清華大學(xué)彈性力學(xué)馮西橋FXQ-Chapter-06微分提法-A

清華大學(xué)彈性力學(xué)馮西橋FXQ-Chapter-06微分提法-A第一頁，共86頁。彈性理論的微分提法

彈性力學(xué)問題的微分提法位移解法應(yīng)力解法應(yīng)力函數(shù)解法疊加原理解的唯一性定理圣維南原理Chapter6第二頁，共86頁。微分提法Chapter6.1

在前面幾章中已經(jīng)建立了一系列的彈性力學(xué)基本方程，即平衡微分方程、幾何方程和應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。但在解決具體問題時(shí)，還必須給定邊界條件。本章中，將比較系統(tǒng)地闡明彈性力學(xué)問題的建立及其基本解法和一般原理。先將得到的基本方程綜合如下：第三頁，共86頁。微分提法Chapter6.1平衡方程(Navier)：幾何方程(Cauchy)：應(yīng)變協(xié)調(diào)方程：

(Saint-Venant)

本構(gòu)方程：(1)應(yīng)變－應(yīng)力公式：(Hooke)

(2)應(yīng)力－應(yīng)變公式：(Lamé)

第四頁，共86頁。微分提法Chapter6.1當(dāng)選位移作基本量時(shí)只需考慮幾何方程，協(xié)調(diào)方程將自動(dòng)滿足；當(dāng)選應(yīng)變作基本量時(shí)，只需滿足協(xié)調(diào)方程，就能保證由幾何方程積分出單值連續(xù)的位移場來。兩個(gè)本構(gòu)方程也是等價(jià)的，于是有兩組基本方程組：第五頁，共86頁。第一組基本未知量：ij(6),ij

(6),ui(3)

平衡方程： (3)幾何方程： (6)應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系： (6)微分提法Chapter6.1第六頁，共86頁。第二組基本未知量：ij(6),ij

(6)

平衡方程： (3)協(xié)調(diào)方程： (6-3)應(yīng)變－應(yīng)力關(guān)系： (6)微分提法Chapter6.1第七頁，共86頁。微分提法Chapter6.1邊界條件：第八頁，共86頁。微分提法Chapter6.1彈性理論中常見的三種邊界條件：處處給定外部作用力的力邊界條件S。邊界條件為：域內(nèi)應(yīng)力場的邊界值應(yīng)滿足柯西公式不能消除剛體位移要滿足整體平衡條件。第九頁，共86頁。微分提法Chapter6.1分量形式為：當(dāng)時(shí)稱為自由表面，是力邊界的特殊情況。集中力化為作用在微小面積上的均布表面力。集中力矩則化為非均布表面力。第十頁，共86頁。微分提法Chapter6.1處處給定位移約束的位移邊界Su。域內(nèi)位移場的邊界值應(yīng)等于給定邊界值：

有時(shí)也可指定邊界位移的導(dǎo)數(shù)值(例如，轉(zhuǎn)角為零)或應(yīng)變值。在靜力學(xué)問題中，所給的位移應(yīng)足以防止物體的剛體運(yùn)動(dòng)。第十一頁，共86頁。微分提法Chapter6.1在部分邊界S上給定外力，部分邊界Su上給定位移的混合邊界S。這時(shí)要求

