直線與橢圓的位置關(guān)系專題

直線與橢圓的位置關(guān)已知橢圓Cx軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為求橢圓C若直線l:ykxm與橢圓CAB兩點（A，B不是左、右頂點ABC的右頂點，求證：直線l（Ⅰ）ac3ac1，a2，c1，b2a2c23

2y 1(ab0)y 22橢圓的標準方程為 22 ykx聯(lián)立x2y2 得(34k2x28mkx4(m23064m2k216(34k2m230，即34k2m20，xx

8mk 4(m4(m2x234k

34k

3(m24k2y1y2kx1m)(kx2mkx1x2mk(x1x2m

34kD(0)

1

x

x

1 3(m24k2)4(m23)16mk 34k

34k

34k

09m216mk4k20．m2km2k，且均滿足34k2m20 (20) m2klykx2，直線過定點20 7 所以，直線l過定點，定點坐標為20 x如圖，Aa

y

1(ab0)AB、ACF1、F2ACx時，恰好AF11F1BAF22F2C，試判斷是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明（I）AF1:

由AF 1，1 AF1

2，AF2

AF2

21解得e 212

B11（II）由e2

，則 a2a2

2，bc F(b F(b

x2y2焦點坐標為 ，，

，，則橢圓方程為 1x22y22b2ACACy

x0b

(x 代入橢圓方程有(3b22bxy22by(xbyb2y2 b2y b2由定理得：y0

，∴y03b2 0

03b20所以2

3bb

，同理可得1

b故6b6bACxx0b

1，

3b2bb綜上所述：是定值

3．(2008，卷，22)設(shè)橢圓C 求橢圓C

1(ab0過點M(2,1)

2,（Ⅱ）當過點P(4,1)的動直線l與橢圓C相交與兩不同點A,B時，段AB上取點Q，滿APQBAQAPQBAQc2

，解得a24,b22

x2y21 1AP,PB,AQ,Q、A、B的坐標分別為(xy),(x1,yAP,PB,AQ,

均不為零，記

,則0且A，P，B，QAPPBAQ于 4x1x21xx1x21

1y11yy11x22 24x 1A、BC x22y2

y22 2y 1 x22y2 （3（4）即點Q(x,

定直線2xy20PA,PB,AQ,設(shè)點Q(xyA(x1,y1PA,PB,AQ,

又PAQBPAAQPBBQ(01,x4x,y1

1 1x4x, 1

11

A(xyB(xyC上，將（1（2）Cx22y2 (x22y24)24(2xy2)14

(x22y24)24(2xy2)14 8(2xy2)

∵0,∴2xy2即點Q(x,

定直線2xy20x2y2 a

1

0的中心Oa和byPBoyPBoc2abBFy軸的交點MBFPQ兩點，證明OPOQ1b22解：（Ⅰ）由題設(shè)條件知，

OB，即c

c2ab，在Rt△OFA

OA2OFOA2OFa2

bcc設(shè)直線BF的斜率為k，則k yPBoBFyM(0yPBo（Ⅰ

且k P(x1y1、Q(x2y2x2y2由 ykx(b2a2k2)x22a3kxa4a2b2a4x1x2b2a2k2

a2(a2b2b2a2

a3b2a3b3bx2y2由

(b2a2k2)y22ab2ya2b2a2b2k20ykx2

a2b2(1a 2yya

(1k)

ba

1 b2a2k

b2a2b

b3a2b2(b

OPOQx1x2y1y2a3b3

a3

a3注意到a2abb2a2c2b22b2，OPOQOPOQa3

(ab) 2(a a(a2b2

1 (a (ac) b2(a 2(a 有如下結(jié)論：“x2y2r2P(xy xyyyr2”，類比也有結(jié)論： x2 ya

1(ab0)上一點P(x0y0x y

x 001”，過橢圓 y1的右準線l上任意一點M引a b2 CA、M1時，求△ABM（1）M43t)(tRA(xyB(xy3則MAx1xyy

1, 4MMA

3xty

3

由①②知AB

3xty1,即x3

3,0）滿足③式，故ABC

3,0）……8（2）ABx2 x 3(1y)代 4

1,化簡得7y6y1∴|AB

362811|431又M到AB的距離d 13∴△ABMS1|AB|d16 A(－1，0)、B(1，0)M滿足：AMB2，且|AM||BM|cos23M的軌跡為曲線CBCP、Q兩點．(1)C(2)求△APQ19．(1)M(x，y)，在△MAB中，|AB|=2AMB∴|AM|2|BM|22|AM||BM|cos2即(|AM||BM|)22|AM||BM|1cos24|AM||BM|MA、B為焦點的橢圓，a2，c222Cxy (2)PQxmyxmy

