自動(dòng)控制原理第五章頻率法

自動(dòng)控制原理第五章頻率法第一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第一節(jié)頻率特性輸入正弦信號(hào)：e1=E1Sinwt在穩(wěn)態(tài)下輸出：e2=E2Sin(wt+φ)仍是正弦信號(hào),頻率不變,幅值和相角發(fā)生變化.變化與w有關(guān).1/jwC

1寫成矢量形式：e2=—————e1=————e1

R+1/jwC

1+jwRC

e21-—=————與電路參數(shù)RC有關(guān)、與輸入電壓的頻率有關(guān)

e11+jwRCG(jw)=1/(1+jwRC)——頻率特性線性系統(tǒng)或環(huán)節(jié)在正弦函數(shù)作用下穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之比。第二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日頻率特性幅相特性:G(jw)=A(w)ejφ(w)

幅頻特性：A(w)=|G(jw)|A(w)=|e2/e1|=1/[1+(wRC)2]1/2相頻特性：φ(w)=∠G(jw)

φ(w)=φ2(w)-φ1(w)=-tg-1(RCw)實(shí)虛特性:G(jw)=P(w)+jQ(w)

實(shí)頻特性

P(w)=Re[G(jw)]虛頻特性

Q(w)=Im[G(jw)]第三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日幅相特性與傳遞函數(shù)之間的關(guān)系

頻率特性----傳遞函數(shù)?

b0Sm+…+bmC(S)=G(S)R(S)=——————R(S)

a0Sn+…+anr(t)=Arsimwt，R(S)=Arw/(S2+w2)

b0Sm+…+bmArw

C(S)=———————*———

a0Sn+…+anS2+w2CiBD=Σ——+[———+———]

i=1S-SiS+jwS-jw

式中：Si——特征根.

Ci，B，D——待定系數(shù)第四頁，共一百零五頁，2022年，8月28日幅相特性與傳遞函數(shù)之間的關(guān)系

C(t)=ΣCieSit+Be-jwt+Dejwt

對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，特征根Si具有負(fù)實(shí)部，C(t)的第一部分瞬態(tài)分量ΣCieSit將隨時(shí)間t的延續(xù)而逐漸消失，C(t)的穩(wěn)態(tài)輸出為：

CS(t)=Be-jwt+Dejwt

其中：B=G(S)*[Arw/(S2+w2)](S+jw)|S=-jw=G(-jw)Arw/(S-jw)|S=-jw=|G(jw)|e-j∠G(jw）Ar/(-2j)=|G(jw)|Are-j[∠G(jw-π/2)]/2

同理：D=|G(jw)|Arej[∠G(jw-π/2)]/2第五頁，共一百零五頁，2022年，8月28日幅相特性與傳遞函數(shù)之間的關(guān)系CS(t)=[|G(jw)|/2]Are-j[∠G(jw-π/2)]+[|G(jw)|/2]Arej[∠G(jw-π/2)]=[|G(jw)|/2]Ar{e-j[∠G(jw-π/2)]+ej[∠G(jw-π/2)]}=|G(jw)|Arcos[wt+∠G(jw)-π/2]=|G(jw)|Arsin[wt+∠G(jw)]=Acsin(wt+φ）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出CS(t)是與輸入同頻的正弦振幅：Ac=|G(jw)|Ar

相位:φ=∠G(jw)第六頁，共一百零五頁，2022年，8月28日幅相特性與傳遞函數(shù)之間的關(guān)系輸出輸入的振幅比（幅頻特性）：

A(w)=Ac/Ar=|G(jw)|=G(S)|S=jw輸出輸入的相位差（相頻特性）：

φ(w)=φ-0=∠G(jw)=∠G(S)|S=jw所以：G(jw)=G(S)|S=jw

頻率特性傳遞函數(shù)證畢第七頁，共一百零五頁，2022年，8月28日一、幅相頻率特性(Nyquist曲線)G(jw)=A(w)ejφ(w)矢量的長度=A(w)相對于極坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)角=φ(w)當(dāng)w由0到∞變化時(shí)，G(jw)矢量的終端描繪出一條曲線——稱為Nyquist曲線。一條曲線,同時(shí)表示幅頻和相頻特性----幅相頻率特性.第八頁，共一百零五頁，2022年，8月28日幅相頻率特性繪制方法:1.G(jw)=A(w)ejφ(w)

計(jì)算幅值,幅角相對簡單,

但計(jì)算幅角時(shí)有時(shí)會(huì)遇到多值性的問題.2.G(jw)=P(w)+jQ(w)

計(jì)算實(shí)部,虛部相對復(fù)雜.第九頁，共一百零五頁，2022年，8月28日二、對數(shù)頻率特性（Bode圖）通過半對數(shù)坐標(biāo)分別表示幅頻特性和相頻特性的圖形——對數(shù)頻率特，也稱Bode圖。

G(jw)=A(w)ejφ(w)lgG(jw)=lgA(w)+jφ(w)lge=lgA(w)+j0.434φ(w)

兩張圖：對數(shù)幅頻特性,對數(shù)相頻特性第十頁，共一百零五頁，2022年，8月28日對數(shù)頻率特性對數(shù)幅頻特性圖縱坐標(biāo)：L(w)=20lg|G(jw)|=20lgA(w)單位：分貝(db)線性分度A(w)每變化10倍，L(w)變化20db。橫坐標(biāo)：w單位：1/S對數(shù)分度w每變化10倍，橫坐標(biāo)變化一個(gè)單位長度。第十一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日對數(shù)頻率特性對數(shù)相頻特性圖縱坐標(biāo)：φ(w)=∠G(jw)

