai.),C=diag(a.i),R1/2=diag(a.i1/2),則上面式子為rx=R-1Ay;ry=C-1A’x或rR1/2x=(R-1/2AC-1/2)C1/2y;rC1/2y=(C-1/2A’R-1/2)R1/2x=(R-1/2AC-1/2)’R1/2xX為一個解的條件是下面特征值問題有解(最大特征值為1是平凡解,兩組非零特征值相同!)第二十頁，共25頁。令前面的特征值問題可以寫成兩個特征值問題有同樣的非零特征值.如U是Z’Z的特征向量,則ZU是ZZ’的特征向量.第二十一頁，共25頁。Z’Z的特征根為l1≥l2≥…≥lp;Z’Z相應(yīng)的特征向量為u1,u2…,up.ZZ’相應(yīng)的特征向量為v1,v2…,vn.對最大的m個特征值得因子載荷陣可以對變量和樣品作兩兩因子載荷圖.下面再看另一個例子。

第二十二頁，共25頁。吸煙和位子的關(guān)系(列變量為:高級經(jīng)理,低級經(jīng)理,高級職員,低級職員,秘書行變量為吸煙程度) smagimagsempiempsecno44251810light2310246med3010330heavy244132x_read.table("F:\\2002\\pku\\smoke.dat",header=T)biplot(corresp(x,nf=2))Rowscores:Columnscores:[,1][,2][,1][,2]no1.17240.583smag0.00404-0.2042light-0.0522-0.369imag1.0