(m 1由x2y21

6my90顯然，方程①的0P(x1，y1)，Q(x2，y2)S12|yy||yy yy ，yy 3m2 1

3m2

3m2(y1y2

(y1y2

4y1y248(3m24)2令t3m23t≥3

y)2

tt…1由于函數(shù)yt1在[3，＋∞)上是增函數(shù)，∴t …1 故yy)2?9，即 ∴△APQP(x1，y1)，Q(x2，y2)，則S12|y

||yy2PQSPQyk(xx2y2

由

得：(34k2)x28k2x4k212 yk(x

8k

4k2k2(4k2顯然，方程①的△＞0x1x23k2(4k2

3∴x1x22

12(xx(xx (xx)24x 1

k4k(y1y2

[k(x11)k(x2

k(x1x2

(4k2 4k2 (4k24k231(0t?1f(t99(2t3t227[(t1)249 ∴△APQx2y21(ab設(shè)橢圓

AF平行.解:⑴因為入射光線與反射光線垂直，所以入射光線與準線所成的角為即FAO45，所以bc，所以橢圓的離心率為22⑵由⑴知bca

2cA0,cB2ccAFABABF三點的圓的圓心坐標為cc 2 2半徑r1FB

10c ABF三點的圓恰好與直線3xy303c1c所以圓心到直線3xy30的距離等于半徑r，即

10c，得c1 142所以b1a

2

x2y2y

x y已知橢圓Ca2＋

＝1（ab0）F1，F(xiàn)2，離心率為e.直線l:yexaxA，BM是直線l與橢圓CPF1關(guān)于直線lAM＝AB（Ⅰ）1e2確定的值，使得PF1F2（Ⅰ）A、Blyexax軸、y軸的交點，所以A、B的坐標分別是yex xa2b2(a,0),(0,a).由 得 2a2b2 x

yb b2

2M的坐標是（cb2aAMAB得(cac

a,

)(e

,即

e

解得1A、Blyexax軸、yA、B的坐標分別是(a,00eM的坐標是

,

a,

)

(,exa(

x y所以

M

00y0

a a (a即a

b2

1

e42(1)e2(1)2解得e21 即1e2.1|

| F1l112|PF1|11

|e(c)0a

|aec

11111

所以

1,于是13

23即當2時△PF1F2為等腰三角形3PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，P的坐標是(x0y0，y00

e2x x則

x0e21解得y x

2(1e2 e0 a. y0 2 e(e2 2(1e2)a 由|PF1|=|F1F2|得

e2

c]

e2

]4c兩邊同時除以4a2，化簡

(e2e2

e2

從而e213于是1e22 即當2時，△PF1F2為等腰三角形 y2a2b21（a＞b＞0）上兩點A、B，直線l:yxkC、D，且ABCDx2+y2-2y-8=0，求橢圓方程和直線lO（0，1設(shè)正方形的邊長為p

2p2r，∴p

23離應(yīng)等于正方形邊長p的一半 232線的距離可知k=-2或 D設(shè)AB：y=x- 由y=x- x2+y2-2y- 得A（3，1）B（0，-2，又點A、B在橢 2x2a2 2x2

1上，∴a2=12，b2=4，橢圓的方B（0，4（-a2485

b216b2＞a2（舍去

x2y2綜上所述，直線l方程為y=x+4，橢圓方程 3 32xOy中，已知橢圓C:2a

y211

(ab0)的離心率 ，左右兩個焦分別F1、F2F2x軸垂直的直線與橢圓CM、N兩點，且|MN|=1求橢圓C設(shè)橢圓C的左頂點為A,BP滿足PAABm4B關(guān)于該軌跡的對稱點落在橢圓C上

mR）P解：(Ⅰ)MFx軸，∴|MF|1,由橢圓的定義得：|MF|12a ∵|MF|2(2c)21，∴(2a1)24c211又e

4a3c23a

∴4a22a

a ∴b2a2c21a214yCx2y4

（0，－1PA(2xyAB(21由PA －4得－42xym4Py2xmBP的軌跡的對稱點為B'(x0y0y011,y01

44m,

2m35B'(x0y0

(44m)24(2m3)24 整理得2m2m30解得m1

m2Py2x1y2x32y2x1y2x32Py2x1y2x34242橢圓C2a

y

PF13

143求橢圓C的方程若直線lx2y24x2y0的圓心M，交橢圓CA、BA、BM對稱，求直線l的方程.解：(1)F

25155F1F25

2cc2aPF1

6a2橢圓C:29

y2141ykx2121x2y21

49kx236k218k36k236k27 x 18k2 22

49k

2k9l:y8x21

即8x9y25x yxOya

b2y24xMC1C2在第一象限的交點，且｜MF2｜53C1NMNMF1MF2l∥MNC1A，B兩點，若OAOB0（Ⅰ）(0) M(x，yM在C

5x15x2y26

4

3

M在C上，且橢圓C的半焦距c1，于是9a2 消去b2

9a437a240，解得a2（a1不合題意，舍去3故橢圓C1的方程

． （Ⅱ）MF1MF2MNMF1NF2是平行四邊形，其中心為坐標原點O，因為l∥MN，所以l與OM的斜率相同，26故l的斜率k3 ．設(shè)l的方程為y623