單位：度線性分度橫坐標(biāo)：w

單位：1/S

對數(shù)分度

w每變化10倍，橫坐標(biāo)變化一個(gè)單位長度對數(shù)幅頻特性+對數(shù)相頻特性=對數(shù)頻率特性（Bode圖）第十二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日對數(shù)頻率特性特點(diǎn)：

1、對串聯(lián)環(huán)節(jié)，變乘為加；

2、有近似畫法；

3、高低頻特性兼顧。第十三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第二節(jié)基本環(huán)節(jié)的頻率特性一、比例環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)：G(S)=K

幅相頻率特性：G(jw)=K=K+j0第十四頁，共一百零五頁，2022年，8月28日比例環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性：L(w)=20lgA(w)=20lgK

φ(w)=0

K﹥1，20lgK﹥0dbK﹤1，20lgK﹤0db

第十五頁，共一百零五頁，2022年，8月28日慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：G(S)=K/(TS+1)幅相頻率特性：G(jw)=K/(jwT+1)K=1時(shí)，G(jw)=P(w)+jQ(w)=1/(1+T2w2)-jTw/(1+T2w2)

W

Re

Im

0

1

0

1/T

1/2

-1/2∞

0

0第十六頁，共一百零五頁，2022年，8月28日慣性環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性：對數(shù)幅頻（近似畫法）：

L(w)=20lgA(w)=-20lg(1+T2w2)1/2

低頻段:w＜＜1/T，L(w)≈-20lg1=0db

高頻段:w＞＞1/T，L(w)≈-20lgTw(直線)w=1/T，L(w)=-20lgTw=0db(w=1/T處過橫軸)w1=10/T，L(w1)=-20lgTw1=-20lg10=-20db

斜率：-20db/dec（每十倍頻程-20db）轉(zhuǎn)折頻率：1/T對數(shù)相頻：

φ(w)=∠G(jw)=∠[1/(1+jTw)]=-tg-1Tw

Wφ（w）

0

0

1/T-45°∞-90°第十七頁，共一百零五頁，2022年，8月28日慣性環(huán)節(jié)1/T處誤差最大：誤差=實(shí)際值-近似值

=-20lg(1+T2w2)1/2︱w=1/T-0

=-20lg21/2-0

=-3db

第十八頁，共一百零五頁，2022年，8月28日積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：

G(S)=1/S幅相頻率特性：

G(jw)=1/(jw)=0–j(1/w)

W

Re

Im

0

0

-∞

1

0

-1∞

0

0第十九頁，共一百零五頁，2022年，8月28日積分環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性：

L(w)=20lgA(w)=-20lgw直線

w=1，L(w)=0，（過橫軸）

斜率：-20db/dec

φ(w)=-90°φ(W)WW-20db/dec1/T00-90°第二十頁，共一百零五頁，2022年，8月28日振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：G(S)=Wn2/(S2+2ζWnS+Wn2)

=1/(T2S2+2ζTS+1)

標(biāo)準(zhǔn)形式

幅相頻率特性：G(jw)=1/(1-T2w2+j2ζTw)A(w)=1/[(1-T2w2)2+(2ζTw)2]1/2φ(w)=-tg-1[2ζTw/(1-T2w2)]

WA(w)φ(w)0101/T1/(2ζ)-90°∞0-180°第二十一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性：

L(w)=20lgA(w)

=-20lg[(1-T2w2)2+(2ζTw)2]1/2

低頻段：w＜＜1/T，

L(w)≈-20lg1=0db高頻段：w＞＞1/T，

L(w)≈-20lgT2w2

=-40lgTw直線斜率：-40db/dec(每十倍頻程-40db)轉(zhuǎn)折頻率：w=1/Tφ(w)=-tg-1[2ζTw/(1-T2w2)]第二十二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日振蕩環(huán)節(jié)誤差=實(shí)際值-近似值

=-20lg[(1-T2w2)2+(2ζTw)2]1/2︱w=1/T-0

=-20lg(2ζ)db誤差除與w有關(guān),還與ζ有關(guān).ζ＞0.5負(fù)誤差ζ＜0.5正誤差令:dA(w)=0,可得峰值頻率:wm=wn(1-2ξ)1/2ζ＞0.707,無峰值頻率ζ＜0.707,wm＜wn,轉(zhuǎn)折頻率前出現(xiàn)峰值.ζ=0,wm=wn,信號(hào)頻率(峰值頻率)=自然振蕩頻率----共振.第二十三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)

G(S)=S

是積分環(huán)節(jié)的倒數(shù)

L2(w)=-L1(w)φ2(w)=-φ1(w)

第二十四頁，共一百零五頁，2022年，8月28日微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)

G(S)=TS+1

是慣性環(huán)節(jié)的倒數(shù)二階微分環(huán)節(jié)

G(S)=T2S2+2ζTS+1

是振蕩環(huán)節(jié)的倒數(shù)。第二十五頁，共一百零五頁，2022年，8月28日一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)具有正實(shí)部特征根（即不穩(wěn)定根）的環(huán)節(jié)----不穩(wěn)定環(huán)節(jié)。傳遞函數(shù):G(S)=1/(TS-1)頻率特性:G(jω)=1/(jωT-1)幅頻特性:與慣性環(huán)節(jié)相同

相頻特性:與慣性環(huán)節(jié)不同實(shí)頻特性:

與慣性環(huán)節(jié)不同虛頻特性:與慣性環(huán)節(jié)相同第二十六頁，共一百零五頁，2022年，8月28日一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)

當(dāng)由0變化時(shí)，慣性環(huán)節(jié)的相頻由0趨向于-90；相位角的絕對值小,稱為最小相位環(huán)節(jié).