對(duì)于彈性動(dòng)力學(xué)問題，還應(yīng)給定初始條件。第十二頁，共86頁。4.混合型邊界條件在邊界同一位置，給定部分位移分量和部分面力分量。51chapter3.6微分提法5.彈簧類邊界條件第十三頁，共86頁。6.對(duì)稱和反對(duì)稱條件51chapter3.6微分提法對(duì)稱載荷：在對(duì)稱面上，所有對(duì)稱場變量的一階導(dǎo)數(shù)等于零，所有反對(duì)稱場變量的值等于零。反對(duì)稱載荷：在對(duì)稱面上，所有反對(duì)稱場變量的一階導(dǎo)數(shù)等于零，所有對(duì)稱場變量的值等于零。第十四頁，共86頁。56chapter3.6微分提法6.對(duì)稱和反對(duì)稱條件第十五頁，共86頁。微分提法Chapter6.1彈性力學(xué)問題微分提法的基本思想：從研究彈性體內(nèi)的微元入手，導(dǎo)出描述微元靜力平衡、變形幾何及彈性關(guān)系的一組基本方程，加上相應(yīng)的邊界條件把彈性力學(xué)問題歸結(jié)為求解偏微分方程組的邊值問題。第十六頁，共86頁。微分提法Chapter6.1根據(jù)所研究的彈性體的受力或約束(表面位移)情況的不同，可將彈性力學(xué)問題分為以下三類：已知所研究物體內(nèi)部的體積力及作用在物體上全部表面上的外力。即已知表面力邊界條件求物體內(nèi)部的應(yīng)力分布及位移的問題。已知物體內(nèi)部的體積力及全部表面上的位移。即已知位移邊界條件求物體內(nèi)部的應(yīng)力分布及位移的問題。第十七頁，共86頁。微分提法Chapter6.1已知物體內(nèi)部體積力及一部分表面上的外力和其余表面上的位移。即已知混合邊界條件求物體內(nèi)部的應(yīng)力分布和位移的問題。第十八頁，共86頁。微分提法Chapter6.1從求解的未知量方面考慮，可分為如下四類：位移為基本未知量應(yīng)變?yōu)榛疚粗繎?yīng)力（應(yīng)力函數(shù)）為基本未知量混合未知量第十九頁，共86頁。微分提法、解法

及一般原理彈性力學(xué)問題的微分提法位移解法應(yīng)力解法應(yīng)力函數(shù)解法疊加原理解的唯一性定理圣維南原理Chapter6第二十頁，共86頁。位移解法Chapter6.2位移解法是以位移分量ui作基本未知量的解法。即以位移分量的三個(gè)未知函數(shù)作為基本未知函數(shù)。這三個(gè)位移分量所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力在物體內(nèi)部應(yīng)滿足平衡微分方程。現(xiàn)經(jīng)過下述步驟將平衡微分方程中的應(yīng)力改用位移表示，從而得出用位移表示的平衡微分方程式。第二十一頁，共86頁。位移解法Chapter6.2用位移表示的平衡方程（Lamé-Navier方程）幾何方程本構(gòu)關(guān)系平衡方程第二十二頁，共86頁。位移解法Chapter6.2具體推導(dǎo)如下：先將幾何關(guān)系代入廣義虎克定律，可得式中第二十三頁，共86頁。位移解法Chapter6.2第二十四頁，共86頁。位移解法Chapter6.2代入第一個(gè)以位移表示的平衡微分方程

第二十五頁，共86頁。位移解法Chapter6.2同樣可得其余兩個(gè)方程，即式中第二十六頁，共86頁。位移解法Chapter6.2上式實(shí)質(zhì)上是位移形式的平衡方程式，這就是位移法的基本方程式。綜上指標(biāo)形式第二十七頁，共86頁。位移解法Chapter6.2邊界條件若給定的是位移邊界條件，則直接用位移表示，即若給定的是表面力的邊界條件，則可將其表面力以位移表示(以x方向?yàn)槔?，第二十八頁，共86頁。位移解法Chapter6.2代入第二十九頁，共86頁。位移解法Chapter6.2用位移表示的外力邊界條件：第三十頁，共86頁。位移解法Chapter6.2微分方程的解：齊次方程通解＋特解（易得）齊次的Lamé-Navier方程(即fi＝0的無體力情況)：將齊次方程對(duì)xi求導(dǎo)，并對(duì)指標(biāo)i迭加后得而第三十一頁，共86頁。位移解法Chapter6.2是非零常數(shù)，故第一應(yīng)變不變量應(yīng)滿足調(diào)和方程其中稱為調(diào)和算子或拉普拉斯算子。第三十二頁，共86頁。根據(jù)，其中K為常數(shù)。故第一應(yīng)力不變量(或平均正應(yīng)力)也滿足調(diào)和方程：上式作調(diào)和運(yùn)算得：位移解法Chapter6.2即即第三十三頁，共86頁。位移解法Chapter6.2由連續(xù)性條件及式(1)式得∵又∴其中稱為重調(diào)和算子。上式說明位移分量ui應(yīng)滿足重調(diào)和方程。

