2023年考研高等數學考前沖刺知識點

第頁共頁2023年考研高等數學考前沖刺知識點2023年考研高等數學考前沖刺知識點冪級數的?？碱}型：現對冪級數的?？碱}型做如下整理：展開求和主要包括三種形式：1、系數為有理函數；2、系數中含有階乘；3、抽象型級數。其中出題頻次相對較高的是第一種。接下來我們就以往年考研試題為例，學習冪級數的根本解題思想：淺析利用極坐標計算二重積分：極值點、拐點求解技巧：通過對歷年考研考試題目的研究，基此題目均是導函數圖形，斷定函數的極值點與拐點個數。結合極值點的求解過程，我們可以總結出圖形題的解題思路：〔1〕找駐點及不可導點。即y’圖像中與x軸的交點，以及圖像中的無定義點?！?〕再用第一充分斷定。即斷定某點左右兩側y’的正負，假設異號，那么為極值點。同理，假設求解拐點，〔1〕找y’’=0的點及二階不可導點。即y’圖像中切線程度的點，以及圖像中的無定義點與不可導點。〔2〕再用第一充分斷定。即斷定某點左右兩側y’的單調性，假設相反，那么為拐點。高數考點變化及重難點分析^p：一、極限的概念、性質及計算重點：〔1〕函數極限的計算：七種未定式的計算，四那么運算、等價無窮小交換、洛必達法那么、泰勒公式、對數恒等式、單側極限等方法的使用；〔2〕數列極限的計算：直接計算、夾逼準那么、定積分定義、單調有界收斂準那么。難點：〔1〕數列極限中利用夾逼準那么和定積分定義求和式極限；利用單調有界收斂準那么證明數列極限存在；〔2〕極限性質和收斂性的討論。二、極限的應用重點：〔1〕連續(xù)的定義和判斷連續(xù)點；〔2〕求曲線的程度、鉛直和斜漸近線；〔3〕導數的定義與微分〔4〕討論多元函數的極限、連續(xù)性、偏導性和可微性及其互相關系。難點：分段函數和抽象函數可導性的討論；多元函數可微性的判斷。三、導數的計算重點：〔1〕一元函數導數的計算：初等函數〔含冪指函數〕、變限積分、隱函數、參數方程〔數一、數二〕、抽象函數、高階導數等導數的計算；〔2〕多元函數導數的計算：復合函數和隱函數求偏導數，全微分的計算。難點：變限積分求導、高階導數計算、多元函數中抽象復合函數的偏導數計算。四、導數的應用重點：〔1〕一元函數微分學的應用：1〕幾何應用：平面曲線的切線和法線；曲率和曲率半徑的計算，理解曲率圓〔數一數二〕；2〕物理應用〔數一和數二〕：變化率；3〕經濟學應用〔數三〕：邊際和彈性的概念、計算和經濟學意義；4〕單調性和凹凸性：利用導數判斷函數的單調性和凹凸性；理解凹凸性的幾何意義；5〕極值和拐點：利用導數判斷函數的極值點和拐點，掌握判斷的必要條件和充分條件；理解極值點和拐點的關系；6〕最值：利用導數求解函數的最大值和最小值，最值在相關實際問題中應用?！?〕多元函數微分學的應用：1〕多元函數極值：利用必要條件和充分條件求二元函數的極值；用拉格朗日乘數法求條件極值；求簡單多元函數的最大值和最小值；2〕空間解析幾何中的應用〔數一〕：空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線；3〕方向導數和梯度〔數一〕：計算方向導數和梯度，理解二者之間的關系。難點：導數的物理應用；凹凸性的幾何意義；條件極值的計算。五、積分的計算重點：〔1〕不定積分：掌握兩類換元法和分部積分法；會求有理函數、三角有理式、指數有理式、根式等不定積分；〔2〕定積分：理解定積分的定義，掌握比擬定理和積分中值定理；利用牛頓萊布尼茨公式計算各種不同形式的定積分：初等函數、分段函數、對稱區(qū)間、抽象函數、遞推公式等；〔3〕二重積分：利用直角坐標和極坐標計算二重積分。難點：反常積分的計算和收斂性的判別；二重積分中值定理的使用。六、積分的應用重點：幾何應用平面圖形的面積；旋轉體的體積；平面曲線的弧長〔數一數二〕；旋轉曲面的面積〔數一數二〕。難點：〔1〕微元法的根本思想和局部公式的理解和記憶；〔2〕物理應用〔數一數二〕：計算質量、質心、形心、變力做工、靜壓力、轉動慣量等。七、常微分方程重點：〔1〕解方程：可別離變量的微分方程、齊次方程、一階線性微分方程、二階〔高階〕常系數線性微分方程、可降階的微分方程〔數一數二〕；〔2〕理解線性微分方程解的性質及解的構造；〔3〕微分方程的應用：利用微分學和積分學知識列出微分方程并求解。難點：〔1〕求解伯努利方程和歐拉方程〔數一〕；〔2〕利用物理知識列方程〔數一數二〕。八、不等式、中值定理與零點問題〔證明推理局部〕重點：〔1〕不等式證明：利用單調性凹凸性證明不等式；〔2〕中值定理：利用羅爾定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理、柯西中值定理證明相關結論；〔3〕零點問題：利用單調性、零點定理和羅爾定理等判斷函數零點問題。難點：定理的理解及其使用范圍、輔助函數的構造，泰勒中值定理的使用。九、無窮級數〔數一數三〕重點：〔1〕常數項級數：利用級數收斂的性質和比擬判別法、根值比值判別法判斷正項級數的斂散性，用萊布尼茨判別法判斷交織級數的斂散性；〔2〕冪級數：計算級數的收斂半徑和收斂域；求冪級數的和函數；將函數展開成冪級數。難點：抽象級數斂散性的證明；抽象級數和函數的求解；傅里葉級數的計算和狄利克雷收斂定理。十、多元函數積分學〔數一〕重點：〔1〕利用直角坐標和求坐標計算三重積分；〔2〕會利用直接帶入法〔化為定積分〕計算第一類曲線積分；〔3〕會利用直接代入法〔化為定積分〕直接計算第二類曲線積分，利用格力公式計算第二類曲線積分；利用斯托克斯公式計算三維的第二類曲線積分；掌握曲線積分與途徑無關的條件，求二元函數全微分的原函