一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的相頻則由-180趨向-90。相位角的絕對值大稱為非最小相位環(huán)節(jié).

推廣之，傳遞函數(shù)中有右極點(diǎn)、右零點(diǎn)的環(huán)節(jié)（或系統(tǒng)）稱為非最小相位環(huán)節(jié)（或系統(tǒng)），而傳遞函數(shù)中沒有右極點(diǎn)、右零點(diǎn)的環(huán)節(jié)（或系統(tǒng)）則稱為最小相位環(huán)節(jié)（或系統(tǒng)）。第二十七頁，共一百零五頁，2022年，8月28日一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性與慣性環(huán)節(jié)的完全一樣；相頻則有所不同，是在-180至-90范圍內(nèi)變化.第二十八頁，共一百零五頁，2022年，8月28日時(shí)滯環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：

G(S)=e-τS幅相頻率特性：

G(jw)=e-jτw

A(w)=1

φ(w)=-τw第二十九頁，共一百零五頁，2022年，8月28日時(shí)滯環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性：

L(w)=20lgA(w)=20lg1=0φ(w)=-τw

（橫坐標(biāo)對數(shù)分度，曲線）第三十頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第三節(jié)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性一、系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性簡單系統(tǒng)常用的兩種方法:

GK(jw)=P(w)+jQ(w)

無tg-1的多值性問題.

GK(jw)=A(w)ejφ(w)

較簡單，可與對數(shù)特性兼容.

第三十一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日開環(huán)幅相頻率特性舉例例1:試?yán)L制某0型單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性。

GK(S)=K/[(1+T1S)(1+T2S)]解：

GK(jw)=K/[(1+jT1w)(1+jT2w)]A(w)=K/[(1+T12w2)1/2(1+T22w2)1/2]φ(w)=-tg-1T1w-tg-1T2wWA(w)φ(w)0K01/Ta-b°∞0-180°第三十二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日開環(huán)幅相頻率特性舉例例2:試?yán)L制某I型單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性。

GK(S)=K/[S(1+TS)]解：

GK(jw)=K/[jw(1+jTw)]A(w)=K/[w(1+T2w2)1/2]φ(w)=-90°-tg-1TwWA(w)φ(w)0∞-90°1/TKT/21/2-135°∞0-180°第三十三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日2.復(fù)雜系統(tǒng)開環(huán)頻率特性復(fù)雜系統(tǒng)是由多個(gè)環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)組成,若逐點(diǎn)計(jì)算繪圖十分繁瑣.工程上常用概略幅相曲線繪制法.(1).將開環(huán)傳遞函數(shù)按典型環(huán)節(jié)分解K(T1S+1)…KlGK(S)=------------------------------------=----∏Gi(S)SV(T2S+1)(T2S2+2ζTS+1)…SVi=1式中：Ｋ----開環(huán)增益V----積分(微分)環(huán)節(jié)數(shù)Gi(S)----除K/SV外的其它典型環(huán)節(jié)第三十四頁，共一百零五頁，2022年，8月28日(2).確定幅相曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)A.起點(diǎn)

ω→0(低頻段),除比例,積分(微分)環(huán)節(jié)外,其它典型環(huán)節(jié)的幅相特性均為1.KGK(j0)=lim-------

ω→0(jω)V

0;V＜0即微分環(huán)節(jié)│GK(j0)│=│K│;V=0即無微分,積分環(huán)節(jié)∞;V＞0即有積分環(huán)節(jié)∠GK(j0)=-90°V;K＞0-90°V-180°;K＜0第三十五頁，共一百零五頁，2022年，8月28日(2).確定幅相曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)B.終點(diǎn)

ω→∞(高頻段),頻率特性的幅值與分子分母多項(xiàng)式的階次差(n-m)有關(guān).│GK(j∞)│=0;n＞m│K│;n=m

∠GK(j∞)=-90°(n–m);K＞0-90°(n–m)-180°;K＜0當(dāng)n＞m時(shí)，幅相曲線趨于原點(diǎn),并按-90°(n–m)角與實(shí)軸或虛軸相切.第三十六頁，共一百零五頁，2022年，8月28日(3).確定幅相曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)及中頻段的其他特征點(diǎn)A.幅相曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)令:Im[GK(jω)]=0或∠GK(jω)=(2K+1)∏

解出ω,再代入Re[GK(jω)]中,即得幅相曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn).B.幅相曲線與虛軸的交點(diǎn)令:Re[GK(jω)]=0解出ω,再代入Im[GK(jω)]中,即得幅相曲線與虛軸的交點(diǎn).第三十七頁，共一百零五頁，2022年，8月28日確定幅相曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)及中頻段的其他特征點(diǎn)例:系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下,試?yán)L制其幅相頻率特性.10GK(jω)=------------------------------jω(1+j0.2ω)(1+j0.05ω)解:此系統(tǒng):m=0n–m=3V=1低頻段:ω→0時(shí),GK(jω)=∞∠-90°高頻段:ω→