第三十四頁，共86頁。位移解法Chapter6.2連續(xù)性條件

代入于是說明應(yīng)力及應(yīng)變分量也都滿足重調(diào)和方程。第三十五頁，共86頁。位移解法Chapter6.2

彈性力學(xué)問題解的性質(zhì)調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)（見下冊p43）調(diào)和函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)均為調(diào)和函數(shù)若為調(diào)和函數(shù)，則也是調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)和雙調(diào)和函數(shù)的關(guān)系若為調(diào)和函數(shù)，則也是雙調(diào)和函數(shù)若為調(diào)和函數(shù)，則是雙調(diào)和函數(shù)若為調(diào)和函數(shù)，則是雙調(diào)和函數(shù)第三十六頁，共86頁。位移解法Chapter6.2綜上所述，在無體力情況下，第一應(yīng)變不變量、第一應(yīng)力不變量和平均正應(yīng)力0都是調(diào)和函數(shù)。位移分量ui，應(yīng)變分量ij和應(yīng)力分量ij都是重調(diào)和函數(shù)。于是彈性力學(xué)的無體力問題在數(shù)學(xué)上歸結(jié)為調(diào)和方程和重調(diào)和方程的邊值問題。對(duì)于常體力情況fi＝const，不難驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論同樣適用。對(duì)于變體力情況，可先找一個(gè)特解(不必滿足邊界條件)，然后與上述齊次解迭加，使全解滿足全部邊界條件。第三十七頁，共86頁。微分提法、解法

及一般原理彈性力學(xué)問題的微分提法

位移解法

應(yīng)力解法應(yīng)力函數(shù)解法疊加原理解的唯一性定理圣維南原理Chapter6第三十八頁，共86頁。應(yīng)力解法Chapter6.3 平衡方程： (3) 協(xié)調(diào)方程： (6-3) 應(yīng)變－應(yīng)力關(guān)系：

(6)應(yīng)力解法是以應(yīng)力分量作基本未知量的解法。第三十九頁，共86頁。應(yīng)力解法Chapter6.3Beltrami-Michell方程：本構(gòu)關(guān)系代入?yún)f(xié)調(diào)方程利用平衡方程思路：消掉其余基本量，僅用應(yīng)力表示：這就是應(yīng)力解法的定解方程，稱為應(yīng)力協(xié)調(diào)方程或貝爾脫拉密-密乞爾方程，簡稱B-M方程，共含六個(gè)二階橢圓方程。E.Beltrami(1835-1900)第四十頁，共86頁。應(yīng)力解法Chapter6.3分量形式第四十一頁，共86頁。應(yīng)力解法Chapter6.3

