拉格朗日插值

拉格朗日插值主要知識(shí)點(diǎn)插值的基本概念，插值多項(xiàng)式的存在唯一性；Lagrange插值(含線性插值、拋物插值、n次Lagrange插值公式）；插值余項(xiàng)；插值方法：（1）解方程組、（2）基函數(shù)法。插值問(wèn)題描述設(shè)已知某個(gè)函數(shù)關(guān)系在某些離散點(diǎn)上的函數(shù)值：插值問(wèn)題：根據(jù)這些已知數(shù)據(jù)來(lái)構(gòu)造函數(shù)的一種簡(jiǎn)單的近似表達(dá)式,以便于計(jì)算點(diǎn)的函數(shù)值，或計(jì)算函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)值。3多項(xiàng)式插值定義

在眾多函數(shù)中,多項(xiàng)式最簡(jiǎn)單、最易計(jì)算，已知函數(shù)個(gè)互不相同的點(diǎn)處的函數(shù)值，為求的近似式，自然應(yīng)當(dāng)選次多項(xiàng)式使

滿足條件插值的幾何意義插值多項(xiàng)式的幾何意義插值唯一性定理定理：(唯一性)滿足的n

階插值多項(xiàng)式是唯一存在的。存在唯一性定理證明設(shè)所要構(gòu)造的插值多項(xiàng)式為：由插值條件得到如下線性代數(shù)方程組：存在唯一性定理證明(續(xù))此方程組的系數(shù)行列式為范得蒙行列式！當(dāng)

時(shí)，

D

0，因此，Pn(x)由a0,a1,…,an唯一確定。插值方法一、解方程組法：類似插值唯一性定理證明過(guò)程，先設(shè)插值多項(xiàng)式函數(shù)為，將個(gè)節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值代入多項(xiàng)式里，便得到個(gè)等式，得到一個(gè)關(guān)于多項(xiàng)式里系數(shù)的線性方程組，解此線性方程組，便得到所要求的插值多項(xiàng)式。二、基函數(shù)法：一種既能避免解方程組，又能適合于計(jì)算機(jī)求解的方法，下面將具體介紹。拉格朗日插值公式拉格朗日（Lagrange）插值公式的基本思想是，把pn(x)的構(gòu)造問(wèn)題轉(zhuǎn)化為n+1個(gè)插值基函數(shù)li(x)(i=0,1,…,n)的構(gòu)造。線性插值函數(shù)x0x1(x0，y0)(x1，y1)P1(x)f(x)可見(jiàn)是過(guò)和兩點(diǎn)的直線。拋物插值函數(shù)x0x1x2p2(x)f(x)f(x)因過(guò)三點(diǎn)的二次曲線為拋物線，故稱為拋物插值。N次插值函數(shù)要求：無(wú)重合節(jié)點(diǎn)，即設(shè)連續(xù)函數(shù)

在[a,b]上對(duì)給定n+1個(gè)不同結(jié)點(diǎn)：分別取函數(shù)值其中試構(gòu)造一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的插值多項(xiàng)式使之滿足條件

i=0,1,2,…,n一次Lagrange插值多項(xiàng)式(1)

已知函數(shù)在點(diǎn)上的值為，要求多項(xiàng)式，使，。其幾何意義，就是通過(guò)兩點(diǎn)的一條直線，如圖所示。一次Lagrange插值多項(xiàng)式(2)一次插值多項(xiàng)式

一次Lagrange插值多項(xiàng)式(3)由直線兩點(diǎn)式可知，通過(guò)A，B的直線方程為

它也可變形為

顯然有：一次Lagrange插值多項(xiàng)式(4)記可以看出的線性組合得到，其系數(shù)分別為，稱為節(jié)點(diǎn),的線性插值基函數(shù)一次Lagrange插值多項(xiàng)式(5)線性插值基函數(shù)滿足下述條件1001并且他們都是一次函數(shù)。注意他們的特點(diǎn)對(duì)下面的推廣很重要一次Lagrange插值多項(xiàng)式(6)我們稱

為點(diǎn)

的一次插值基函數(shù)，

為點(diǎn)

的一次插值基函數(shù)。它們?cè)趯?duì)應(yīng)的插值點(diǎn)上取值為1，而在另外的插值點(diǎn)上取值為0。插值函數(shù)

是這兩個(gè)插值基函數(shù)的線性組合，其組合系數(shù)就是對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的函數(shù)值。這種形式的插值稱作為拉格朗日（Lagrange）插值。二次Lagrange插值多項(xiàng)式1

線性插值只利用兩對(duì)值及求得的近似值，誤差較大。

p2(x)是x的二次函數(shù)，稱為二次插值多項(xiàng)式。通過(guò)三點(diǎn)的插值問(wèn)題稱為二次插值或拋物插值。二次Lagrange插值多項(xiàng)式2以過(guò)節(jié)點(diǎn)的二次函數(shù)為插值函數(shù)。用基函數(shù)的方法獲得其中設(shè)被插函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為N次插值函數(shù)1我們看到，兩個(gè)插值點(diǎn)可求出一次插值多項(xiàng)式，而三個(gè)插值點(diǎn)可求出二次插值多項(xiàng)式。當(dāng)插值點(diǎn)增加到n+1個(gè)時(shí)，我們可以利用Lagrange插值方法寫出n次插值多項(xiàng)式，如下所示：N次插值多項(xiàng)式問(wèn)題2已知n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值求一個(gè)n次插值函數(shù)滿足N次插值多項(xiàng)式3構(gòu)造各個(gè)插值節(jié)點(diǎn)上的基函數(shù)滿足如下條件100001000001N次插值多項(xiàng)式4求n次多項(xiàng)式，

k=0,1,…,n則

i=0,1,2,…,n即

滿足插值條件根據(jù)

的表達(dá)式，以外所有的結(jié)點(diǎn)都是

的根，N次插值多項(xiàng)式5又由

，得：

因此令N次插值多項(xiàng)式6從而得n階拉格朗日（Lagrange）插值公式：N次插值多項(xiàng)式7在[a,b]內(nèi)存在,考察截?cái)嗾`差設(shè)節(jié)點(diǎn)，且f

滿足條件,

存在使得。且推廣：若使得使得羅爾定理:若在［］連續(xù)，在充分光滑，N次插值多項(xiàng)式8注：

通常不能確定x

,而是估計(jì),x(a,b)

將作為誤差估計(jì)上限。

當(dāng)

f(x)為任一個(gè)次數(shù)n

的多項(xiàng)式時(shí)，,可知，即插值多項(xiàng)式對(duì)于次數(shù)n的多項(xiàng)式是精確的。例題分析1例：已知特殊角處的正弦函數(shù)值分