∞時(shí),GK(jω)=0∠-270°第三十八頁，共一百零五頁，2022年，8月28日確定幅相曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)及中頻段的其他特征點(diǎn)中頻段:令I(lǐng)m[GK(jω)]=0解出ω=±10取ω=10代入Re[GK(j10)]=-0.4即為幅相曲線與實(shí)軸的交點(diǎn).再令Re[GK(jω)]=0解出ω=0為幅相曲線的起點(diǎn).曲線與虛軸交于無窮遠(yuǎn)處.-0.40ReIm第三十九頁，共一百零五頁，2022年，8月28日二、系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性的繪制開環(huán)傳遞函數(shù)由幾個(gè)基本環(huán)節(jié)串聯(lián)組成：

GK(S)=G1(S)G2(S)…Gn(S)

A(w)ejφ(w)=A1(w)ejφ1(w)…An(w)ejφn(w)A(w)=A1(w)…An(w)L(w)=20lgA(w)

=20lgA1(w)+20lgA2(w)+…+20lgAn(w)

第四十頁，共一百零五頁，2022年，8月28日系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性的繪制L(w)=L1(w)+L2(w)+…+Ln(w)由串聯(lián)基本環(huán)節(jié)的幅頻特性相加

φ(w)=φ1(w)+φ2(w)+…+φn(w)由串聯(lián)基本環(huán)節(jié)的相頻特性相加第四十一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日例1:繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性

GK(S)=10/[(1+T1S)(1+T2S)]

解：

GK(S)=10[1/(1+T1S)][1/(1+T2S)]

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)由三個(gè)典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成

比例環(huán)節(jié)：10

慣性環(huán)節(jié)：1/(1+T1S)

慣性環(huán)節(jié)：1/(1+T2S)L(w)=20lg10-20lg[(1+T12w2)1/2]-20lg[(1+T22w2)1/2]

φ(w)=-tg-1T1w-tg-1T2w

系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性的繪制舉例第四十二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日繪制近似對數(shù)幅頻特性更簡便的方法1．確定低頻段

20lgK，純微分(純積分)2．每遇一轉(zhuǎn)折頻率，改變一次斜率慣性：增加-20db/dec

振蕩：增加-40db/dec

一階微分：增加+20db/dec

二階微分：增加+40db/dec第四十三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日舉例例:GK(S)=10*[1/(1+T1S)]*[1/(1+T2S)]

低頻段:20lg10=20db

轉(zhuǎn)折頻率:1/T1

慣性-20db/dec1/T2

慣性-20db/decL(W)2001/T11/T2第四十四頁，共一百零五頁，2022年，8月28日例2：繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性

GK(S)=10/[S(1+0.1S)]

解：

L(w)=20lg10–20lgw–20lg[(1+0.12w2)1/2]

φ(w)=-tg-10.1w-90°

低頻段：比例

20lg10=20db

積分

20lgw

轉(zhuǎn)折頻率：1/0.1=10

慣性-20db/dec舉例第四十五頁，共一百零五頁，2022年，8月28日舉例例3：Bode圖如圖，求傳遞函數(shù)解：低頻段:斜率=-20db/dec積分

W=1時(shí),L(W)≠0比例

20lgK=40dbK=100轉(zhuǎn)折頻率：2-20db/dec慣性

5+20db/dec一階微分

20-20db/dec慣性

Gk(S)=(1/S)*(100)*{1/[1+(1/2)S]}*[1+(1/5)S]*{1/[1+(1/20)S]}

=800(S+5)/[S(S+2)(S+20)]第四十六頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第四節(jié)用頻率法分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可以用系統(tǒng)的開環(huán)特性來判斷。因?yàn)殚_環(huán)模型中包含了閉環(huán)的所有元部件，包含了所有環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)和參數(shù)。

由于閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于閉環(huán)特征根的性質(zhì)，因此用開環(huán)特性研究閉環(huán)的穩(wěn)定性，首先應(yīng)該明確開環(huán)特性與閉環(huán)特征式的關(guān)系。第四十七頁，共一百零五頁，2022年，8月28日一、系統(tǒng)開環(huán)頻率特性與閉環(huán)特征式的關(guān)系以單位負(fù)反饋系統(tǒng)為例

GB(S)=GK(S)/[1+GK(S)]設(shè)：GK(S)=M(S)/N(S)則：GB(S)=[M(S)/N(S)]/{1+[M(S)/N(S)]}

=M(S)/[N(S)+M(S)]其中：N(S)——開環(huán)特征式

N(S)+M(S)——閉環(huán)特征式取輔助函數(shù)：

F(S)=1+GK(S)

=[N(S)+M(S)]/N(S)

=閉環(huán)特征式

/開環(huán)特征式第四十八頁，共一百零五頁，2022年，8月28日系統(tǒng)開環(huán)頻率特性與閉環(huán)特征式的關(guān)系

F(jw)=1+GK(jw)=[N(jw)+M(jw)]/N(jw)

其中：GK(jw)——開環(huán)頻率特性

N(jw)+M(jw)——閉環(huán)特征式

1+GK(jw)=[N(jw)+M(jw)]/N(jw)1+開環(huán)頻率特性=閉環(huán)特征式/開環(huán)特征式第四十九頁，共一百零五頁，2022年，8月28日二、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)

