高中數(shù)學(xué)開(kāi)放題賞析 試題

創(chuàng)作；朱本曉創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日創(chuàng)作；朱本曉題目1:假如一個(gè)四面體的三個(gè)面是直角三角形，那么，第四個(gè)面可能是：①直角三角形；②銳角三角形；③鈍角三角形；④等腰三角形；⑤等腰直角三角形；⑥等邊三角形。請(qǐng)說(shuō)出你認(rèn)為正確的那些序號(hào)。解：分三種情形第一種情形從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)面都是直角三角形，且都以該頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，如圖1。設(shè)AD、BD、CD的長(zhǎng)分別是a、b、c，???ZADB=ZADC=ZBDC=900,???AB，BC，AC的長(zhǎng)分別為在厶ABC中，由余弦定理cosZBAC二AB2十BC22ABVAC創(chuàng)作；朱本曉創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日創(chuàng)作；朱本曉創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日屮十護(hù)十/十嚴(yán)_（護(hù)十⑴=2AB*AC=〉0AB^AC???ZBAC是銳角，同理ZABC、ZACB也是銳角???△ABC是銳角三形。②正確。當(dāng)a=b=c時(shí)厶ABC是等邊三角形，⑥正確。第二種情形如圖2,ZADB=ZADC=ZDBC=900TAD丄BD,AD丄DC,?AD丄面DBC???BD是AB在平面DBC上的射影。由三垂線定理知，BC丄AB???第四個(gè)面厶ABC是直角三角形。①正確。第三種情形如圖3,ZADC=ZBDC=ZACB=900設(shè)AD、BD、CD的長(zhǎng)分別為a、b、c,那E么AC2二a2+c2,BC2=b2+c2,?°?AB2=AC2+BC2=a2+b2+2c2在厶ABD中，由余弦定理得AD2十呂，—占護(hù)屮十護(hù)_(/十耳十怎乍c2cosZADB二==-一<0?BD2abab???ZADB>90o,^ABD是鈍角三角形，③正確。顯然在第二種情形下，AB和BC可以相等，所以三角形ABC可以是等腰直角三角形,⑤正確，從而④也正確。故答案是①②③④⑤⑥。注：此題是一道高考模擬試題，是一道考察學(xué)生空間想象才能、探究才能的好試題。其中第三種情形容易被無(wú)視，HY答案中也沒(méi)有“鈍角三角形〃?！沧ⅲ旱谌N情形的存在性可以這樣來(lái)驗(yàn)證：先作三角形ABD，使ZADB是鈍角，然后過(guò)D作直線DC垂直于面ABD。以AB為直徑作一球，那么D必在球的內(nèi)部，設(shè)C是直線DC與球面的一個(gè)交點(diǎn)，那么ZACB是直角，圖3的四面體存在〕。題目2：設(shè)｛a｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S是其前n項(xiàng)和。nnVlgSn+1〔IVlgSn+1〔II〕假設(shè)存在常數(shù)c〉0,使得以瓦—刃耳擋F=g曲-叭成立？并證明〔1995年全國(guó)高考題〕。解：⑴證明略。得出S?SVS2。TOC\o"1-5"\h\znn+2n+1〔II〕假設(shè)存在常數(shù)c〉0,使得皿凡弋)；域陰廠c)=凰g-C成立?并證明你的結(jié)論。S—c〉o①nS—c〉o②n+1S—c〉0③n+2(S—c)(S—c)=(S—c)2④nn+2n+1由④得SS—S2=c(S+S—2S)⑤nn+2n+1nn+2n+1由重要不等式及①②③④知S+S—2S=〔S—c〕+〔S—c〕一2〔S—c〕nn+2n+1nn+2n+1

因?yàn)閏〉0,故⑤式右端非負(fù)，即SS—S2三0。而由〔I〕的證明可知nn+2n+1SS-S2<0,產(chǎn)生了矛盾。nn+2n+1故不存在常數(shù)，c〉0,=迴〔凡=迴〔凡+i評(píng)析：這是一個(gè)臺(tái)階試題，在求解第〔II〕小題時(shí)，必然要用到第〔I〕題結(jié)論，也就是說(shuō)第〔I〕題經(jīng)過(guò)證明之后的結(jié)論將在解答第〔II〕小題時(shí)作為條件使用，而第〔II〕小題中終究中是否存在常數(shù)c〉0?最終要看假設(shè)存在之后，是否與第〔I〕小題矛盾。題目3：設(shè)等比數(shù)列依J的公比為q，前n項(xiàng)和為S是否存在常數(shù)C，使數(shù)列風(fēng)十司也成等n，匕比數(shù)列？假設(shè)存在，求出常數(shù)C；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。講解:存在型開(kāi)放題的求解一般是從假設(shè)存在入手，逐步深化解題進(jìn)程的。設(shè)存在常數(shù)C，使數(shù)列十習(xí)成等比數(shù)列。??毘+0(氐廠C二毘隸+h?備九廠汽+\之-g廠D??(i)當(dāng)q=l時(shí),'=呦1代入上式得

