數(shù)理方程第三章行波法和積分變換法

數(shù)理方程第三章行波法和積分變換法23一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式行波法

4結(jié)論：達(dá)朗貝爾解表示沿x

軸正、反向傳播的兩列波速為a波的疊加，故稱為行波法。a.只有初始位移時(shí)，代表以速度a

沿x

軸正向傳播的波代表以速度a

沿x

軸負(fù)向傳播的波4解的物理意義b.只有初始速度時(shí)：假使初始速度在區(qū)間上是常數(shù)，而在此區(qū)間外恒等于05解：將初始條件代入達(dá)朗貝爾公式5達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用6影響區(qū)域決定區(qū)域依賴區(qū)間特征線特征變換行波法又叫特征線法6相關(guān)概念77非齊次問(wèn)題的處理(齊次化原理)利用疊加原理將問(wèn)題進(jìn)行分解：8利用齊次化原理，若滿足：則：令：9從而原問(wèn)題的解為1011特征方程12例1解定解問(wèn)題解13例2求解解：特征方程為令：14例3求解Goursat問(wèn)題解：令15

思考題：求解如下定解問(wèn)題16二積分變換法1傅立葉變換法傅立葉變換的性質(zhì)微分性位移性積分性相似性傅立葉變換的定義偏微分方程變常微分方程17例1解定解問(wèn)題解：利用傅立葉變換的性質(zhì)1819例2解定解問(wèn)題解：利用傅立葉變換的性質(zhì)202拉普拉斯變換法拉普拉斯變換的性質(zhì)微分性相似性拉普拉斯變換的定義偏微分方程變常微分方程21例3解定解問(wèn)題解：對(duì)t求拉氏變換22例4解定解問(wèn)題解：對(duì)x求傅氏變換對(duì)t求拉氏變換2324例5解定解問(wèn)題解：對(duì)t求拉氏變換對(duì)x求傅氏變換2526例6求方程滿足邊界條件，的解。解法一：27解法二：對(duì)y求拉氏變換28例7解定解問(wèn)題解：對(duì)t取拉氏變換x取傅立葉變換其中293031323積分變換法求解問(wèn)題的步驟對(duì)方程的兩邊做積分變換將偏微分方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠虒?duì)定解條件做相應(yīng)的積分變換，導(dǎo)出新方程變的為定解條件對(duì)常微分方程，求原定解條件解的變換式對(duì)解的變換式取相應(yīng)的逆變換，得到原定解問(wèn)題的解4積分變換法求解問(wèn)題的注意事項(xiàng)如何選取適當(dāng)?shù)姆e分變換定解條件中那些需要積分變換，那些不需取如何取逆變換思考利用積分變換方法求解問(wèn)題的好處是什么？33三.三維波動(dòng)方程的柯西問(wèn)題34球?qū)ΨQ情形所謂球?qū)ΨQ是指與無(wú)關(guān)，則波動(dòng)方程可化簡(jiǎn)為35半無(wú)界問(wèn)題36這是關(guān)于v=ru

的一維半無(wú)界波動(dòng)方程.37一般情形我們利用球平均法。從物理上看，波具有球?qū)ΨQ性。從數(shù)學(xué)上看，總希望把高維化為一維情形來(lái)處理，并設(shè)法化為可求通解的情況。所謂球平均法，即對(duì)空間任一點(diǎn)（x，y，z），考慮u

在以（x，y，z）為球心，r為半徑的球面上的平均值其中為球的半徑的方向余弦，38如把x,y,z

看作參變量，則是r，t的函數(shù)，若能求出，再令則為此把波動(dòng)方程的兩邊在以x，y，z為中心，r為半徑的球體內(nèi)積分，并應(yīng)用Gauss公式，可得（*1）39同時(shí)有由（*1）(*2)可得（*2）關(guān)于r微分，得（*3）利用球面平均值的定義，（*3）可寫成（*4）40（*4）又可改寫為41通解為令r＝

0，有代入上式，得（*5）關(guān)于r微分，再令r＝0，有（*6）42接下來(lái)，求滿足初值的解。對(duì)（*5）關(guān)于t

微分，（*7）（*6）和（*7）相加即得即把代入上式，得4344從而有4546Poisson公式47四.二維波動(dòng)方程如果我們把上述問(wèn)題中的初值視為重復(fù)推導(dǎo)Poisson公式的過(guò)程，將會(huì)發(fā)現(xiàn)所得Poisson公式中不含第三個(gè)變量。降維法：由高維波動(dòng)方程的柯西問(wèn)題的解