第八章 第7節(jié) 第2課時 利用空間向量解決有關空間角的開放問題

第2課時利用空間向量解決有關空間角的開放問題考點一與線面角有關的探索性問題(1)求證：A1D⊥平面BCED；(2)在線段BC上是否存在點P，使直線PA1與平面A1BD所成的角為60°？若存在，求出PB的長；若不存在，請說明理由.(1)證明題圖(1)中，由已知可得：AE＝2，AD＝1，A＝60°.故得AD2＋DE2＝AE2，∴AD⊥DE，BD⊥DE.∴題圖(2)中，A1D⊥DE，BD⊥DE，∴∠A1DB為二面角A1－DE－B的平面角，

又二面角A1－DE－B為直二面角，∴∠A1DB＝90°，即A1D⊥DB，∵DE∩DB＝D且DE，DB?平面BCED，∴A1D⊥平面BCED.(2)解存在.由(1)知ED⊥DB，A1D⊥平面BCED.以D為坐標原點，以射線DB、DE、DA1分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系D－xyz，如圖，過P作PH∥DE交BD于點H，因為ED⊥平面A1BD，因為直線PA1與平面A1BD所成的角為60°，規(guī)律方法

解決此類問題的基本策略是執(zhí)果索因，其結論明確需要求出使結論成立的充分條件，將題設和結論都視為已知條件即可迅速找到切入點，建立方程(組)并解方程(組)，若有解，則存在并求得結論成立的條件，若無解，則不存在.(1)求證：AD⊥PC；(2)試確定點F的位置，使得直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等.(1)證明如圖，在平行四邊形ABCD中，連接AC，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2·AB·BC·cos45°＝4，得AC＝2，所以AC2＋BC2＝AB2，所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.又AD∥BC，所以AD⊥AC，所以AD2＋AP2＝DP2，所以PA⊥AD，又AP∩AC＝A，所以AD⊥平面PAC，所以AD⊥PC.(2)解因為側面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD，所以直線AC，AD，AP兩兩互相垂直，以A為原點，直線AD，AC，AP為坐標軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A－xyz，設平面PDC的法向量為n＝(x，y，z)，令x＝1，得n＝(1，－1，－1).因為直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等，考點二與二面角有關的探索性問題

多維探究角度1已知二面角探求長度(1)求證：平面PBC⊥平面PQB；(2)當PM的長為何值時，平面QMB與平面PDC所成的銳二面角的大小為60°？∴BC∥QD，BC＝QD，∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴BQ∥CD.∵∠ADC＝90°，∴BC⊥BQ.∵PA＝PD，AQ＝QD，∴PQ⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥BC.又∵PQ∩BQ＝Q，∴BC⊥平面PQB.∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PQB.設平面MBQ的法向量為m＝(x，y，z)，設平面PDC的法向量為n＝(x′，y′，z′)，角度2已知二面角探求角度【例2－2】

(2019·河北“五個一”名校聯(lián)考)如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC＝60°，AB＝2BC＝2CD，四邊形DCEF是正方形，N，G分別是線段AB，CE的中點.(1)(一題多解)求證：NG∥平面ADF；(1)證明法一如圖，設DF的中點為M，連接AM，GM，因為四邊形DCEF是正方形，所以MG綉CD，又四邊形ABCD是梯形，且AB＝2CD，AB∥CD，點N是AB的中點，所以AN綉DC，所以MG綉AN，所以四邊形ANGM是平行四邊形，所以NG∥AM.又AM?平面ADF，NG?平面ADF，所以NG∥平面ADF.法二如圖，連接NC，NE，因為N是AB的中點，四邊形ABCD是梯形，AB＝2CD，AB∥CD，所以AN綉CD，所以四邊形ANCD是平行四邊形，所以NC∥AD，因為AD?平面ADF，NC?平面ADF，所以NC∥平面ADF，同理可得NE∥平面ADF，又NC∩NE＝N，所以平面NCE∥平面ADF，因為NG?平面NCE，所以NG∥平面ADF.(2)解設CD的中點為O，EF的中點為P，連接NO，OP，易得NO⊥CD，以點O為原點，以OC所在直線為x軸，以NO所在直線為y軸，以過點O且與平面ABCD垂直的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.因為NO⊥CD，OP⊥CD，所以∠NOP是二面角A－CD－F的平面角，則∠NOP＝θ，所以∠POy＝π－θ，設平面BCE的法向量為n＝(x，y，z)，由圖可知二面角A－BC－E為銳角，規(guī)律方法

1.解決探究性問題的基本方法是假設結論成立或?qū)ο蟠嬖冢缓笤谶@個前提下進行邏輯推理，若能推導出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實，則說明假設成立，即存在，并可進一步證明；否則不成立，即不存在.2.探索線段上是否存在點時，注意三點共線條件的應用.3.利用空間向量的坐標運算，可將空間中的探究性問題轉(zhuǎn)化為方程是否有解的問題進行處理.【訓練2】

