考研高數(shù)總復(fù)習(xí)第九章歐幾里得空間第一節(jié)(講義)

在線性空間中，向量之間的基本運算只有加法與數(shù)量乘法，統(tǒng)稱為線性運算.如果我們以幾何空間中的向量作為線性空間理論的一個具體模型，那么就會發(fā)現(xiàn)向量的度量性質(zhì)，如長度、夾角等，在線性空間的理論中沒有得到反映.但是向量的度量性質(zhì)在許多問題中(其中包括幾何問題)有著特殊的地位，因此有必要引入度量的概念.第一頁，共29頁。解析幾何中我們看到，向量的長度與夾角等度量性質(zhì)都可以通過向量的內(nèi)積來表示，而且向量的內(nèi)積有明顯的代數(shù)性質(zhì)，所以在抽象的討論中，我們?nèi)?nèi)積作為基本概念.第二頁，共29頁。一、內(nèi)積1.定義定義1

設(shè)V

是實數(shù)域R上一線性空間，在V

上定義了一個二元實函數(shù)，稱為內(nèi)積，記作(,)，它具有以下性質(zhì)：1)

(,)=

(

,

)；2)

(k,)=

k(

,)；3)

(+,)=

(

,

)+(

,

)；4)

(,

)0，當(dāng)且僅當(dāng)

=0時(,

)=0.第三頁，共29頁。這里

,,

是V

中任意的向量，k

是任意實數(shù)，這樣的線性空間V

稱為歐幾里得空間.在歐幾里得空間的定義中，對它作為線性空間的維數(shù)并無要求，可以是有限維的，也可以是無限維的.幾何空間中向量的內(nèi)積顯然適合定義中列舉的性質(zhì)，所以幾何空間中向量的全體構(gòu)成一個歐幾里得空間.第四頁，共29頁。2.歐幾里得空間舉例下面再看兩個例子.例1

在線性空間Rn

中，對于向量

=(a1,a2,…,an),

=(b1,b2,…,bn),定義內(nèi)積(,

)=a1b1+a2b2+…+anbn.(1)顯然，內(nèi)積(1)適合定義中的條件，這樣，Rn就成為一個歐幾里得空間.以后仍用Rn來表示這第五頁，共29頁。個歐幾里得空間.在n=3時，(1)式就是幾何空間中向量的內(nèi)積在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表達(dá)式.例2

在閉區(qū)間[a,b]上的所有實連續(xù)函數(shù)所成的空間C(a,b)中，對于函數(shù)f(x),g(x)定義內(nèi)積由定積分的性質(zhì)不難證明，對于內(nèi)積(2)，C(a,b)構(gòu)成一歐幾里得空間.第六頁，共29頁。同樣地，線性空間R[x],R[x]n

對于內(nèi)積(2)也構(gòu)成歐幾得里空間.3.歐幾里得空間的性質(zhì)下面來看歐幾里得空間的一些基本性質(zhì).首先，定義中條件表明內(nèi)積是對稱的.因此，與相當(dāng)?shù)鼐陀?)

(,k)=

(k,)=

k(

,

)=

k(,

)；3)

(,+)=

(+,)=

(

,

)+(,)=

(

,

)+(,).第七頁，共29頁。由條件有(,

)0.所以對于任意的向量

，是有意義的.在幾何空間中，向量的長度為類似地，我們在一般的歐幾里得空間中引進(jìn)向量長度的概念.第八頁，共29頁。二、長度1.定義定義2

非負(fù)實數(shù)稱為向量的長度，記為||.顯然，向量的長度一般是正數(shù)，只有零向量的長度才是零，這樣定義的長度有以下的性質(zhì)：第九頁，共29頁。2.性質(zhì)性質(zhì)1

設(shè)k

R,V,則有|k|=|k|||.(3)證明第十頁，共29頁。性質(zhì)2柯西-布涅柯夫斯基不等式設(shè),是任意兩個向量，則|(,

)||||

|，

(4)當(dāng)且僅當(dāng),線性相關(guān)時，等號才成立.證明當(dāng)

=0時，(4)式顯然成立.以下設(shè)

0.令t

是一個實變數(shù)，作向量=+t

.由可知，不論t取何值，一定有第十一頁，共29頁。(,)=(+t

,+t

)0.