前面曾指出，六個(gè)應(yīng)變協(xié)調(diào)方程并不完全獨(dú)立，不能由它們獨(dú)立解出六個(gè)應(yīng)變分量。以此類推，六個(gè)應(yīng)力協(xié)調(diào)方程也不可能完全獨(dú)立，所以用應(yīng)力解法解題時(shí)通常要求在域內(nèi)同時(shí)滿足六個(gè)B-M方程和三個(gè)平衡方程，且在邊界上滿足三個(gè)力邊界條件。對(duì)于全部邊界給定外力的邊值問題，應(yīng)力解法可以避開幾何關(guān)系直接解出工程中關(guān)心的應(yīng)力分量。但應(yīng)力解法處理位移邊界條件相當(dāng)困難。應(yīng)力解法涉及六個(gè)二階B-M方程，三個(gè)一階平衡方程和三個(gè)力邊界條件，對(duì)于幾何形狀或載荷分布較復(fù)雜的問題求解比較困難。第四十二頁，共86頁。應(yīng)力解法Chapter6.3對(duì)于動(dòng)力學(xué)問題，應(yīng)把慣性力納入體力項(xiàng)，B-M方程中的fi,j應(yīng)改為∵∴于是應(yīng)變協(xié)調(diào)方程變?yōu)椋旱谒氖摚?6頁。應(yīng)力解法Chapter6.3最后提一下以應(yīng)變分量ij作基本未知量的應(yīng)變解法。由于應(yīng)力與應(yīng)變間的虎克定律是代數(shù)方程，應(yīng)變解法的求解難度不會(huì)比應(yīng)力解法有實(shí)質(zhì)性的改善，而邊界條件用應(yīng)力表示則方便得多，所以很少采用應(yīng)變解法。第四十四頁，共86頁。微分提法、解法

及一般原理彈性力學(xué)問題的微分提法

位移解法應(yīng)力解法應(yīng)力函數(shù)解法疊加原理解的唯一性定理圣維南原理Chapter6第四十五頁，共86頁。應(yīng)力函數(shù)解法Chapter6.4在位移解法中，引進(jìn)三個(gè)單值連續(xù)的位移函數(shù)，使協(xié)調(diào)方程自動(dòng)滿足，問題被歸結(jié)為求解三個(gè)用位移表示的平衡方程。應(yīng)變分量可由位移偏導(dǎo)數(shù)的組合來確定。與此類似，在應(yīng)力解法中也可以引進(jìn)某些自動(dòng)滿足平衡方程的函數(shù)，稱為應(yīng)力函數(shù)，把問題歸結(jié)為求解用應(yīng)力函數(shù)表示的協(xié)調(diào)方程。應(yīng)力分量可由應(yīng)力函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的組合來確定。第四十六頁，共86頁。應(yīng)力函數(shù)解法Chapter6.4應(yīng)力解法比較復(fù)雜與應(yīng)力解法相比，此方法獨(dú)立的應(yīng)力分量只有3個(gè)事先滿足幾何方程，只需滿足平衡方程：事先滿足平衡方程，只需滿足協(xié)調(diào)方程：幾何方程本構(gòu)方程滿足平衡方程（3個(gè)）？方程滿足應(yīng)力協(xié)調(diào)方程（3個(gè)）滿足平衡方程的第四十七頁，共86頁。Bianchi恒等式：無體力平衡方程：引進(jìn)Beltrami應(yīng)力函數(shù)張量：應(yīng)力函數(shù)解法Chapter6.4可見兩者形式上相似。只有3個(gè)獨(dú)立分量定義應(yīng)力分量：第四十八頁，共86頁。應(yīng)力函數(shù)解法Chapter6.4通過定義上述應(yīng)力分量，可驗(yàn)證平衡方程將自動(dòng)滿足。上式便是用應(yīng)力函數(shù)mn表示的應(yīng)力公式。將上式代入應(yīng)力協(xié)調(diào)方程，并考慮無體力情況得：這是應(yīng)力函數(shù)解法的定解方程，稱為應(yīng)力函數(shù)協(xié)調(diào)方程。第四十九頁，共86頁。應(yīng)力函數(shù)解法Chapter6.4對(duì)于三維彈性力學(xué)問題，可選mn六個(gè)分量中的三個(gè)作為應(yīng)力函數(shù)，共有17種選擇方案，其中最常用的是：

Maxwell應(yīng)力函數(shù)：第五十頁，共86頁。應(yīng)力函數(shù)解法Chapter6.4對(duì)協(xié)調(diào)方程作如下替換：于是可以寫出用麥克斯韋應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力公式：第五十一頁，共86頁。應(yīng)力函數(shù)解法Chapter6.4分量形式第五十二頁，共86頁。應(yīng)力函數(shù)解法Chapter6.4