6(xm)．由y

6(x

y

9x216mx8m240A(x1，y1)B(x2，y2x1x2

，x1x2

8m2．292因為OAOBx1x2y1y20x1x2y1y2x1x26(x1m)(x2m)1(14m228)09

7x1x26m(x1x2) 8m24916m92所以m ．此時(16m)248m24916m92故所求直線ly

6x23，或y

6x23（－20PE（0，－4）lPR，T，且滿足OROR7（O為原點l的方程，若不存在，請說明理由.（1）∴P點軌跡為以A、Fxa

yb2

1(ab2a8,a4,a2b2c222b22221Pxy1 （2）l，其斜率存在，設(shè)為kR(x1,y1),T(x2,y2OROTOROT7

y

ykx

1 1 由x2y2

得(34k1

32kxxx ,xx

34k

34kyy(kx

4)k2 1 1

16k 34k 34kk2 k k 設(shè)橢圓C a2

1a0F1F2，ACAF2F1F20OAF1|OF| CQCQlxP(10yMMQ2QPa2a2a2a2a2a2

,0),F2

,

F

0，則有AFF

A的坐標為

,2) 1

1

1)xaaxaa2a213aa213a2

a2a21

(a

2)又|OF1

x2y

a21 1

，解得a2a

2) （2）llykx1M(0,k設(shè)Q(x1,y1MQ2QP(x,yk2(1x,y，解得

2,y

(2 (k又Q在橢圓C上，得 3 1， 解得k4ly4x1y4(x1即4xy40或4xy402橢圓的中心是原點O2為長半軸，c為半焦距）xA

（c,0（c>02FA，過點AP、

c

,若OPOQ0PQ（1）

2,c2(12c12

c

24,a2

y2（2）因a

266,c2，得ec 26 因點 A（3，0，cyk(x

則由方程組2x26y212y(13k

18kx

6P(x1y1Q(x2y2x1x213k2x1x2因OPOQ0x1x2y1y20

27k213kyyk2x3)(x3k2xx3k2xx9k2，代入上式1 1

(1k2)(27k2 3k218k

)x1x2

0

13k

13k

9k解得：k21,k 5，所求直線PQ方程為y 5(x m0a01)bm0)，經(jīng)過點A(m0)λa+bm,0)b-4aPP的軌跡若m25，F(xiàn)(4,0)kQ(k,0)為圓心，|QF|為半徑的圓與軌跡EM、N5且|MF|+|NF|= 5解(1)∵λa+b=(m,λ)，∴直線AP方程為yλ(xm) mλb4a=(λm,-4NPy

4(xm) λ

y2

4(x2m

m2

x2y21m 1m2E是以(0,0)2為半徑的圓：x2y24；m>2E是以原點為中心，以(m240)為焦點的橢圓：0<m<2E是以中心為原點，焦點為(0,4m2) k：x-k)2+y2=(k)222Ex22

1F(40，且e255由圓Q與橢圓E的方程聯(lián)立得y2-5kx2k-30設(shè)M(x1,y1),N(x2, 則有

5k 25△=252-42(2k-5|MF|

55

5x1,|NF|=

55

5

,而|MF||NF| ∴255

5x1+

25x 55 55

x1

52k1，且此時△＞0k1EA(20B(20)、C13 2EDEA、BF(10H(10)

若直線l:yk(x1)(k0)EM、NAMBNx4（1）C(1,將A(2,0)、B(2,0)C(1,2

E4mm9n

解得m

1,n1 2221Exy1 （2）|FH|2， 邊上的高為

12h233當點D在橢圓的上頂點時，h最大 ，所以 33 的內(nèi)切圓的半徑為R，因

的周長為定值6．所以1R6 2所以R的最大值為3．所以內(nèi)切圓圓心的坐標為 3 222 （3）法一：將直線l:yk(x1)代入橢圓E的方程 1并整理 得(34k2x28k2x4(k230設(shè)直線lEM(x1y1N(x2y2 4(k2x1x234k2x1x2

34kAMy

(x2)x4

6

BNx4的交點坐標為

2y2)x2P、QP、Qy1k(x11),y2k(x21)6

2y26k(x11)(x22)2k(x21)(x1 x2 (x12)(x28(k2 40k 2k[2xx5(xx)

2k34k234k2 1 (x12)(x2 (x12)(x2AMBNx4AMy

(x2),即yk(x11(xAMy

x22

(x2)yk(x21(xx2AMBNyx2(x1x23x1x2)2[2x1x23(x1x2)4x2x13x2 (x1x2)2x28(k2 24k 4k2 234k

34k24x2

434k2x2 34k

4

4k2 34k AMBNx4ABOF為橢圓的右焦點AFFB

M，直線lPQ兩點，問：是否存在直線lF恰為PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程;若不存在，請說明理由. （1）

1(ab0),則cAFFB1∴a2

(ac)(ac)1a2

x2 2y12y1（2）假設(shè)存在直線lPQF恰為PQMP(x1y1),Q(x2y2)M(0,1F(1,0kPQ1yx于是設(shè)直線l為yxm，由x22y223x24mx2m22

即2xx(xx)(m1)m2m

1 2m2 2

(m1)

m解得m4m1（舍）經(jīng)檢驗m43

F

的兩個焦點分別為

c0F2c0)(c0E(

求直線ABCAFBH(mn)(m0)在

AFCn

F

cc 解：由F1A//F2B且F1A2F2B，得

c

整理，得a23c2，故離心率ec

解：由（I）得b2a2c22c2，所以橢圓的方程可寫為2x23y2 a2設(shè)直線ABykxcyk(x3c. yk(xA(x1y1B(x2y2，則它們的坐標滿足方程組2x23y2y整理，得(23k2x218k2cx27k2c26c2048c213k20，得