即(,)+2(,)t+(

,

)t2

0.(5)

取代入(5)式，得第十二頁，共29頁。即(,)2

(,)

(

,

).兩邊開方便得|(,

)||||

|.當(dāng),線性相關(guān)時，等號顯然成立.反過來，如果等號成立，由以上證明過程可以看出，或者

=0或者也就是說,線性相關(guān).證畢第十三頁，共29頁。3.兩個著名的不等式對于中的歐幾里得空間Rn

，式就是對于中的歐幾里得空間C(a,b)，式就是第十四頁，共29頁。4.單位向量長度為1的向量稱為單位向量.如果0，則由|k|=|k|||知，向量是一個單位向量.用向量的長度去除向量，得到一個與成比例的單位向量，通常稱為把單位化.第十五頁，共29頁。三、夾角1.夾角的定義定義3

非零向量,的夾角<,>規(guī)定為第十六頁，共29頁。2.三角不等式根據(jù)柯西-布涅柯夫斯基不等式，我們有三角形不等式|+|||+|

|.(6)因為|+|2=(+,+)=(,)+2(,)+(,)||2+2|||

|+|

|2

=(||+|

|)2.所以|+|||+|

|.第十七頁，共29頁。3.正交定義4

如果向量,的內(nèi)積為零，即(,)=0，那么,稱為正交或互相垂直，記為

.顯然，這里正交的定義與解析幾何中對于正交的說法是一致的.兩個非零向量正交的充分必要條件是它們的夾角為由定義立即看出，只有零向量才與自已正交.第十八頁，共29頁。在歐幾里得空間中同樣有勾股定理，即當(dāng),正交時，|+|2=||2+|

|2.事實上，|+|2=(+,+)=(,)+2(,)+(,)=||2+|

|2.第十九頁，共29頁。不難把勾股定理推廣到多個向量的情形，即如果1,2,…,m

兩兩正交，那么|1+2+…+m

|2=|1

|2+|2

|2+…+|m

|2.在以上的討論中，我們對空間的維數(shù)沒有作任何限制.從現(xiàn)在開始，我們假定空間是有限維的.第二十頁，共29頁。四、度量矩陣設(shè)V

是一個n

維歐幾里得空間，在V

中取一組基1,2,…,n,對于V

中任意兩個向量=x11+x22+…+xnn,=y11+y22+…+ynn,由內(nèi)積的性質(zhì)得(,)=(x11+x22+…+xnn,y11+y22+…+ynn

)第二十一頁，共29頁。令aij

=(i

,j

)(i,j=1,2,…,n),(7)顯然aij

=aji

.于是利用矩陣，(,)還可以寫成第二十二頁，共29頁。(,)=XTAY

，(9)其中分別是,的坐標(biāo)，A=(aij

)nn

稱為基1,2,…,n的度量矩陣.而矩陣第二十三頁，共29頁。上面的討論表明，在知道了一組基的度量矩陣之后，任意兩個向量的內(nèi)積就可以通過坐標(biāo)按(8)或(9)來計算，因而度量矩陣完全確定內(nèi)積.設(shè)1,2,…,n是空間V

的另外一組基，而由1,2,…,n到1,2,…,n的過渡矩陣為C,即(1,2,…,n)=(1,2,…,n)C.于是不難算出，基1,2,…,n的度量矩陣第二十四頁，共29頁。B=(bij

)=(i,j)=CTAC.(10)這就是說，不同基的度量矩陣是合同的.根據(jù)條件對非零向量，即有(,)=XTAX>0.因此，度量矩陣是正定的.第二十五頁，共29頁。反之，給定一個n

級正定矩陣A

及n

維實線性空間V

的一組基1,2,…,n.可以規(guī)定內(nèi)積，使它成為歐幾里得空間，并且基