(2019·華南師大附中質(zhì)檢)如圖，在五面體ABCDEF中，AB∥CD∥EF，AD⊥CD，∠DCF＝60°，CD＝EF＝CF＝2AB＝2AD＝2，平面CDEF⊥平面ABCD.(1)求證：CE⊥平面ADF；(2)已知P為棱BC上的點，試確定點P的位置，使二面角P－DF－A的大小為60°.(1)證明∵CD∥EF，CD＝EF＝CF，∴四邊形CDEF是菱形，∴CE⊥DF.∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，AD⊥CD，AD?平面ABCD，∴AD⊥平面CDEF，∵CE?平面CDEF，∴AD⊥CE.又∵AD?平面ADF，DF?平面ADF，AD∩DF＝D，∴直線CE⊥平面ADF.(2)解由(1)知四邊形CDEF為菱形，又∵∠DCF＝60°，∴△DEF為正三角形.如圖，取EF的中點G，連接GD，則GD⊥EF.∵EF∥CD，∴GD⊥CD.∵平面CDEF⊥平面ABCD，GD?平面CDEF，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，∴GD⊥平面ABCD.又∵AD⊥CD，∴直線DA，DC，DG兩兩垂直.以D為原點，分別以DA，DC，DG所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖的空間直角坐標系D－xyz.∵CD＝EF＝CF＝2，AB＝AD＝1，設平面PDF的法向量為n＝(x，y，z)，∵二面角P－DF－A的大小為60°，∴P在靠近點B的CB的三等分點處.考點三與空間角有關的最值問題(1)求證：平面BED⊥平面ABCD；(2)若點P在平面ABE內(nèi)運動，且DP∥平面BEC，求直線DP與平面ABE所成角的正弦值的最大值.(1)證明如圖，連接AC，交BD于點O，連接EO，∵AD＝AB，CD＝CB，AC＝AC，∴△ADC≌△ABC，易得△ADO≌△ABO，∴∠AOD＝∠AOB＝90°，∴AC⊥BD.又EC⊥BD，EC∩AC＝C，∴BD⊥平面AEC，又OE?平面AEC，∴OE⊥BD.又底面ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，易得△AEO∽△ACE，∴∠AOE＝∠AEC＝90°，即EO⊥AC.又AC，BD?平面ABCD，AC∩BD＝O，∴EO⊥平面ABCD，又EO?平面BED，∴平面BED⊥平面ABCD.(2)解如圖，取AE的中點M，AB的中點N，連接MN，ND，DM，則MN∥BE，由(1)知，∠DAC＝∠BAC＝30°，即∠DAB＝60°，∴△ABD為正三角形，∴DN⊥AB，又BC⊥AB，∴平面DMN∥平面EBC，∴點P在線段MN上.以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設平面ABE的法向量n＝(x，y，z)，設直線DP與平面ABE所成的角為θ，規(guī)律方法

解決空間角的最值問題一般是把空間角的某個三角函數(shù)值表示為某個變量的函數(shù)，利用這個函數(shù)的單調(diào)性求三角函數(shù)值的最值，求解時需要注意的是函數(shù)中自變量的取值范圍對最值的決定作用. 【訓練3】

(2019·成都診斷)如圖所示，PA⊥平面ADE，B，C分別是AE，DE的中點，AE⊥AD，AD＝AE＝AP＝2.(1)求二面角A－PE－D的余弦值；(2)點Q是線段BP上的動點，當直線CQ與DP所成的角最小時，求線段BQ的長.解(1)因為PA⊥平面ADE，AD?平面ADE，AB?平面ADE，所以PA⊥AD，PA⊥AB，又因為AB⊥AD，所以PA，AD，AB兩兩垂直，因為PA⊥AD，AD⊥AE，AE∩PA＝A，所以AD⊥平面PAE，設平面PED的法向量為m＝(x，y，z).令y＝1，解得z＝1，x＝1.所以m＝(1，1，1)是平面PED的一個法向量，[思維升華]

用向量法解決立體幾何問題，是空間向量的一個具體應用，體現(xiàn)了向量的工具性，這種方法可把復雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運算，降低了空間想象演繹推理的難度，體現(xiàn)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想.[易錯防范]

求出法向量夾角的余弦值后，不清楚二面角的余弦值取正值還是負值，確定二面角余弦值正負有兩種方法： (1)通過觀察二面角是銳角還是鈍角來確定其余弦值的正負； (2)當不易觀察二面角是銳角還是鈍角時可判斷兩半平面的法向量與二面角的位置關系來確定.直觀想象——立體幾何中的動態(tài)問題1.直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng).2.立體幾何中的動態(tài)問題主要包括：空間動點軌跡的判斷，求軌跡的長度及動角的范圍等.3.一般是根據(jù)線、面垂直，線、面平行的判定定理和性質(zhì)定理，結合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡(理科還可以利用空間向量的坐標運算求出動