3k x1x2

27k2c26cc23k2

B為線段AE

x1

9k2c2c23k2

，x2

9k2c2c23k2xx代入②中，解得k2

2當k 時，得A(0,2c)，由已知得C(0,23

2c)線段AF的垂直平分線l的方程為y 2c 2xc直線l與x 2 2

c

的交點 ,0是AFC外接圓的圓心，因此外接圓的方程為x

y2 c

2 F2By

2(xc)H（m，n） c

m5m

n22 2

，由m0解得

n222 2n

2(m

n k

22.3

2當k 時，得A(0,2c),由已知得C(0,23

F1A//F2BAF1CH為等腰梯形.F2By

2(xc,H的坐標為(m,2m

2c)

，所以m22m

2c)2a2m=c（舍，或m5c3n22cn22 k

2

yb1(ab0F1F2，離心率ey

2x22FMFN22FMFN223

，求直線lc {a （Ⅰ）

，解得a

a2c2ba2c2

x2y2y

1 42llx=-x=-1代入橢圓方程得y22不妨設(shè)M

22

22 F2MF2N

2

)(4,0)2F2MF2

4,與題設(shè)ly=k（x+1．M(x1，y1)N(x2,y2，y1x22y1{

聯(lián)立y=k(x+1)y得(12k

4kx

204k x1x212k2y1y2k(x1x22)12k2又F2Mx11y1)F2Nx21y2F2MF2N(x1x22,y1y2)．2FMF (xx2)2(yy2 8k2 12k

( 12k24(16k49k21)4k44k214(16k49k21)4k44k2

(226)23化簡得40k423k217解得k21或者k2

k所求直線l的方程為yx1或者yx 已知橢圓C

1(ab0

F的直線l與CA、B兩點，當l321時，坐標原點O到l22求ab

CP，使得當lF轉(zhuǎn)到某一位置時，有OPOAOB成立？P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由．解：(I）F(c0，直線lxyc0，由坐標原點O到l的距離為2|00|00c222

c1.又eca

3,a3

3,b 222（II）由(I）知橢圓的方程為C:x22

1.A(x1y1B(x2y2由題意知l0，故不妨設(shè)lxmy代入橢圓的方程中整理得(2m23y24my40，顯然0 定理有：yy ,yy

, 2m2 1

2m2.P，使OPOAOB(xx (yy點P的坐標為(x1x2,y1y2)，點P在橢圓上，即 1 1． 整理得2x23y22x23y24xx6yy6 1 1 A、B在橢圓上，即2x23y262x23y2 2x1x23y1y230xxmy1)(my1m2yymyy1及①代入②解得m21 1

y1y2

2或2x1x22m2322,P22當m 2 3 2),l:x

y1;,P(2 22當m 2 2),l:x2

y,P( 222xOyC12a

y yb2y24xMC1C2在第一象限的交點，且｜MF2｜53C1NMNMF1MF2l∥MNC1A，B兩點，若OAOB0（Ⅰ）(0) M(x，yM在C

5x15

x2y26 M在C1上，且橢圓C1的半焦距c1，于是4

9a2 消去b29a437a240解得a2（a1不合題意，舍去3故橢圓C1的方程

MF1MF2MNMF1NF2是平行四邊形，其中心為坐標原點O，因為l∥MN，所以l與OM的斜率相同，26故l的斜率k3 623設(shè)l的方程為y 6(x由

yy

6(x9x216mx8m240．x1x2

，x1x2

8m2．9因為OAOBx1x2y1y20x1x2y1y2x1x26(x1m)(x27xx6m(xx)1 8m28m24916m921(14m228)092所以m 2此時16m)249(8m240故所求直線ly

6x23，或y

6x23二、直線和圓相交的求范圍問題2已知橢圓C:2

6 6

3求橢圓C3設(shè)直線l與橢圓CA，B兩點，坐標原點O到直線l的距離為3，求△AOB266（Ⅰ） a ，x2y2 3當AB⊥x軸時，AB 3ABxABykxm

3m23(k21m1km1kykxm代入橢圓方程，整理得(3k21)x26kmx3m230xx6km，xx 3k2 1

3(m2．3k2

236k

12(m21)AB(1k)(x2x1

(1

)(3k21)2

3k21 12(k21)(3k21m2)3(k21)(9k2(3k2 (3k212k 3 39k46k2

9k21k

(k0)≤3 423當且僅當9k2k

，即k 時等號成立．當k0時，AB 33333綜上所述 2AB△AOBS1

3 3F1F2分別是橢

x2 y4y

1的左、右焦點

3M(0,2)的直線lABAOB為銳角（其中O為坐標原點線l的斜率k的取值范圍．3（Ⅰ）

3,0,F2

30，設(shè)Pxy，x,y,3x,yx2y23x21x2 x22x0PPF1PF2有最小值2x2PPF1PF2有最大值1解法二：易知a2b1c

3,0,F2

30，設(shè)Pxy， 222222PF1PF2PF12PF1PF2PF1PF2cosF1PF2PF1PF22

32y2x

32y212x2y23（以下同解法一（Ⅱ）x0不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線l:ykx2Ax1y2Bx2y2，ykx