2盤］衛(wèi)旳（囘+2）—J仙斗二陽(yáng)］（&（旳_（_1）_旳_（出_）_習(xí)］艮fI=0但％H0,于是不存在常數(shù)C,使E十計(jì)成等比數(shù)列。（⑴當(dāng)沖時(shí)，「先p,代入上式得眩］于〔1-疔…眩］于〔1-疔…綜上可知，存在常數(shù)1_1,使風(fēng)十習(xí)成等tb數(shù)列。等th數(shù)列n項(xiàng)求和公式中公匕比的分類,極易忘記公比二1的情形可不要無(wú)視啊!解析:條件探究性開(kāi)放型問(wèn)題是指命題中結(jié)論明確而需要完備使吉論成立的充分條件的題目。這類問(wèn)題大致可分為其一是條牛未知，需要探注;其二是條件缺乏,要求尋求充分條牛。解答這類問(wèn)題,一般從吉論出發(fā)設(shè)想出符合要求的一些條件逐一列出,逐一推導(dǎo)，從中戈出滿足結(jié)論的條失題目4：某選擇題條件缺漏,原題為：a、卩均為銳角,且sina—sin卩=一2-,coscos1即cosa+cosp=—coscos1即cosa+cosp=—此與a、B均為銳角矛盾。假設(shè)那么得注￡丁込二即cosa+cosB==^,2這一結(jié)果與另一條件sina—sinB=—￡在形式上了比擬接近。故所缺失的條件可能為cosa+cosB冷。評(píng)析：此類題可模擬分析法的解題方法，將結(jié)果參加條件，逆推導(dǎo)出需要尋求的條件，但一般情況下答案不惟一。方法探究性開(kāi)放型問(wèn)題這是一類條件、結(jié)論都不明確的問(wèn)題，使得解題方法是開(kāi)放的，需要探究出適宜的解題方法，又需要進(jìn)展嚴(yán)格的推理論證。題目5：f〔0〕=sin20+sin2〔0+a〕+sin2〔0+B〕，其中a、B合適OWaVBWn的常數(shù)，試問(wèn)a、B取何值時(shí)，f〔0〕的值恒為定值?！睭Y御茶水女子大學(xué)入學(xué)試題〕分析一：要使f〔0〕的值不隨0的變化而變化，即函數(shù)f〔0〕為常值函數(shù)，那么可賦予特殊的自變量值探求。*c打打解一：令0=o,m得62f〔0〕=sin2a+sin2B1.2\7T]\7V\1.2\7T]\7V\=—4-sm+COS—+Q4U丿U)J=1+cosgos依題意可設(shè)f〔0〕〔m為常數(shù)〕，那么由f〔0〕3=2m,解得m=—。再代入f〔再代入f〔0〕=了[了32分析二：要使f〔?！车闹挡浑S。變化而變化，可以通過(guò)別離主變量的方法，視主變量的系數(shù)為零，這樣就可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化。解二：/(￡?)=—-—cos26+2cos(2￡?+ar+/?)/?)]=—-—[1+2cos(a+P)cos(；7-/5)]cos26-[sm(盡+國(guó)匚殖①一Q%28cos23+2cos2^cos(a+Pcos23+2cos2^cos(a+P)cosftif-P)-2sin2^sin(af+P)cos(;r-國(guó)]?/f[6〕恒為定值，即f〔?！车闹蹬c?無(wú)關(guān)。l+2cos〔a+卩〕cos〔a—卩〕=0sin〔a+卩〕cos〔a—卩〕=0sin〔a+卩〕=0考慮到0WaVBWn，有0Va+BV2n,1/.cos〔a—卩〕=——nWa—BV0,a—B=—二①、②聯(lián)立可得：O題目6:某機(jī)床廠今年年初用98萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)數(shù)控機(jī)床，并立即投入消費(fèi)使用，方案第一年維修、保養(yǎng)費(fèi)用12萬(wàn)元，從第二年開(kāi)場(chǎng)，每年所需維修、保養(yǎng)費(fèi)用比上一年增加4萬(wàn)元，該機(jī)床使用后，每年的總收入為50萬(wàn)元，設(shè)使用x年后數(shù)控機(jī)床的盈利額為y萬(wàn)元?！?