開環(huán)幅相頻率特性——閉環(huán)穩(wěn)定性

當(dāng)W由0到∞變化時(shí)，輔助向量函數(shù)[1+GK(jw)]在其復(fù)平面中的幅角增量為pπ角，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

△∠[1+GK(jw)]=pπ

w:0→∞

其中：p——開環(huán)特征方程N(yùn)(S)=0中，右根(實(shí)部為正的根)的個(gè)數(shù)。第五十頁，共一百零五頁，2022年，8月28日Nyquist穩(wěn)定判據(jù)證明

1+GK(jw)=[N(jw)+M(jw)]/N(jw)*GK(S)=M(S)/N(S)

因?yàn)镸(S)的階次不高于N(S)的階次，所以*式分子分母同階?？蓪懗桑?/p>

1+GK(jw)=KП(jw-Si)/П(jw-Pi)Si——閉環(huán)特征根

Pi——開環(huán)特征根

K——閉環(huán)和開環(huán)特征式最高階次項(xiàng)系數(shù)之比上式的幅角當(dāng)W由0到∞變化時(shí)的增量為：△∠[1+GK(jw)]=Σ△∠(jw–Si)-Σ△∠(jw–Pi)**第五十一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日Nyquist穩(wěn)定判據(jù)證明∠[1+GK(jw)]=Σ△∠(jw–Si)-Σ△∠(jw–Pi)**設(shè)ɑi為特征根（包括Si和Pi），分四種情況：1．當(dāng)ɑi為負(fù)實(shí)根當(dāng)W由0到∞變化時(shí),子項(xiàng)(jw–ɑi)的幅角增量為△∠(jw-ɑi)=△∠(jw+|ɑi|)=π/2第五十二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日Nyquist穩(wěn)定判據(jù)證明2．當(dāng)ɑi為正實(shí)根當(dāng)W由0到∞變化時(shí),子項(xiàng)(jw–ɑi)的幅角增量為△∠(jw-ɑi)=△∠(jw-|ɑi|)=-π/2第五十三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日Nyquist穩(wěn)定判據(jù)證明3．當(dāng)ɑi為負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根ɑi±jwi△∠[jw–(ɑi+jwi)]+△∠[jw–(ɑi–jwi)]=△∠[j(w–wi)+|ɑi|]+△∠[j(w+wi)+|ɑi|]=(π/2+β)+(π/2–β)=2π/2

每個(gè)根的平均幅角增量為π/2.第五十四頁，共一百零五頁，2022年，8月28日Nyquist穩(wěn)定判據(jù)證明4．當(dāng)ɑi為正實(shí)部的共軛復(fù)根ɑi±jwi△∠[jw–(ɑi+jwi)]+△∠[jw–(ɑi-jwi)]=△∠[j(w–wi)-|ɑi|]+△∠[j(w+wi)-|ɑi|]=-(π/2+β)–(π/2–β)=-2π/2

每個(gè)根的平均幅角增量為-π/2.第五十五頁，共一百零五頁，2022年，8月28日Nyquist穩(wěn)定判據(jù)證明

綜合情況1,2,3,4，特征根(包括Si和Pi)實(shí)部為負(fù)，則子因式(jw-ɑi)的幅角增量平均為π/2；實(shí)部為正，則子因式的幅角平均增量為-π/2。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，必須使其n個(gè)閉環(huán)特征根Si的實(shí)部均為負(fù)。故對閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，**式應(yīng)為：△∠[1+GK(jw)]=nπ/2-[(n-p)π/2-pπ/2]=pπ其中：第一項(xiàng)nπ/2表示n個(gè)閉環(huán)特征根全部為負(fù)；

第二項(xiàng)(n-p)π/2表示(n-p)個(gè)開環(huán)特征根為負(fù)；

第三項(xiàng)pπ/2表示p個(gè)開環(huán)特征根為正.證畢第五十六頁，共一百零五頁，2022年，8月28日三、穩(wěn)定判據(jù)的推論推論1．若系統(tǒng)是開環(huán)穩(wěn)定的(最小相位系統(tǒng))，p=0

則閉環(huán)穩(wěn)定的條件為：△∠[1+GK(jw)]=0第五十七頁，共一百零五頁，2022年，8月28日穩(wěn)定判據(jù)的推論推論2．

[1+GK(jw)]平面的坐標(biāo)原點(diǎn)=[GK(jw)]平面的(-1+j0)點(diǎn)

[1+GK(jw)]向量對其原點(diǎn)的轉(zhuǎn)角相當(dāng)于GK(jw)曲線對(-1，j0)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。因此判據(jù)可改為：當(dāng)W由0到∞變化時(shí)，開環(huán)幅相特性GK(jw)曲線繞(-1，j0)點(diǎn)轉(zhuǎn)pπ角，則閉環(huán)穩(wěn)定。若開環(huán)穩(wěn)定(p=0)，則當(dāng)W由0到∞變化時(shí)，GK(jw)曲線繞(-1，j0)點(diǎn)轉(zhuǎn)角為零[或曰不包圍(-1，j0)點(diǎn)]，則閉環(huán)穩(wěn)定。第五十八頁，共一百零五頁，2022年，8月28日穩(wěn)定判據(jù)舉例例：單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線分別如下，試判斷各閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.解:第五十九頁，共一百零五頁，2022年，8月28日四、對特殊情況(開環(huán)零根)的處理例1：GK(S)=K/[S(TS+1)]，試用乃氏判據(jù)判穩(wěn)。解：