1聯(lián)立x2

yk4

4kx3

y ∴x1x2

k2

1,x1x2

k2 3由4k24k134k230得：k 3或k3 4 OAOB又00A0B900cosA0BOAOB∴OAOBx1x2y1y21 1 yykx2kx2k2xx2k1 1

k2

8k24k2

k2k2 3 3k2

k2k2

0，即k2

∴2k 故由①、②得2k

3或3k2 已知點P（4，4，圓C：(xm)y5(m3)與橢圓 1(ab0)有一個公共點A（3，1 F1、F2PF1CmEQEAPAQ的取值范圍．（Ⅰ）AC方程，yF得(3m)215yF∵m＜3，∴m＝12分C(x1)2y25．PF1k，PF1yk(x44，kxy4k40．PF1Ck21∴|k04k4|k21解得k11或k1 k＝11PF1x36 k＝1PF1x2∴c＝4．F1（－4，0，F(xiàn)2（4，0222a＝AF1＋AF2＝ 62，a32222E2

1 Qx，

AQ(x3,yAPAQ(x3)3(y1)x3y6 1

2

18 x23y)2≥2|x||3y則(x3y)2x23y)26xy186xy的取值范圍是x3y的取值范圍是APAQx3y6的取值范圍是C過點M

6

CPQ的垂直平分線經(jīng)過一個定點設(shè)點AOB，求|PB|P

ab14ab

（1）設(shè)橢圓Ca2

1，由已知，得

，解得

1．x2y21．

xy xyP(x1y1Q(x2y2．由橢圓的標準方程為4

1(x 2)2(x 2)212同理|OF|2

2x,|MF|2 22 2∵2|MF||PF||QF|，∴2(2

2)∴x1x22x22y2 ①當xx時，由

，得x2x22(y2y2

從而有y1y21x1x1 2y1

y1y2 x PQyn2n(x1(2x1)ny0

A(,0)2②當xx時，P(1, 6), 6)或 6 PQxA10)2PQ

A(,0)21A(,0)12

1,0)2|PB|2

1)2y2(x ∴|PB

3P的坐標為(02

2) 設(shè)橢圓C

FPQ3AAFxBAFBM 直線3x4y1a20MEFMEMF4

1a222N(03CCN的最遠距離不大于2

C b2

b2（1）

，Q 因為

e2（2）由（1）a2cb

3c

a，因為MEMF

1a2，所以EMF120，可得：M2 22從而，求出c2，所以橢圓方程為： 22 （3）因為點N設(shè)橢圓上任意一點為KxyKN2x2y32

2y

18y4b

1890對任意ybbb3恒成立9b218b4b218909 2

4b21892解之得：2b 6]2OM 3OPOM 3OP.

3，且OFFP3OF為右焦點的橢圓經(jīng)過點M（1）

|OF|c,t

31)c2當|OP33 1|OF||FP|sin得|OF||FP|3

3,由cos

4OF42得tan433t3

|OF||FP34t3

1tan

[0,

∴夾角的取值范圍是（（2）設(shè)P(x0,y0),則FP(x0c,y0

4OFFP(x0c,y0)(c,0)(x0c)ct

344344(31)c

x0 S

1|OF|| x2x2y (3c)2(43c

|

3

3223c4c66

x0

,得x0 3c43,即c2時,|OP|取最小值c

6此時OP

3,2OM(22)(22)2(3

33

30,1)(2,3(22)2(22)2(3

a4,b2x

y

1.y軸上的截距為m(m0)，lA、B兩個不同點mx（1）

yb2

1(aba

a2則4a

解得

2∴橢圓方 x2y2∴橢圓方 lOMy1KOM1∴l(xiāng)y1x2y1x 由x y

x

2mx

4 l與橢圓交于A、B(2m)24(2m24)∴m的取值范圍是{m|2m2且m1212A(xyB(x

),則

y11,

y2

x1

x2由x22mx2m240可x1

2m,x1

2m2k

y11,y21(y11)(x22)(y21)(x11 11

xx2x1

(2x1m1)(x22)(2x2m1)(x1(x12)(x2x1x2(m2)(x1x2)4(m(x12)(x22m24(m2)(2m)4(m(x12)(x22m242m24m4m40(x12)(x2MA、MBx軸始終圍成一個等腰三角形

?)方向向量為2e1e2M，其中RM若a

2AM(e1e2a?，

(xa)故2ayx

，消去參數(shù)，整理得點Ｍ的軌跡方（2）由a

M2

x2(62

y12

2

2若設(shè)直線CD

yk(x1)

,

，C(x1,?y

，D(x2?y2，則由yk(x 2x26y23消去y

12k

10，顯24(k

10，于 因此mFCFD(x11)(x21y1y2(x1)(x1)k2(x

3(2k2

6k(1k)[x1x2(x1x2)1](1

)[2(3k2

3k21k21

2m1 m2(3k21)

