求函數(shù)的值域

求函數(shù)的值域函數(shù)值域就是所有函數(shù)值的集合.函數(shù)y=f(x),x∈A的值域是集合}.值域是由函數(shù)的定義域和對應關系決定的，因而解題中要明確函數(shù)的定義域和對應關系.求函數(shù)的值域是一個比較復雜的問題，雖然在給定了函數(shù)的定義域及其對應關系后，值域就確定了，但求值域要注意方法，常用的方法有：1.觀察法通過對函數(shù)解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或者利用函數(shù)圖象的“最高點”和“最低點”，觀察求得函數(shù)的值域，這就是觀察法.例1求下列函數(shù)的值域：(1)y=；(2)y=.解：(1)∵≥0,∴+5≥5，∴y≥.∴函數(shù)的值域為.(2)由≠0，得y≠0.∴y=的值域為.2.配方法對二次函數(shù)型的解析式可先進行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)型值域的方法求函數(shù)的值域，這就是配方法.例2求-x+1的值域.解：∵-x+1=≥，∴-x+1的值域為.點評：形如(x)+bf(x)+c的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法，需注意定義域.3.判別式法將函數(shù)視為關于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)，無理函數(shù)等.使用此法要特別注意自變量的取值范圍.形如y=（a，m中至少有一個不為零)的函數(shù)求值域，可用判別式法.但要注意以下三個問題：一是檢驗二次項系數(shù)為零時，方程是否有解，若無解或使函數(shù)無意義，都應從值域中去掉該值；二是閉區(qū)間的邊界值也要考查達到該值的x是否存在；三是分子、分母必須為既約分式.例3求函數(shù)y=的值域.解：原函數(shù)可變形為+2(y+1)x+3(y-1)=0.當y≠1時，關于x的方程有解的條件是Δ≥0，解得2-≤y≤2+(y≠1).當y=1時，解得x=0，方程有解.∴原函數(shù)的值域為［2-,2+］.點評：使用判別式法求函數(shù)值域，關鍵是“關于x的二次方程有解”.本題將函數(shù)變形為+2(y+1)x+3(y-1)=0的形式，問題轉化為關于x的方程+2(y+1)x+3(y-1)=0有解.例4已知函數(shù)f(x)=的值域為［1,3］，求a，b的值.思路分析：給出函數(shù)的值域求解參數(shù)時，通常將函數(shù)化成以x為未知數(shù)的方程形式，首先考慮二次項系數(shù)為0時，是否滿足條件；其次，二次項系數(shù)不為0時，二次方程恒有解，此時利用Δ≥0求解.解：y=，∵x∈R，∴-ax+y-b=0.當y-2=0時，滿足題意；當y-2≠0時，∵x∈R，∴Δ≥0，即-4(y-2)(y-b)≥0，整理得≤0.∵1≤y≤3，∴1，3是方程=0的兩根，由此可解得a=±2，b=2.4.換元法通過對函數(shù)解析式進行適當換元，可將復雜的函數(shù)化歸為幾個簡單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍求函數(shù)的值域.形如y=ax+b±的形式，可用換元法，即設t=，轉化成二次函數(shù)再求值域（注意t≥0).例5求函數(shù)y=2x+的值域.思路分析：將整體換元，問題轉化為熟知的求二次函數(shù)值域問題.注意判斷換元后“新元”的取值范圍.解：令=t(t≥0)，則+t+2=-+≤，所以函數(shù)的值域為.點評：換元的目的是將含有較復雜成分的函數(shù)表達式化簡為常見、簡單的表達式.換元多用于處理可化簡為二次函數(shù)的問題.需要注意的是，在換元后，新變量的定義范圍.例6已知函數(shù)f(x)的值域是，求g(x)=f(x)-2的值域.解：因為f(x)∈，所以∈，設=t∈，所以-1∈［-1,0］，所以函數(shù)g(x)的值域為［-1,0］.點評：（1)換元法是一種常用的數(shù)學變換方法，換元后一定要先求出新變元的取值范圍；（2)求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域時，宜采用數(shù)形結合的方法，即畫出二次函數(shù)在給定區(qū)間上的圖象，結合圖象觀察值域.5.分離常數(shù)法形如y=(ac≠0,ad≠bc)的函數(shù)，一般先分離常數(shù)，再利用反比例函數(shù)求值域.變形過程為==+，再結合x的取值范圍確定的取值范圍，從而確定函數(shù)值域.例7求y=的值域.解：y==1-，而-x+1=+≥，即0<≤，∴-≤y<1.即y=的值域為點評：分離常數(shù)僅僅是一個步驟，有時分離常數(shù)后結論就很明顯，而有時分離常數(shù)后，還需要用其他方法才能求出.反饋練習求下列函數(shù)的值域：（1)y=；（2)y=；（3)y=；（4)y=2x-.思路分析：根據(jù)各個式子不同的結構特點，選擇不同的方法.解：（1)分離常數(shù)，借助反比例函數(shù)的特征求解.y====-.∵≠0，∴y≠.∴函數(shù)的值域為.（2)∵y===(x≠1)，又==-.當x=1時，==-.∴函數(shù)的值域為y∈Ry≠且y≠}.（3)該函數(shù)的分子、分母分別是關于x的二次式，因而可考慮轉化為關于x的二次方程，然后利用判別式求值域.已知函數(shù)式可變形為+4x-7，即+2(y-2)x+3y+7=0.當y≠2時，將上式視為關于x的一元二次方程.∵x∈R，∴Δ≥0，即-4(y-2)(3y+7)≥0，解得-≤y<2