GK(jw)=K/[jw(jwT+1)]A(w)=K/[w(1+T2w2)1/2]φ(w)=-90°-tg-1Tw

開環(huán)零根(開環(huán)臨界穩(wěn)定)，

p=？怎么應(yīng)用乃氏判據(jù)?WA(w)φ(w)0∞-90°1/TKT/21/2-135°∞0-180°第六十頁，共一百零五頁，2022年，8月28日對特殊情況(開環(huán)零根)的處理解決方案：將零根視為穩(wěn)定根。但穩(wěn)定根的子因式(jw-ɑi)，當(dāng)W由0到∞變化時(shí)，其幅角增量平均為π/2；而零根的子因式(jw-0)，當(dāng)W由0到∞變化時(shí)，其幅角增量為0。為使二者一致，假設(shè)：零根的子因式(jw-0)在w=0時(shí)從正實(shí)軸開始，以無窮小的半徑轉(zhuǎn)至虛軸,之后再隨w的增加沿虛軸趨向無窮。即補(bǔ)充一個(gè)π/2的小圓弧.則零根即可相當(dāng)于穩(wěn)定根。第六十一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日對特殊情況(開環(huán)零根)的處理從G（jw）曲線看，jw在個(gè)G（jw）的分母上。無窮小半徑—無窮大半徑，正轉(zhuǎn)π/2----轉(zhuǎn)π/2。相當(dāng)于在w=0處給幅相曲線補(bǔ)充一個(gè)半徑為無窮大，負(fù)轉(zhuǎn)π/2的大圓弧,之后再隨w的增加按原曲線變化。本例中,視為P=0,當(dāng)W由0到∞變化時(shí)，曲線不包圍（-1，j0）點(diǎn)。系統(tǒng)穩(wěn)定。第六十二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日舉例例2：GK(S)=K/[S2(TS+1)]，試用乃氏判據(jù)判穩(wěn)。解：

GK(jw)=K/(jw)2(jwT+1)]A(w)=K/[w2(1+T2w2)1/2]φ(w)=-180°-tg-1Tw

兩個(gè)零根，補(bǔ)充半徑無窮大，負(fù)轉(zhuǎn)2π/2=π的大圓弧。

P=0

當(dāng)W由0到∞變化時(shí)，曲線包圍（-1，j0）點(diǎn).

系統(tǒng)不穩(wěn)定。WA(w)φ(w)0∞-180°1/TKT/21/2-225°∞0-270°第六十三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日五、用開環(huán)對數(shù)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性幅相特性與對數(shù)特性之間的關(guān)系1．幅相特性中的單位圓——對數(shù)特性中的0dB線

A(w)=1L(w)=20lgA(w)=0db第六十四頁，共一百零五頁，2022年，8月28日用開環(huán)對數(shù)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性2．幅相特性中的負(fù)實(shí)軸——對數(shù)特性中的-180°線

Φ(w)=-180φ(w)=-180°第六十五頁，共一百零五頁，2022年，8月28日用開環(huán)對數(shù)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)（開環(huán)也穩(wěn)定）

φ(wg)=-180°wg的定義

A(wg)＜1穩(wěn)定條件

A(wc)=1wc的定義

φ(wc)＞-180°穩(wěn)定條件

第六十六頁，共一百零五頁，2022年，8月28日用開環(huán)對數(shù)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性在對應(yīng)的對數(shù)特性上：

φ(wg)=-180°wg的定義

L(wg)＜0db穩(wěn)定條件

L(wc)=0dbwc的定義

φ(wc)＞-180°穩(wěn)定條件（在-180°線以上）第六十七頁，共一百零五頁，2022年，8月28日用開環(huán)對數(shù)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性不穩(wěn)定系統(tǒng)（開環(huán)是穩(wěn)定的）

φ(wg)=-180°wg的定義

A(wg)＞1不穩(wěn)定條件

A(wc)=1wc的定義

φ(wc)＜-180°不穩(wěn)定條件第六十八頁，共一百零五頁，2022年，8月28日用開環(huán)對數(shù)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性在對應(yīng)的對數(shù)特性上：

φ(wg)=-180°wg的定義

L(wg)＞0db不穩(wěn)定條件

L(wc)=0dbwc的定義

φ(wc)＜-180°不穩(wěn)定條件第六十九頁，共一百零五頁，2022年，8月28日閉環(huán)穩(wěn)定條件1．對開環(huán)是穩(wěn)定的系統(tǒng)

(最小相位系統(tǒng)，p=0)

φ(w)=-180°時(shí)，L(w)＜0db

或?qū)懗?L(wg)＜0db

L(w)=0db時(shí)，φ(w)＞-180°

或?qū)懗?φ(wc)＞-180°第七十頁，共一百零五頁，2022年，8月28日閉環(huán)穩(wěn)定條件2．對開環(huán)是不穩(wěn)定的系統(tǒng)

(非最小相位系統(tǒng)，p≠0)

在L(w)＞0的范圍內(nèi)，φ(w)曲線對-180°線的正、負(fù)穿越次數(shù)之差為p/2.