Morera應(yīng)力函數(shù)：對(duì)協(xié)調(diào)方程作如下替換：第五十三頁，共86頁。應(yīng)力函數(shù)解法Chapter6.4用莫雷拉(Morera)應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力公式：第五十四頁，共86頁。應(yīng)力函數(shù)解法Chapter6.4分量形式第五十五頁，共86頁。則就是平面問題中的艾瑞(Airy,G.B.)應(yīng)力函數(shù)。若令莫雷拉應(yīng)力函數(shù)為則(x,y)就是柱形桿扭轉(zhuǎn)問題中的普朗特應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)解法Chapter6.4對(duì)于二維彈性力學(xué)問題，可進(jìn)一步簡化。若令麥克斯韋應(yīng)力函數(shù)為第五十六頁，共86頁。應(yīng)力函數(shù)解法Chapter6.4綜上所述，應(yīng)力函數(shù)解法既保留了應(yīng)力解法的優(yōu)點(diǎn)(能直接求解應(yīng)力分量)，又吸收了位移解法的思想(能自動(dòng)滿足平衡方程，基本未知量降為3個(gè))，所以是彈性理論中最常用的解法之一。第五十七頁，共86頁。位移應(yīng)力應(yīng)變幾何方程本構(gòu)方程應(yīng)力公式應(yīng)力函數(shù)協(xié)調(diào)方程平衡方程紅線：位移解法藍(lán)線：應(yīng)力函數(shù)解法Chapter6.4

位移解法與應(yīng)力函數(shù)解法的求解思路

圈表示物理量，框表示關(guān)系式，雙框表示最后導(dǎo)出的定解方程，實(shí)箭頭表示推導(dǎo)過程，虛箭頭表示自動(dòng)滿足。第五十八頁，共86頁。應(yīng)力函數(shù)解法Chapter6.4幾何方程本構(gòu)方程平衡方程滿足應(yīng)力公式積分（位移單值條件）協(xié)調(diào)方程滿足解出解出自動(dòng)滿足自動(dòng)滿足第五十九頁，共86頁。微分提法、解法

及一般原理彈性力學(xué)問題的微分提法

位移解法應(yīng)力解法

應(yīng)力函數(shù)解法

疊加原理解的唯一性定理圣維南原理Chapter6第六十頁，共86頁。疊加原理Chapter6.5描述作用在物體上的兩組外力(包括表面力和體積力)的總和在物體內(nèi)部所產(chǎn)生的效果(應(yīng)力、應(yīng)變及位移等)，等于此兩組外力分別作用效果的總和?；蛘哒f物體受兩組載荷共同作用時(shí)的應(yīng)力或位移場就等于每組載荷單獨(dú)作用時(shí)的應(yīng)力或位移場之和，且與加載順序無關(guān)。第六十一頁，共86頁。疊加原理Chapter6.5設(shè)第一組載荷為體力和面力，第二組為體力和面力，它們引起的應(yīng)力和位移場分別為和及和，且僅考慮線彈性小變形情況，則聯(lián)合載載引起的應(yīng)力和位移場為具體闡述為：第六十二頁，共86頁。疊加原理Chapter6.5下面以應(yīng)力解法為基礎(chǔ)證明疊加原理的正確性：將疊加后的載荷代入應(yīng)力解法各個(gè)方程后有：代入平衡方程應(yīng)力協(xié)調(diào)方程