0??(6m10) m 6m1 若直線CDx軸，則x 1?,?yy1，于是m1 1 FCFDm1??1 2 6 29AB分別是直線y

xy25x上的兩個動點，并且225

P滿足OPOAOBPC（0，16，M（I）P（x，yA(x,25x)，B(x,25x)

xy25x225xx1x2

x1x255∴y

5

x

∴

x22又∴

x

20)24

x

)220∴5y24x220 x 即曲線C的方程

N（s，t，M（x，y，則由故xsy16(t16)．∵M、NCs2

t

∴

(t16

消去s 2(16t2)(t16消去s 由題意知0，且解 t171517 t4，解得35（1

4 故實數(shù)35（1 Cx2y2m2(m0CFk（k≠0）l A、B兩點，MAB的中點，設(shè)O為橢圓的中心，射線OMNkm＞0，總有OAOBONk若OAOB1m34mk2（1）x22

y2

2

2

cm,F 1yk(x2x22

mm

（102＋6x－202x＋1km215m2＝．2 2

20k

10k2m2A（x1,y1

10k2x

10k

則xm＝ 22

10k2

,

m)

10k26k,使OAOBONMONOAOB2OM∴OAOB2xm,2ym

20k

12km N點坐標為

20k

10k212km

10k2610k2610k26由N點在橢圓上， 25k4－2k2－3＝0．∴k2＝1k2＝－3（舍5k＝±1OAOBON（2）

x1x2y1y2＝x1x2k2x1－mx2m）＝（1＋k2）·

k2m2

20k10k2 10k2

k2 1 4 10k2

4m得10k262mm7

k7

77ABCDA，Cx23y24BD(01)當ABC60ABCD面積的最大值．（Ⅰ）BDyx1．ABCDACBD．于是可設(shè)AC的方程為yxn．x23y2由yx

得4x26nx3n24043所以12n2640，解得43n433(x2，y2x1x2

2，

3n24

，y1x1n，y2x2nyyn 3nnAC的中點坐標為

， 43nnABCD為菱形可知，點

yx1 4所以n3n1，解得n ACyx2xy20（Ⅱ）ABCD為菱形，且ABC60，所以ABBCCA．32所以菱形ABCD的面積S AC232

3n2由（Ⅰ）

(x1x2

(y1y2) S

3(3n216)43n43 3 x=4CM使2MF1MF2|MF1||MF2||MF1||MF2|C（1）

xy2a 2

1(ab0),c a2a2∵直線 為橢圓C的準線， c又|MF1||MF2|，∴MC∵|

||

|

,cosFMF

1

|

||MF2 F1MF260，△F1MF2

|2c，故a24c2a,a2c且

a

c

3C

xy221 21（2）PQxPQxPQ|PQ

a

22

3,|F1F2|∴S

1322PQyk(x1)(k0Cx(4k23)y26ky9k20,36k236k2(4k23)0，設(shè)P(x,y),Q(x,y 9ky1y24k23,y1y24k2

(yy)2(yy)24y 1k1k

|y1y2

4k21k4k2+3=tt>3，此時k2t1k4(t3)2t (t3)2t t 1 ∵011 0

PQx軸垂直時，△PF1Q設(shè)△PF1Q內(nèi)切圓半徑為r 1(|PF||PQ||QF|)r1(|PF||PF||QF||

|)r 4r3r3，即r3PF1Q內(nèi)切圓面積最大，此時不存在，直線PQ與x軸垂直，∴ 已知橢圓C1:a2求橢圓C1的方程

1(ab03

，直線lyx2C1設(shè)橢圓C1的左焦點為F1，右焦點F2，直線l1過點F1且垂直于橢圓的長軸，動直線l2垂直l1于點P，線PF2垂直平分線交l2MM的軌跡C2設(shè)C2與x軸交于點Q，不同的兩點R,S在C2上，且滿足QRRS0, 的取值范圍（Ⅰ）∵

333

c2

a2 ∵直線lxy20與圓x2y2b222 b,b22

2,b2x2y

∴a2∵橢圓C1的方程 M到定直線l1x1F1（1，0）MCl1準線，F(xiàn)2MC2的方程為y2y y（Ⅲ）Q（0，0，設(shè)R(1yS(2y y∴QR(1,y),