當(dāng)有多個(gè)wc時(shí)，選用最大的一個(gè)。正穿越：自下而上。負(fù)穿越：自上而下。第七十一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日舉例例：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

GK(S)=K/[S(TS+1)]

試用Bode圖判斷系統(tǒng)在閉環(huán)時(shí)的穩(wěn)定性。解：畫Bode圖.p=0φ(wc)＞-180°系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。第七十二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日六.控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性相對穩(wěn)定性——衡量穩(wěn)定的程度。最小相位系統(tǒng)穩(wěn)定與否取決于GK(jw)曲線是否包圍(-1，j0)點(diǎn)，所以GK(jw)曲線離(-1，j0)點(diǎn)越遠(yuǎn)，穩(wěn)定的程度越高。

第七十三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日1、相角裕度

在|GK(jw)|=1的頻率Wc上，使閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到臨界狀態(tài)[GK(jw)曲線通過(-1,j0)點(diǎn)]所需附加的相移量稱為相角裕度。

γ=180°+∠GK(jwC)γ＞0穩(wěn)定

γ=0臨界穩(wěn)定

γ＜0不穩(wěn)定第七十四頁，共一百零五頁，2022年，8月28日2、幅值裕度在∠GK(jw)=-180°的頻率Wg上，|GK(jwg)|

的倒數(shù)稱為幅值裕度。

Kg=1/|GK(jwg)|

用db表示時(shí)：

20lgKg=-20lg|GK(jwg)|Kg＞1(20lgKg＞0)穩(wěn)定

Kg=1(20lgKg=0)臨界穩(wěn)定

Kg＜1(20lgKg＜0)不穩(wěn)定對于復(fù)雜的系統(tǒng)，必須:γ＞0，Kg＞1都成立，系統(tǒng)才穩(wěn)定。第七十五頁，共一百零五頁，2022年，8月28日舉例例1:系統(tǒng)如圖試求當(dāng)K=10和K=100時(shí)的幅值裕度和相角裕度。第七十六頁，共一百零五頁，2022年，8月28日舉例解：⑴．圖解法將GK(S)化成標(biāo)準(zhǔn)形式

GK(S)=(1/5)K/{S(S+1)[(1/5)S+1]}

當(dāng)K=10時(shí)

GK(S)=2/{S(S+1)[(1/5)S+1]}20lg2≈6db

由圖中可得：γ≈20°Kg≈8db

系統(tǒng)穩(wěn)定。第七十七頁，共一百零五頁，2022年，8月28日舉例當(dāng)K=100時(shí)GK(S)=20/{S(S+1)[(1/5)S+1]}20lg20≈26db由圖中可得：γ≈-40°Kg≈-12db系統(tǒng)不穩(wěn)定。第七十八頁，共一百零五頁，2022年，8月28日舉例⑵．計(jì)算法計(jì)算思路：令：|GK(jw)|=1,解得wC

相角裕度：γ=180°+∠GK(jwC)

令:Im[GK(w)]=0,解得wg

幅值裕度：Kg=-20lg|GK(jwg)|

第七十九頁，共一百零五頁，2022年，8月28日舉例當(dāng)K=10時(shí):GK(S)=K/[S(S+1)(S+5)]令:|GK(jw)|=10/[w(1+w2)1/2(25+w2)1/2]=1解得:w=wC=1.23相角裕度:γ=180°+[-90°-tg-11.23-tg-1(1.23/5)]=25.3°又:GK(jw)=10/[jw(jw+1)(jw+5)]

=10/[-6w2+j(5w-w3)]令:Im[GK(w)]=5w-w3=0解得:

w=wg=51/2幅值裕度:Kg=-20lg|GK(j51/2)

|=-20lg{10/[51/2(5+1)1/2(5+25)1/2]}=9.54db系統(tǒng)穩(wěn)定。第八十頁，共一百零五頁，2022年，8月28日舉例當(dāng)K=100時(shí)

wC=3.19γ=-23.68°

wg=51/2Kg=-10.46db

系統(tǒng)不穩(wěn)定。第八十一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第五節(jié)開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的關(guān)系開環(huán)傳遞函數(shù)包含了系統(tǒng)中所有元部件,因此系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性對系統(tǒng)閉環(huán)后的動(dòng)態(tài)性能肯定應(yīng)有所表現(xiàn).第八十二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的關(guān)系一.低頻段低頻段----L(W)的近似線在第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率以前的區(qū)段.

這一區(qū)段的特性完全取決于積分環(huán)節(jié)和開環(huán)增益.主要反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度.

設(shè)低頻段對應(yīng)的傳遞函數(shù):G(S)=K/SV

對應(yīng)的對數(shù)頻率特性:20lg︱k/w︱=020lg│G(jw)│=20lgK–V20lgwk=w0(V=0)-20(V=1)-40(V=2)-60(V=3)0K1/3K1/2KwL(w)K第八十三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的關(guān)系20lg│G(jw)│=20lgK–V20lgw斜率=-20Vdb/dec高度由K決定:

將低頻段對數(shù)幅頻的延長線交于0db線,

即20lg(k/wV)=0K=wV或曰交點(diǎn)處的w=K1/V

斜率絕對值越大,對應(yīng)串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)越多,穩(wěn)態(tài)精度越高.