〕寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕從第幾年開(kāi)場(chǎng)，該機(jī)床開(kāi)場(chǎng)盈利〔盈利額為正值〕；〔3)使用假設(shè)干年后，對(duì)機(jī)床的處理方案有兩種：(i)當(dāng)年平均盈利額到達(dá)最大值時(shí)，以30萬(wàn)元價(jià)格處理該機(jī)床；(ii)當(dāng)盈利額到達(dá)最大值時(shí)，以12萬(wàn)元價(jià)格處理該機(jī)床，問(wèn)用哪種方案處理較為合算？請(qǐng)說(shuō)明你的理由.講解：本例兼顧應(yīng)用性和開(kāi)放性，是實(shí)際工作中經(jīng)常遇到的問(wèn)題?！?〕尹二亍=-2只+4加-死創(chuàng)作；朱本曉創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日⑵解不等式-2/+4血-晁〉0,得10-后VxVlQ+原.TxWN,???3WxW17.故從第3年工廠開(kāi)場(chǎng)盈利.⑶⑴?.?乂二七+40-邂二40-(力+遅)040一XXX當(dāng)且僅當(dāng)2x=—時(shí)，即x=7時(shí)，等號(hào)成立.工???到到2021年，年平均盈利額到達(dá)最大值，工廠一共獲利12X7+30=114萬(wàn)元。(ii)?y=-2x2+40x—98=-2〔x—10〕2+102，當(dāng)x=10時(shí)，y二102。max故到2021年，盈利額到達(dá)最大值，工廠一共獲利102+12=114萬(wàn)元.解答函數(shù)型最優(yōu)化實(shí)際應(yīng)用題，二、三元均值不等式是常用的工具。題目7：1函數(shù)f(x)=^2(x<-2)⑴求f(x)的反函數(shù)f-l(x)；1(2)設(shè)a1=1,=-f-i(an)(n^N)，求an；m、、，25、(3)設(shè)Sn=a12+a22+???+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整數(shù)m,使得對(duì)任意n^N,有bn<成立？假設(shè)存在，求出m的值；假設(shè)不存在說(shuō)明理由。創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日創(chuàng)作；朱本曉創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日創(chuàng)作；朱本曉創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日講解：本例是函數(shù)與數(shù)列綜合的存在性問(wèn)題，具有一定的典型性和探究性。*.*xv-2,.°.x=一」4+―；(x〉0)即y=f-i(x〉0)1???｛p｝是公差為4的等差數(shù)列TaTa=l111~2=~T+4(n-1)=4n-3〉0b=Sn]b=Sn]L-Sn=an+12=K，由"亦’得"對(duì)于咗"成立。25m???m〉5,存在最小正數(shù)m=6,使得對(duì)任意忡有叮厲成立。11為了求a，我們先求務(wù)，這是因?yàn)椋麆?wù)｝是等差數(shù)列，試問(wèn)：你可以想到嗎？該n題是構(gòu)造等差數(shù)列的一個(gè)典范。題目8：數(shù)列中嗎二L且點(diǎn)7（%,叫十］）（＞亡⑵在直線x-y+1=0上。

〔1〕求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；〔2〕假設(shè)函數(shù)/(叭二一^+—^+丄^+…+—丄佃丘甌且用22),旳知］疋+心？旳旳+&R求函數(shù)f(n)的最小值；bn=丄芯⑶設(shè)禺表示數(shù)列叫的前n項(xiàng)和。試問(wèn):是否存在關(guān)于n的整式g(n),使得色十H…十粘二風(fēng)-1)'酚)對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立?假設(shè)存在，寫(xiě)出g(n)的解析式,并加以證明；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由。講解：從規(guī)律中發(fā)現(xiàn)，從發(fā)現(xiàn)中探索。