y2y( 1,

y

y2(y2y2∴ 1y(

y) y1y2y10∴

(

16∴y2y225632

32y y

1y2256,y216,

4y y1∵22∴當y26422

|

5，故|QS|的取值范圍是

x2y2

1(ab

F1、F2F1lA、B兩點a A在圓x2y2c2（c為橢圓的半焦距）上，且|F1A|=c2y2

log

（b，a，求

（1）Ax2y2c2上,AFF為一直角三角形1|FF|2|AF11|FA|c,||FF|2|AF11

1 21 321 3c

3c

eca

2（2）∵函數(shù)y 2∴a F1（－1，0，F(xiàn)2（1，0①若ABx軸,則

2),2

2)2∴FA 2),FB(2,

2),FAFB41

ABxABkAB的方程為yk(x由

消去y得(12k2)x24k2x2(k21) x22y228k280,方程（*）有兩個不同的實根Ax1y1B（x2，2x1x212k2,x1x2

2(k212kF2A(x11,y1),F2B(x21,y2FAFB(x1)(x1)yy 22(k2

4k

7k2

)12k

)12k21,0

12k

1F2A由①②知1

AFB 設(shè)橢圓

1(ab0)M(2.2N(6,1，O為坐標原點（Ⅰ）E寫出該圓的方程，并求AB的取值范圍；若不存在，說明理由．26x2y226（1）

1（a,b>0）過

）

,1)兩點42

1

a2

x2y2所以

解得 1所以

橢圓E的方程

b （2）EA,B,且OAOB,ykx 2 2線方程為 m解方程組 即(12k2x24kmx2m280

x22(kx1

8則△=16k2m24(12k22m288(8k2m240即8k2m24xx

12k

,y

m)k2x

x)xx 2m2xx 1 12k

1 1 k2(2m28)4k2m2 m28k12k 12k m12k

2m2

m28k 要 ,需使x1x2y1y20

12k2

12k

0,所以

8

,所以223m2 m222k2 08k2m240,所以

,所以m2 ,即m 或m ,因為直 3m2

ykxm為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為r

,1k

1k

3m28318r26,x2y28,ykxm都滿足m26或m26, 22率不存在時切線為x 與橢圓22

2y 1的兩個交點為 ,2y

或

滿足222 222OAOB,綜上,x2y28E3且OAOBxx

因為

x1x2

12k,2m212k 2m2 8(8k2m2所以(x1x2(xx(xx)y2 232324k5k 4k44k2

kk 4k44k2]

4x1x2(12k2(1(1k2)(xx

12k(1(1k28(8k2m2,

314k21314k21]k因為4k2148所以0

1k

4k21 k所 3

3

4k21k

]123所以 6|AB|3343②當k0時,|AB43

當且僅當k 時取22243③當AB的斜率不存在時,兩個交點為(26,26)或(26,26),所以此時|AB 43 綜上,|AB|的取值范圍為 6|AB|3

即:|AB|333

6,23]

1(ab F 1(abFlA、B兩點.lFOA2OB2AB2,a的取值范圍類與整合思想，考查運算能力和綜合解題能力.12分.32解法一：(Ⅰ)M，N為短軸的兩個三等分點，因為△MNF為正三角形，32OF

MN1＝32b解得b＝ a2

b214

(Ⅱ)A(x1y1B(x2y2ABxOA2OB22a2,AB24a2(a2OA2OB2AB2ABx2ABxmy12

整理得(a2b2m2y22b2myb2a2b2 b2y1y2a2b2m2y1y2a2OA2OB2OAOAOB(x1,y1)(x2,y2)

AB2，所以AOB恒為鈍角y1y20恒成立xxyy(my1)(my1)yy(m21)yym(yy)1 1 1 1 (m21)(b2a2b2)a2

a2 m2a2b2b2a2b2 a2 a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0mR恒成立，a2b2m2>a2-a2b2+b2mR恒成立.mR時，a2b2m20a2a2b2+b2<0.a2<a2b2-b2,a2<(a2-1)b2=b4,因為a>0,b>0,所以a<b2,a2-a-1 1 2

11

11 12

5，+2（i）21x=1

y2

b2(a2

因為恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+y2)<4y2y2>1

a2

a a1 1 2

11

11 （ii）lxA（x1y1）x2y2 得(b2+a2k2)x2-2a2k2xa2k2a22a2kx1+x2=b2a2k2x2因為恒有

a2k2b2a2k2 1 1x21+y2+x2+y22x2-x)2 1 1x1x2y1y2<0恒成立x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-1)(x2-1)=(1+k2)x1x2-k2(x1+x2)+

a2k2b2a2k

k

2a2kb2a2k

k

(a2a2b2b2)k2b2a2k 由題意得（a2a2b2+b2）k2a2b2<0kR恒成立a2a2b2+b2>0②當a2-a2b2+b2=0時，a=1 52a2a2b2+b2<0時，a2a2(a2-1a2-1)<0，a43a2a232

5a232

1（舍去，a>2

5，因此a1 521（i（ii，a2

5，+xOy中,P到兩點(03),(0,3的距離之和為4,P的軌跡為C,ykx1與AB兩點⑴寫出C的方程⑵若OAOB,k的值OA⑶若點A在第一象限,證明:當k0時,OA（Ⅰ）P（x,y）,PC是以(0

3),(0,3)為，長半軸為2的橢圓.它的短22(22(4Cx2;y24（Ⅱ）A(x1y1B(x2y2 2 2 ykxy并整理得(k24)x2

故xx ,xx k2 1

k2若OAOBx1x2y1y2 2kx1x2y1y2k24k

4k

41化簡得4k210k12 OA2OB2x2y2;(x2 ＝(x2x2)4(1x21 ＝3(x1x2)(x1x2＝6k(x1x2)k2因為A在第一象限，故x1＞0.由xx 知