位置越高,開環(huán)增益越大.0(V=0)-20(V=1)-40(V=2)-60(V=3)0K1/3K1/2KwL(w)K第八十四頁，共一百零五頁，2022年，8月28日開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的關(guān)系二.中頻段中頻段----L(W)的近似線在剪切頻率WC附近的區(qū)段.

這一區(qū)段的特性集中反映系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)定性和快速性.1.中頻段有較寬的-20db/dec斜率對應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù):GK(S)≈K/S=Wc/S

對于閉環(huán)傳遞函數(shù):GB(S)=GK(S)/{1+GK(S)]=1/[(1/Wc)S+1]

相當(dāng)于一階系統(tǒng),階躍響應(yīng)無振蕩,有較好的穩(wěn)定性.-20db/decwcw0L(w)近似

實(shí)際第八十五頁，共一百零五頁，2022年，8月28日開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的關(guān)系2.頻段有較寬的-40db/dec斜率對應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù):GK(S)≈K/S2=Wc2

/S2對于閉環(huán)傳遞函數(shù):GB(S)≈Wc2

/(S2

+Wc2

)相當(dāng)于零阻尼的二階系統(tǒng),輸出等幅振蕩.如中頻段的斜率為-40db/dec,則所占頻率區(qū)間不宜過寬,否則σ%及ts將會(huì)顯著增大.中頻段的斜率在-40db/dec以上,則閉環(huán)系統(tǒng)將難以穩(wěn)定.-40db/decwcL(w)0第八十六頁，共一百零五頁，2022年，8月28日開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的關(guān)系三.高頻段高頻段----L(W)在中頻段以后(W＞W(wǎng)c)的區(qū)段.

這一區(qū)段的特性決定了系統(tǒng)的抗干擾能力.遠(yuǎn)離Wc,分貝值較低,對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能影響不大.20lg│G(jw)│﹤﹤0│G(jw)│﹤﹤1

對單位負(fù)反饋系統(tǒng):│GB(jw)│=│GK(jw)│/[1+│GK(jw)│]≈│GK(jw)│

即閉環(huán)幅頻特性約等于開環(huán)幅頻特性．系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性在高頻段的幅值,直接反映了對輸入高頻干擾信號(hào)的抑制能力.分貝值越低,抗干擾能力越強(qiáng).第八十七頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第六節(jié)系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性一.閉環(huán)頻率特性的繪制(一).一般方法GB(S)=GK(S)/[1+GK(S)](單位負(fù)反饋)GK(jw1)=OA=│OA│ejφ

1+GK(jw1)=1+OA=PA=│PA│ejθGB(jw)=GK(jw)/[1+GK(jw)]=OA/PA=[│OA│/│PA│]ej(φ-θ)OAP(-1)(w=w1)φθ第八十八頁，共一百零五頁，2022年，8月28日系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性GB(jw)=[│OA│/│PA│]ej(φ-θ)閉環(huán)頻率特性的幅值等于向量OA與PA幅值之比,相角等于向量OA與PA相角之差.只要分別測出不同頻率處向量的幅值和相角,就可以逐點(diǎn)地畫出閉環(huán)頻率特性曲線.第八十九頁，共一百零五頁，2022年，8月28日(二).等M圓開環(huán)頻率特性:GK(jw)=X(w)+jY(w)閉環(huán)頻率特性:

GK(jw)X+jYGB(jw)=----------=-----------=M(w)eja(w)1+GK(jw)1+X+jY

其中:X2+Y2

M2(w)=-----------(1+X)2+Y2

可改寫為:M2M2Y2+(X+------)2=----------M2-1(M2–1)2第九十頁，共一百零五頁，2022年，8月28日(二).等M圓圓的方程:

圓心:X0=-M2/(M2–1)Y0=0

半徑:r0=M

/(M2–1)

給出不同的M值,便可得到一簇圓(等M圓).第九十一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日(二).等M圓1.當(dāng)M>1時(shí)，M圓的半徑隨著M值的增大而減小，位于負(fù)實(shí)軸上的圓心不斷向（-1，j0）點(diǎn)靠近。M=∞時(shí)，r0=0，x0=-1，最后收斂于(-1,j0)點(diǎn)。2.當(dāng)M=1時(shí)，r0=∞，x0=-∞。故M=1的圓為一個(gè)圓心在無窮遠(yuǎn)處，半徑為∞的圓。它實(shí)際上是一條平行于Y軸的直線.3.當(dāng)M<1時(shí)，隨著M值的減小，M圓的半徑越來越小，其位于正實(shí)軸上的圓心不斷向坐標(biāo)原點(diǎn)靠近。當(dāng)M=0時(shí)，r0=0，x0=0，最后收斂于原點(diǎn)。第九十二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日(三).等M圓的作用

可以事先畫出M為不同值的一族等M圓，制成等M圓圖。(不論對任何不同的系統(tǒng)，其等M圓圖都是相同的)。再在等M圓圖上畫出具體系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線。曲線與各圓交點(diǎn)，表示在這一頻率下所對應(yīng)的M值，亦即為這一頻率所對應(yīng)的閉環(huán)頻率特性的幅值。因此，根據(jù)不同的各個(gè)交點(diǎn)即可繪出閉環(huán)幅頻特性。第九十三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日舉例例:若系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為:10GK(jw)=---------------------------------------jω(0.2jω+1)(0.05jω+1)

求單位反饋后的閉環(huán)幅頻特性。解:

將系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性(Nyquist曲線)畫在等M圓圖上。根據(jù)