⑴叫—%十1十1=°a】一％+1=0)2玄一十1二0，以上各式相加，得-叭+円-1=0,冷=叭+冷-1=瑯了何二^L+^_+...+丄(2〕崗十1總十戈了?+1)=了?+1)=/C?+D-/W=—^―+—-—>——+—L二o2旳十12^+2胃十12^+22^+2旳十1'--處對(duì)杲單調(diào)遞増的，7故/M的最小值是/⑵=五⑶T⑶T兔創(chuàng)作；朱本曉創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日-片-片一1二丄3工2）,即旳耳-切一1）片_］=弘1+1,⑴―1）耳_］—⑺―習(xí)耳七=V2+12s2一巧二E］十1,旳片一町二呂］十衍十…十片一1+?-1,.■-衍十辿十…十片_］二皿片一總二（片-1）'總仗>2\:.百仗）二乩故存在關(guān)于n的整站何=性使等式對(duì)于一切不小2的自然數(shù)n恒成立。事實(shí)上，數(shù)列伍」是等差數(shù)列，你知道嗎？題目9：深夜，一輛出租車被牽涉進(jìn)一起交通事故，該有兩家出租車公司——紅色出租車公司和藍(lán)色出租車公司，其中藍(lán)色出租車公司和紅色出租車公司分別占整個(gè)城出租車的85%和15%。據(jù)現(xiàn)場(chǎng)目睹證人說(shuō)，事故現(xiàn)場(chǎng)的出租車是紅色，并對(duì)證人的區(qū)分才能作了測(cè)試，測(cè)得他識(shí)別的正確率為80%，于是警察就認(rèn)定紅色出租車具有較大的肇事嫌疑。請(qǐng)問(wèn)警察的認(rèn)定對(duì)紅色出租車公平嗎？試說(shuō)明理由。講解：設(shè)該城有出租車1000輛，那么依題意可得如下信息:證人所說(shuō)的顏色〔正確率80%〕真藍(lán)色紅色合計(jì)實(shí)藍(lán)色〔85%〕680170850顏紅色〔15%〕30120150色合計(jì)7102901000從表中可以看出，當(dāng)證人說(shuō)出租車是紅色時(shí)，且它確實(shí)是紅色的概率為西0,而它是藍(lán)色的概率為西0。在這種情況下，以證人的證詞作為推斷的根據(jù)對(duì)紅色創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日創(chuàng)作；朱本曉創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日創(chuàng)作；朱本曉創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日出租車顯然是不公平的。此題的情景清新,涉及到新教材中概率的知識(shí),上述解法中的列表技術(shù)顯示了一定的獨(dú)特性,在數(shù)學(xué)的應(yīng)試復(fù)課中似乎是很少見(jiàn)的.節(jié)選自?高中數(shù)學(xué)開(kāi)放題賞析?勵(lì)志贈(zèng)言經(jīng)典語(yǔ)錄精選句；揮動(dòng)**，放飛夢(mèng)想。厚積薄發(fā)，一鳴驚人。關(guān)于努力學(xué)習(xí)的語(yǔ)錄。自古以來(lái)就有許多文人留下如頭懸梁錐刺股的經(jīng)典的，而近代又有哪些經(jīng)典的高中勵(lì)志贈(zèng)言出現(xiàn)呢?小編篩選了高中勵(lì)志贈(zèng)言句經(jīng)典語(yǔ)錄，看看是否有些幫助吧。好男兒躊躇滿志，你將如愿;真巾幗燦爛揚(yáng)眉，我要成功。含淚播種的人一定能含笑收獲。貴在堅(jiān)持、難在堅(jiān)持、成在堅(jiān)持。功崇惟志，業(yè)廣為勤。耕耘今天，收獲明天。成功，要靠辛勤與汗水，也要靠技巧與方法。常說(shuō)口里順，常做手不笨。不要自卑，你不比別人笨。不要自滿，別人不比你笨。高三某班，青春無(wú)限，超越夢(mèng)想，勇于爭(zhēng)先。敢闖敢拼，**協(xié)力，爭(zhēng)創(chuàng)佳績(jī)。豐富學(xué)校體育內(nèi)涵，共建時(shí)代校園文化。奮勇沖擊，永爭(zhēng)第一。奮斗沖刺，誓要蟾宮折桂;全心拼搏，定能金榜題名。放心去飛，勇敢去追，追一切我們?yōu)橥瓿傻膲?mèng)。翻手為云，覆手為雨。二人同心，其利斷金。短暫辛苦，終身幸福。東隅已逝，桑榆非晚。登高山，以知天之高;臨深溪，以明地之厚。大智若愚，大巧若拙。聰明出于勤奮，天才在于積累。把握機(jī)遇，心想事成。奧運(yùn)精神，永駐我心?！跋搿币獕阎玖柙?，“干”要腳踏實(shí)地。**燃燒希望，勵(lì)志贏來(lái)成功。楚漢名城