0x

0又OAOB221 k2OAOB22故OAOA2A、B、C是橢圓m:2a

y

1(ab0A的坐標為

3,0)，BCm中心，且ACBC （Ⅰ）求橢圓m|DP||DQ|.t解（Ⅰ）∵|BC|2|AC|且BC過

又ACBCx2 y即C(3,

a

3,設(shè)m

12c2Cx2 y

12C23 3

解得 （Ⅱ）D（0，－2）1°k=0時，顯然－2<t<22°k≠0時，設(shè)l:ykxt

kx由

t2412k P(x1y1Q(x2y2PQ中點H(x0y0

x12

y0

t

13k∴H由

13k2

…………10

化簡得t13k （1，4 a2b21a>b>0)F1F2，MNF1MF2N0CMNOC1，MN的最小值為215，求橢圓方程2MyOMyOxN（1）

則其右準線方程為x＝a2，且F(－c, F(c, Ma2,y，Na2,y FM＝a2c,y，F(xiàn)Na2

y，

OMa2,y，ONa2,y .因為F1MF2N0，所以a2ca2cy1y20，即a22. cOMONa22y1y2c20，故∠MON為銳角.OC外.c1 （2）11 22

y

yyc21MN2＝(y1－y2)2＝y(tǒng)12+y22－2y1y21

y2

22y

60c21212

15c

15c時取“=”所以(MN)min215c＝215c=1,a＝2，b＝x2y2故所求的橢圓方程是 1

P的坐標為（m，nm＋n>0AB與⊙PⅠFBC－c0（0b（10FCBCx1c，yb1(x1x1c

聯(lián)立方程組，解出y1 b2

2b2.2mn 0，即bbc

c0，即（1＋b（b－c）>0，∴從而b2c2a22c2e212又e0，∴0e 22（Ⅱ）AB與⊙Pb2kABbkPB

b012

b2 b(cb2AB與⊙P相切，則b

b(c

解出c＝0或2，與0＜c＜1，AB與⊙P不能相切．x2y2

A，CACBDP P點的坐標為(x，y00 ABCD3橢圓的半焦距c 3AC⊥BDPFFx2y21

所以，20≤00 1． 222 （Ⅱ（?。┊擝D的斜率k存在且k0時，BD的方程為yk(x1)，代入橢圓方程 1，并化簡 (3k22)x26k2x3k260．B(x1，y1)D(x2，y2，則6k 3k2x1x23k22，x1x23k21k21k2xx (1k)(xx)4x2 2 12ACBCPAC的斜率為1k

43(k2；3k243143(k243(k2AC

31k

2k2ABCD1BD2S1BD2

24(k2≥ ≥

(k2

2)(2k

(3k22)(2k23) k21（ⅱ）BD的斜率k0ABCDS4綜上，四邊形ABCD的面積的最小值 ym1PF2

1F1c

F2(c,0)(c0)PPF1求實數(shù)ml

F的準線，直線PF與l相交于點Q．若|QF2|2 ，求直線PF的方程3 2|PF23 2解：⑴∵直線PF1⊥直線 x2y2xy圓 ym

有交點.

y2

有解又∵b2=m+1-∴0

m21m

2m

∴m

am1aP(x,y),PF2方程為：y=k(x-a2a∵直線l的方程為：x c

mmmmkm∴點Q的坐標為(m1, mkm33|QF2|2 P分有向線段QF所成比為333m|PF2mmm

,0),Q(m

km(4km

(43)3)m1(43)(43))((43)m1)(43) (43)∵點P(43)m

)2(1163)m(1163)mmm(1163)m(1163)mm

2設(shè)橢圓C:2

y1(ab0F(20x4y求橢圓C的方程4已知過點F1(20傾斜角為的直線交橢圓CAB4AB

過點F1(20作兩條互相垂直的直線分別交橢圓CABDE,求AB（1）c

a2∴cc

2221∴橢圓Cxy1 2由（1）知F1(20是橢圓C的左焦點，離心率e2設(shè)l為橢圓的左準線．則lx2∵A2 2(FH

cos222 222∴

2222222．當時，記ktanAB:yk(x2

x22y28

(12k2)x28k2x8(k21)設(shè)A(x1y1B(x2y2)x1x2是此二次方程的兩個根 8(k2∴x1x212k2,x1x2(xx(xx)2(yy (1k2)212k32(k212k2

12k2(1(1k2)(xx

42(1k242(1k2

(1(1k2)[(xx)24xx 1 ∵k2tan2代入（1）

AB

42cos2

2當AB22

∴AB （3）AB的傾斜角為DEAB由（2）AB

42cos2

，

42sin2AB

42cos2

42sin2

122sin2cos2

1221sin24當或3ABDE取得最小值16 A(20B(20)，PPAPB斜率之積為34(Ⅰ)P的軌跡C(Ⅱ)過點10)作直線l與軌跡CE、FEF的中點為M,MA的斜率k的取值范圍2解:(Ⅰ)P點的坐標為(xy 3(x2)x2x yx yx 1(x2) 2222)P的軌跡Cxy1(x2) (Ⅱ)解法一：依題意，直線l過點(,0)且斜率不為零，故可設(shè)其方程為xmy xmy

x 4(3m24)y212my45E(x1y1F(x2y2M(x0y0,yy 3m2∴y

y1y2 2(3m2∴xmy1 3m2k 0x 4m20當m0時k0當m0時k 4mm|4mm|4|4mm

4|m0

14m4m4m0|k|181k1k0 綜合(1)、(2)MA的斜率k1k1 1解法二：依題意，直線l過點(,0)且斜率不為零2當直線lx

點的坐標為(,0)k0121當直線l的斜率存在且不為零時，設(shè)直線lym(x12ym(x1

y (34m2)x24m2xm212E(x1y1F(x2y2M(x0y0,x1x23 x ∴

2 3ym(x1) 2(3