力邊界條件第六十三頁，共86頁。疊加原理Chapter6.5由于上述各式是線性微分方程或是代數(shù)方程，根據(jù)線性方程的性質(zhì)將上述各式改寫成：第六十四頁，共86頁。由前提假設(shè)，和分別是載荷和單獨(dú)作用時(shí)的解，根據(jù)它們滿足的平衡方程，B-M方程和力邊界條件可直接判斷上述各式的等號(hào)是成立的。因而證明了疊加后的應(yīng)力場能滿足應(yīng)力解法的全部方程和邊界條件，由此疊加原理得證。同理可以類似證明位移疊加原理的正確性。疊加原理Chapter6.5第六十五頁，共86頁。疊加原理Chapter6.5小結(jié)疊加原理用于位移邊界條件時(shí)要求總位移滿足給定的邊界條件，而和單獨(dú)不一定要滿足位移邊界條件。對(duì)于大變形情況，幾何方程將出現(xiàn)非線性項(xiàng)，平衡方程也受到變形的影響，因?yàn)榀B加原理不再適用。例如：同時(shí)受軸向和橫向力的梁的縱橫彎曲問題，薄壁構(gòu)件的彈性穩(wěn)定性問題，板殼結(jié)構(gòu)的大撓度問題。第六十六頁，共86頁。疊加原理Chapter6.5對(duì)于非線性彈性材料或彈塑性材料，本構(gòu)方程是非線性的；對(duì)于載荷隨變形而變化的非保守力系情況或邊界用非線性彈簧支撐的約束情況，邊界條件是非線性的；疊加原理對(duì)這些情況都將失效。第六十七頁，共86頁。微分提法、解法

及一般原理彈性力學(xué)問題的微分提法

位移解法應(yīng)力解法

應(yīng)力函數(shù)解法疊加原理

解的唯一性定理圣維南原理Chapter6第六十八頁，共86頁。解的唯一性定理Chapter6.6無初應(yīng)力的線彈性問題的解是唯一的給“試湊”解法提供了理論基礎(chǔ)第六十九頁，共86頁。解的唯一性定理Chapter6.6下面給出定理的證明（反證法）：先假設(shè)存在兩種不同的解，它們的位移場和應(yīng)力場及都滿足基本微分方程和給定邊界條件。然后證明，對(duì)線性彈性問題兩解之差必為零，因而只能有唯一解。第七十頁，共86頁。解的唯一性定理Chapter6.6由前提假設(shè)，及是同一物體在同一載荷及相同邊界條件下的兩個(gè)解，它們都滿足平衡方程力邊界條件位移邊界條件(在V內(nèi))

(在S上)

(在Su上)第七十一頁，共86頁。解的唯一性定理Chapter6.6

把以上左右兩式對(duì)應(yīng)相減，由疊加原理可知，兩解之差必然滿足無體力平衡方程和齊次邊界條件第七十二頁，共86頁。解的唯一性定理Chapter6.6將(1)式兩邊乘ui，對(duì)體積V積分，并利用高斯公式得

其中第一項(xiàng)面積分的積分域?yàn)镾=S+Su,根據(jù)(2)和(3)式，被積函數(shù)在邊界上總有一個(gè)因子ui或ijj為零，所以第一項(xiàng)等于零。再利用ij的對(duì)稱性和線彈性應(yīng)變能公式，上式可化為第七十三頁，共86頁。解的唯一性定理Chapter6.6

對(duì)于線彈性問題應(yīng)變能處處正定，故上式要求W=0，即兩解之差是ij＝0和ij＝0的無變形狀態(tài)，因而

于是證明了應(yīng)力場和應(yīng)變場的解是唯一的。第七十四頁，共86頁。解的唯一性定理Chapter6.6小結(jié)一般說，位移場和之間還可能差一個(gè)剛體位移，但是絕大多數(shù)彈性力學(xué)問題都給定足以限制剛體運(yùn)動(dòng)的位移約束條件，因而位移場的解也是唯一的。以上證明的前提是疊加原理、應(yīng)變能正定性和應(yīng)力張量對(duì)稱性。線彈性理論能自動(dòng)滿足這些條件，因?yàn)榫€彈性問題的解是唯一的。無論用什么方法求得的解，只要能滿足全部基本方程和邊界條件，就一定是問題的真解。第七十五頁，共86頁。解的唯一性定理Chapter6.6